Resort

Archiu:Springs 009.jpg

Resort

Es coneix com a resort (o moll) a un element elàstic capaç d'almagasenar energia i desprendre's d'ella sense sofrir deformació permanent (deformació plàstica) quan cessen les forces o la tensió a les que és somés. Es fabriquen en una gran diversitat de formes i dimensions utilisant-se materials molt diversos, tals com acer al carbono, acer inoxidable, acer al cromo-silici, cromo-vanadi, bronzes o plàstic; materials que presenten propietats elàstiques.

Tenen gran cantitat d'aplicacions en tot tipo de productes d'us quotidià, en ferramentes i màquines, o en diverses classes de dispositius mecànics (com en les suspensions dels vehículs). El seu propòsit, en freqüència, s'adapta a les situacions en les que es requerix aplicar una força i que esta siga retornada en forma d'energia. Sempre estan dissenyats per a oferir resistència o amortiguar les solicitaciones externes.

Història

L'us de materials elàstics en formes simples, com els arcs de fusta utilisats per a disparar fleches, té el seu orige en temps prehistòrics, i s'han trobat eixemples de fa més de 60.000 anys. En l'Edat del Bronze ya existien tipos de molls més complexos en moltes cultures, que formaven part d'utensilis senzills com les fíbulas usades per a subjectar els vestits, o les pinces per a manejar objectes menuts. Ctesibio d'Aleixandria va fabricar aleacions de bronze en un major contingut d'estany per a obtindre molls en propietats elàstiques especials, endurint el material per mig de martilleo despuix de ser molejat.

Els resorts de tires de chapa metàlica enrollada s'han utilisat com a acumuladors d'energia per a accionar rellonges des de principis de el XV, apareixent en els rellonges de bojaca al començament de el XVI. El resort espiral que forma part del volant regulador inventat per Christiaan Huygens seria introduït per primera volta en un rellonge de bojaca per Salomon Coster en 1673.

En 1676, el físic britànic Robert Hooke va formular la seua coneguda Llei de l'elasticitat que modeliza el comportament dels resorts: la deformació d'un moll és proporcional a la força aplicada sobre el mateix.

En l'aparició del ferrocarril en les primeres décades de el XIX, i coincidint en els progressos de la metalúrgia i el desenroll de les primeres màquines ferramenta, la manufactura dels molls va passar de ser un procés artesanal (de manera que cada armero, cerrajero, relojero o ferrer construïa individualment els molls que necessitava per als objectes que produïa) a convertir-se en un procés industrial, produint-se en série mils de resorts estandardisats que formaven part de tot tipo de màquines fabricades en massa (com a rellonges, màquines d'coser, telers, tot tipo d'armes, motors d'explosió, automòvils, motocicletes, mobles, matalafs o electrodomèstics). A partir de llavors, els resorts han formant una part fonamental de tot tipo d'utensilis més o menys complexos (des d'un simple imperdible, fins a la suspensió d'una locomotora de més de cent tonellades de pes), i s'ha ampliat la gama de tipos de molls disponibles, fabricats en tot tipo de materials (des de les clàssiques aleacions metàliques, fins a composts plàstics especials).

Tipos

Archiu:Leafs1.jpg

Moll pla: suspensió de ballesta d'un camió

Archiu:Alarm Clock Balanç Wheel.jpg

Moll espiral: resort regulador d'un rellonge despertador

Archiu:Assorted Springs.JPG

Moll helicoidal: distints tipos

Archiu:Torsion-Bar with-lloeu.jpg

Barra de torsió: peça prismàtica retortillada

Archiu:Bueroklammern-quer-w050-h050-trans.png

Clip: distints tipos

Archiu:Volute spring1.jpg

Resort de voluta. A compressió, la chapa enrollada esgola dins de sí mateixa, aumentant el seu recorregut útil

Archiu:Volutespring.jpg

Moll de voluta vertical d'un carro de combat M3 Stuart

Archiu:Reverb-3.jpg

Molls tensors d'un dispositiu de reverberació

Archiu:Stanley PowerLock tape measure.jpg

Flexómetro, equipat en un moll de retenció

Archiu:Closed Single Turn Wave Spring.png

Alfardó ondulat o «marcelada»

Archiu:Ressorts de compression coniques.jpg

Resorts cònics de compressió

Els resorts es poden classificar de diverses maneres, atenent a la seua forma, a la manera en que se'ls apliquen les càrregues, a cóm responen davant estes, al seu procés de fabricació o a l'us al que es destinen:

