Teorema de Picard-Lindelöf

El teorema de Picard-Lindelöf (moltes voltes anomenat simplement teorema de Picard, unes atres teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema d'existència i unicitat) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO). Establix baix quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO dau un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Història

L'estudi i desenroll de la Teorema de Picard-Lindelöf es va realisar entre els anys 1820 i 1900 i es va portar a terme per Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard i Lindelöf: Entre 1820 i 1830, Cauchy va provar que donada una funció contínua $f$ tal que existix la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ i ademés és contínua en certa regió $D\subset {ℝ}^2$ relacionada en el punt $(t_0,x_0)$, llavors existix un interval $I\ni t_0$ tal que el problema de valors inicials

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(t,x),\\ x(t_0)=x_0,\end{array}$

posseïx una única solució definida en $I$. En 1838, Liouville va simplificar la prova de Cauchy introduint el método d'aproximacions successives, que més vesprada es coneixerien com iteraciones de Picard. En 1876, Lipschitz va millorar el resultat de Cauchy, substituint la condició sobre $\frac{\partial f}{\partial x}$ per una menys forta, coneguda com a condició de Lipschitz. Posteriorment, seguint les mateixes idees donades per Liouville i Lipschitz, tot lo anterior va ser llaugerament millorat i generalisat per Picard (1890) i Lindelöf (1893). És per això, que la teorema deu el seu nom al matemàtic francés Picard i al topólogo finlandés qui va enunciar la teoria de Picard despuix de la seua mort.

Teorema

Enunciada general

De fet, el paràmetro $\alpha$ pot ser trobat de manera explícita, en la demostració es donen detalls d'això.

Enunciat en més restriccions

El resultat anterior exigix els requisits mínims que deu complir una funció si volem aplicar la teorema. Afegint més condicions a l'enunciat original, podem donar este atre més senzill: "Siga $f:[a,b]\times {ℝ}^n\to {ℝ}^n$ una funció Lipschitz. Llavors, daus $(t_0,x_0)\in [a,b]\times {ℝ}^n$" existix una única solució $x(t)$ del problema de valor inicial

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(t,x),\\ x(t_0)=x_0,\end{array}$

definida $\mathrm{\forall }t\in [a,b]$".

Observació

És important observar que la teorema de Picard només nos garantisa l'existència i unicitat local de la solució d'una EDO. És dir, més allà de l'interval proporcionat per la teorema (ya que la seua demostració és constructiva) no podem dir res, en principi, del comportament de la solució del problema de valor inicial. És possible complementar la teorema senyalant que existix un interval obert, que cridarem interval maximal en el qual pot garantisar-se que la solució existix i és única; fòra d'este interval, la teorema de Picard no pot aplicar-se.

Vore també

• Equació diferencial ordinària
• Problema de Cauchy
• Funció lipschitziana
• Método d'aproximacions successives de Picard
• Teorema del punt fix de Banach
• Teorema d'existència de Peano
• Teorema d'existència de Carathéodory

Referències

Bibliografia

• (1955).«Theory of Ordinary Differential Equations».McGraw-Hill.New York:.
• E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode dones approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires dones séances de l'Académie dones sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Digitized version en llínea via http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (In that article Lindelöf discusses a generalization of an earlier approach by Picard.)
• Teschl (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (en anglés), American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

• Equacions Diferencials Ordinàries. M.L.Krasnov, A.I.Kiseliov, G.I.Makárenko. Editorial URSS. ISBN 5-354-01099-3
• E.A. Coddington. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Dover, 1989.
• G.F. Simmons. Differential Equations with applications and historical notes. McGraw-Hill, 1993.
• Martínez, Alejandro; Taula, Fernando; González, José. Equacions diferencials ordinàries, Una introducció. Ecoe Edicions, 2012.