Equació diferencial homogénea

Una equació diferencial pot ser homogénea en dos aspectes: quan els coeficients dels térmens diferencials en el cas del primer orde són funcions homogénees de les variables; o per al cas llineal de qualsevol orde quan no existixen els térmens constants.

Tipo homogénea equacions diferencials de primer orde

Una equació diferencial ordinària de primer orde de la forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

és del tipo homogénea si les funcions $M(x,y)$ i $N(x,y)$ són funcions homogénees de mateix grau $n$. Açò és, multiplicant cada variable per un paràmetro $\lambda$, es troba

$M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)$     i     $N(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}N(x,y).$

Aixina,

$\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.$

Método de resolució

En el cocient

$\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

fent $t=1/x$ per a simplificar esta equació per a una funció $f$ de la variable simple $y/x$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x).$

S'introduïx el canvi de variables $y=ux$; diferenciant usant la regla del producte:

$\frac{d(ux)}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\frac{dx}{dx}=x\frac{du}{dx}+u,$

aixina transformant l'equació diferencial original en la forma separable

$x\frac{du}{dx}=-f(u)-u;$

esta forma pot ara integrar-se directament (vore equació diferencial ordinària).

Cas especial

Una equació diferencial de primer orde de la forma (a, b, c, i, f, g són coeficients constants)

$(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0$

a on af ≠ be pot transformar-se en un tipo homogéneu per mig d'una transformació llineal d'abdós variables ($\alpha$ i $\beta$ són constants):

$t=x+\alpha ;z=y+\beta .$

Ara determinar dites constants de manera que els térmens independents siguen nuls.

Equacions diferencials llineals homogénees

Definició. Una equació diferencial llineal es diu que és homogénea si se satisfà la següent condició: Si  $\varphi (x)$  és una solució, també ho és  $k\varphi (x)$, a on $k$ és una constant arbitrària no nula. Tenint en conte esta condició, cada terme en una equació diferencial llineal de la variable depenent i, deu contindre i o qualsevol derivada de i. Una equació que no complix en esta condició es denomina inhomogénea.

Una equació diferencial llineal pot representar-se en un operador llineal actuant sobre i(x) a on x és usualment la variable independent i i és la variable depenent. Llavors, la forma general d'una equació diferencial llineal homogénea és

$L(y)=0$

${\displaystyle }$a on L és un operador diferencial, una suma de les derivades (definint com "derivada 0" a la funció original, no derivada), cada una multiplicada per una atra funció  $f_i$  de x:

$L=\sum _{i=0}^n{f}_i(x)\frac{d^i}{d{x}^i},$

a on  $f_i$  poden ser constants, pero no totes les  $f_i$  poden ser nules.

Per eixemple, la següent equació diferencial és homogénea:

$\sin (x)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4\frac{dy}{dx}+y=0,$

no obstant les següents dos són inhomogéneas:

$2x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4x\frac{dy}{dx}+y=\cos (x);$

$2x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-3x\frac{dy}{dx}+y=2.$

L'existència d'un terme constant és una condició suficient per a que una equació siga inhomogénea, com l'eixemple anterior.

Vore també

• Método de separació de variables
• Teorema de Picard-Lindelöf

Referències

Bibliografia

• (2012).«Elementary differential equations and boundary value problems».Wiley..
• (1956).«Ordinary differential equations».Dover Publications.New York:.