<o>Segons la seua forma:</o>

• Molls plans: formats a partir de làmines metàliques planes; un dels eixemples més coneguts d'este tipo de mols són les ballestes utilisades en les suspensions de molts vehículs.
• Molls espirals: formats al enrollar sobre sí mateixa una llarga cinta metàlica, el diàmetro de la qual va creixent a mida que aumenta el seu número de regressos, pero l'altura dels quals (coincidente en l'ample de la cinta) permaneix constant. Són utilisats en els clàssics rellonges mecànics de corda. Combinen característiques atres classes de molls, ya que encara que es tensen enrollant-los en fer-los girar al voltant d'un eix (com les barres de torsió), en realitat treballen a flexión (com els molls de tracció i compressió).
• Molls helicoidals: són els molls més habituals. Consistixen en bobines d'aram que formen una hèliç enrollada al voltant d'un cilindre (o una atra forma de revolució). Treballen en variar la separació entre les seues espiras.
• Barres de torsió: són peces prismàtiques d'algun material flexible, capaços d'adquirir una torsió reversible quan se'ls aplica un moment de gir. Utilisades en molts tipos de suspensió de vehículs.

• Clips: són peces la forma de les quals no es correspon en cap dels tres patrons anteriors, encara que poden combinar els comportaments elàstics d'alguns d'ells. Un eixemple clàssic són els clips elàstics utilisats per a subjectar els rieles del ferrocarril. També existix una gran cantitat de resorts que no tenen formes comunes; potser la més coneguda siga l'alfardó Grower.

<o>Segons cóm se'ls aplica la força de càrrega:</o>

• Resort de flexión: una càrrega perpendicular a la major dimensió d'un element elàstic (generalment pla), és absorbida en doblar-se pel resort, que recupera la seua forma original en cessar la força aplicada. És el modo característic de treballar de les ballestes utilisades en la suspensió de distints vehículs.
• Resort de tracció: està dissenyat per a funcionar en una càrrega de tracció, per lo que el resort s'estira a mida que se li aplica la càrrega. Estos resorts soporten exclusivament forces de tracció i es caracterisen per tindre un gancho en cada u dels seus extrems, de diferents estils: anglés, alemà, català, giratori, obert, tancat o de dobles espira. Estos ganchos permeten montar els resorts de tracció en diverses posicions.
• Resort de compressió: està dissenyat per a funcionar en una càrrega de compressió, per lo que el resort s'acurta a mida que se li aplica la càrrega. Poden ser cilíndrics, cònics, bicónicos, de pas fix o variable.
• Resort de torsió: a diferència dels tipos anteriors, en els que la càrrega és una força axial, la càrrega aplicada a un resort de torsió és un parell o força de torsió, i l'extrem del resort gira a mida que la càrrega és aplicada.
• Uns atres: existixen resorts que poden operar tant a tracció com a compressió, i inclús a torsió.

<o>Segons cóm responen a la càrrega:</o>

• Moll constant: oferix una resistència fixa, deformant-se uniformemente quan se li aplica una força constant. Combinen un moll helicoidal curvat i un braç de palanca la llongitut de la qual varia a mida que s'aplica la càrrega.
• Moll variable: dissenyats per a soportar càrregues i permetre desplaçaments, són molls helicoidals la resistència dels quals varia en el grau de compressió.
• Moll de rigidea ajustable: la seua resistència a les càrregues pot variar-se dinàmicament per mig d'un sistema de control. Alguns tipos d'estos molls permeten ajustar la seua llongitut, disponent de la capacitat de accionar atres mecanismes.
• Moll de pandeo: un tipo especial de moll de compressió utilisat en els teclats d'ordenador, que es valen de el "colapse" brusc de l'alliniació del moll quan se supera una certa pressió per a enviar un únic impuls elèctric.

<o>Segons la seua fabricació:</o>

• Moll pla: fabricat a partir de làmines planes d'acer elàstic.
• Moll bobinado: un aram o barra metàlica enrollado al voltant d'una figura de revolució (cilindre, con, hiperboloide...), formant una hèliç.
• Moll mecanisat: a pur de treballar barres d'acer per mig de tornejat o fresado, en lloc d'una operació de bobinado. Poden incorporar configuracions especials ademés de l'element elàstic, i són adequats per als casos de compressió/extensió o de torsió.
• Moll de serpentina: un zig-zag d'aram gros, usat a sovint en tapisseria i en mobles moderns.
• Moll anular: un resort d'acer helicoidal, en els seus dos extrems conectats formant un anell.

<o>Tipos més utilisats:</o>:

• Moll en voladizo: un resort fixat solament en un extrem (com per eixemple les palanques utilisades en bot de trampolí).

