Teorema d'existència de Peano

En matemàtica, en particular, en l'àmbit de les equacions diferencials ordinàries, la teorema d'existència de Peano (també conegut com a teorema de Peano, o teorema de Cauchy-Peano, segons una denominació que fa referència a Giuseppe Peano i Augustin Louis Cauchy), és una teorema fonamental que garantisa l'existència de solucions per a un cert problema en valors inicials.

Teoremes relacionades

La teorema de Peano pot comparar-se en atres resultats sobre l'existència en el mateix context, el teorema de Picard-Lindelöf. En la teorema de Picard–Lindelöf assumix més condicions i obté més conclusions. Requerix de continuïtat de Lipschitz, mentres que la teorema de Peano solament continuïtat; prova existència i unicitat mentres que la teorema de Peano solament l'existència de solucions. Per a ilustrar-ho, es considera una equació diferencial ordinària:

$y^{\prime }={\left|y\right|}^{\frac{1}{2}}$ sobre el domini $[0,1].$

D'acort a la teorema de Peano, esta equació té solucions, pero la teorema de Picard-Lindelöf no es pot utilisar ya que el costat dret no té continuïtat de Lipschitz en cap entorn de 0. Aixina es conclou que hi ha existència pero no unicitat. Llavors esta equació diferencial ordinària té dos classes de solucions quan $y(0)=0$, estes són $y(x)=0$ o $y(x)=x^2/4$. Esta transcición entre $y=0$ i $y=(x-C{)}^2/4$ pot ocórrer per a qualsevol C.

El teorema d'existència de Carathéodory és una generalisació de la teorema d'existència de Peano en condicions més dèbils per a la continuïtat.

Vore també

• Equació diferencial ordinària
• Funció contínua
• Funció lipschitziana
• Problema de Cauchy
• Teorema d'existència de Carathéodory
• Teorema de Picard-Lindelöf

Referències

Bibliografia

• (1886).Atti della Reale Accademia delle scienze vaig donar Torino.Stamperia Reale.Torí:21
• (1890).Mathematische Annalen.Springer.37
• (1898).Monatshefte für Mathematik und Physik.Springer.9(1)ISSN 0026-9255.doi:10.1007/BF01707876.
• (2012) Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (en anglés), Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• (1954) Existence Theorems for Ordinary Differential Equations (en anglés), New York: New York University Press. ISBN ISBN 0486154955, ISBN 9780486154954.
• (2000) Equacions diferencials: cóm deprendre-les, cóm ensenyar-les, EDITUM, pp. 175. ISBN 84-8371-164-8.