• Moll helicoidal: és un resort (fabricat enrollando un aram al voltant d'un cilindre), normalment de tres tipos:
  • Resorts d'extensió, dissenyats per a allargar-se quan se someten a una càrrega. Els seus espiras normalment es toquen en la posició descarregada, i tenen un gancho, ull o un atre mig de fixació en cada extrem.
  • Resorts de compressió, dissenyats per a acurtar-se quan es carreguen. Els seus espiras no es toquen en la posició descarregada i no necessiten punts de fixació.
  • Resorts de tubos buits, poden ser molls d'extensió o molls de compressió. La canonada hueca s'ompli en oli, la pressió hidrostàtica del qual es controla per mig d'una membrana o un pistón en miniatura, lo que permet endurir o relaixar el resort, de la mateixa manera que succeïx en la pressió de l'aigua dins d'una mànega de jardí. Alternativament, la secció travessera del tubo s'elegix de manera que canvia la seua àrea quan el tubo se somet a deformació torsional. El canvi de l'àrea de la secció travessera es traduïx en un canvi en el volum intern del tubo i el fluix d'oli dins/fora del resort pot ser controlat per una vàlvula, regulant aixina la seua rigidea. Existixen molts dissenys d'este tipo que poden canviar la rigidea en qualsevol freqüència desijada, permetent modificar les qualitats del moll.
• Resort de voluta: un resort helicoidal de compressió en forma de con per a que baix compressió les espiras no facen top entre sí, lo que permet una carrera més llarga.
• Resort regulador: un delicat resort en espiral utilisat en rellonges, galvanómetros i mecanismes a on l'electricitat deu transportar-se a dispositius que giren parcialment, com volant de direcció, sense dificultar la rotació.
• Suspensió de ballesta: un resort pla que s'usa en les suspensions de vehículs, interruptorés elèctrics i arcs.
• Moll en V: utilisat en mecanismes d'armes de fòc antigues, com la clau de roda. També utilisat en els pestillos de porta tradicionals més simples.

<o>Atres tipos:</o>

• Moll Belleville: un resort en forma de disc que s'usa comunament per a aplicar tensió a un perno (i també en el disparador activat per pressió de les mines antipersonal).
• Moll de força constant: una cinta elàstica enrollada fermament que eixercix una força casi constant a mida que es desenrolla.
• Moll de gas: un volum de gas comprimit.
• Resort motor: un resort en forma de cinta en espiral que s'utilisa com a font d'energia per a accionar els mecanismes de rellongeria utilisats en rellongeés, caixes de música o joguets de corda.
• Moll en retenció: format per una prima banda de metal llaugerament cóncava en secció travessera. Quan es enrolla, adopta una secció travessera plana, pero quan es desenrolla, torna a la seua curva anterior, produint aixina una força constant durant tot el desplaçament, bloquejant la tendència a rebobinarse. L'aplicació més comuna són les cintes mètriques d'acer.
• Molls helicoidals de velocitat progressiva: un resort helicoidal de velocitat variable, que generalment es conseguix en tindre una chala desigual, de modo que quan el resort es comprimix, una o més espiras descansen contra les espiras veïnes.
• Goma elàstica: a on l'energia s'almagasena estirant el material.
• Alfardó elàstic: s'utilisa per a aplicar una força de tracció constant en l'eix d'un anclaje.

• Resort de torsió: qualsevol resort dissenyat per a ser endoblegat en lloc de comprimit o estés. Usat en els sistemes de suspensió de vehículs com agranes de torsió.
• Moll ondulat: qualsevol dels molts resorts, alfardons i expansores en forma d'ondulada, generalment fabricats en aram pla o discs, que són marcelados segons els térmens industrials, generalment per troquelar, rebent un patró ondulat regular. També existixen resorts d'ona d'aram redons. Els tipos inclouen alfardons ondulats, resorts ondulats d'un sol regrés, resorts ondulats de múltiples regressos, resorts ondulats llineals, expansores Marcel, resorts ondulats entrellaçats i resorts ondulats anidados.

<o>Model teòric:</o>

• Moll ideal: un resort teòric utilisat en física que no té pes, massa ni pèrdues de amortiguación. La força eixercida pel resort és proporcional a la distància que el resort s'estira o comprimix des de la seua posició relaixada.

Física del resort

Teoria

En física clàssica, un resort pot vore's com un dispositiu que almagasena energia potencial, específicament energia de deformació, en tensar els enllaços entre els àtoms d'un material elàstic.

La llei de Hooke de l'elasticitat establix que l'extensió d'una barra elàstica (la seua llongitut estesa menys la seua llongitut relaixada) és linealmente proporcional a la seua tensió, la força aplicada per a estirar-la. De la mateixa manera, la contracció (extensió negativa) és proporcional a la compressió (tensió negativa).

Esta llei en realitat solament s'aplica aproximadament, i solament quan la deformació (extensió o contracció) és menuda en comparació a la llongitut total de la barra. Per a deformacions més allà del llímit elàstic, els enllaços atòmics es trenquen o es reorganisen, i un resort pot trencar-se, doblar-se o deformar-se permanentment. Molts materials no tenen un llímit elàstic clarament definit, i la llei de Hooke no pot aplicar-se de manera significativa a estos materials. Ademés, per als materials superelásticos, la relació llineal entre força i desplaçament és apropiada solament en la regió de baixa tensió.

La llei de Hooke és una conseqüència matemàtica del fet de que l'energia potencial de la barra és mínima quan té la seua llongitut relaixada. Qualsevol funció infinitament diferenciable d'una variable s'aproxima a una funció quadràtica quan s'examina lo suficientment prop del seu punt mínim, com es pot vore en examinar els térmens de la série de Taylor. Per lo tant, la força, que és la derivada de l'energia sobre el desplaçament, s'aproxima a una funció llineal.

La força d'un resort completament comprimit pren la forma

$F_{max}=\frac{E{d}^4(L-nd)}{16(1+\nu )(D-d{)}^{3}n}$

Símbol	Nom
$E$	Mòdul de Young
$\nu$	Coeficient de Poisson
$n$	Número de espiras actives
$D$	Diàmetro exterior del resort
$d$	Diàmetro de l'aram de resort
$L$	Llongitut lliure del resort

Resorts de llongitut zero

Resort de llongitut zero és un terme per a un resort helicoidal especialment dissenyat que eixerciria una força zero si tinguera una llongitut zero. Si no hi haguera cap restricció pel diàmetro d'aram finito de dit resort helicoidal, tindria una llongitut zero en la condició no estirada. És dir, en un gràfic llineal de la força del resort front a la seua llongitut, la llínea passaria a través de l'orige. Òbviament, un resort helicoidal no pot contraure's a llongitut zero, perque en algun moment les bobines es toquen entre sí i el resort ya no pot acurtar-se. Els molls de llongitut zero es fabriquen per mig d'un resort helicoidal en tensió incorporada (s'introduïx una torsió en l'aram a mida que es enrolla durant la fabricació, lo que funciona perque un resort en espiral es "desenrolla" a mida que s'estira), aixina que podria contraure's encara més, per lo que el punt d'equilibri del resort, el punt en el que la seua força de restauració és zero, ocorre a una llongitut de zero. En la pràctica, els resorts de llongitut zero es fan combinant un resort de llongitut negativa, fet en encara més tensió per a que el seu punt d'equilibri siga de llongitut "negativa", en un tros de material inelástico de la llongitut adequada per a que el punt de força zero se situe en la llongitut zero.

Es pot unir un resort de llongitut zero a una massa en un braç articulat de tal manera que la força sobre el pes estiga casi exactament equilibrada pel component vertical de la força del resort, siga com siga la posició del braç. Açò crea un "péndola" horisontal en una oscilació de periodo molt llarc. Estes péndoles permeten als sismógrafs detectar les ones més llentes dels terremots. La suspensió LaCoste en molls de llongitut zero també s'usa en gravímetros perque és molt sensible als canvis de gravetat. Els resorts per a tancar portes a sovint tenen una llongitut d'aproximadament zero, de modo que eixercixen força inclús quan la porta està casi tancada, per a que puguen mantindre-la tancada fermament.

Energia de deformació

La manera més senzilla d'analisar un resort físicament és per mig del seu model ideal global i baix la suposició de que est obedix la Llei de Hooke. establix aixina l'equació del resort, a on es relaciona la força F eixercida sobre el mateix en l'allargament/contracció o elongació "x" produïda, del següent modo:

$F=-kx$

Símbol	Nom
$k$	Constant elàstica del resort
$x$	Elongació (allargament produït)
$A$	Secció del cilindre imaginari que envol al resort
$E$	Mòdul d'elasticitat del resort (no confondre en el mòdul d'elasticitat del material)

L'energia de deformació o energia potencial elàstica $U_k$ associada al estiramiento o acurtada un resort llineal ve donada per l'integració de treball realisat en cada canvi infinitesimal $dx$ de la seua llongitut: Si el resort no és llineal llavors la rigidea del resort és depenent de la seua deformació i en eixe cas es té una fòrmula alguna cosa més general:

Equació diferencial i equació d'ones

Definirem ara una constant intrínseca del resort independent de la llongitut d'est i establirem aixina la llei diferencial constitutiva d'un moll. Multiplicant $k$ per la llongitut total, i cridant al producte $k_i$ o k intrínseca, es té:

Cridarem $F(x)$ a la tensió en una secció del moll situada a una distància $x$ d'un dels seus extrems, que considerarem fix i que prendrem com a orige de coordenades, $k_{\Delta x}$ a la constant d'un menut tros de moll de llongitut $\Delta x$ a la mateixa distància i ${\delta }_{\Delta x}$ a l'allargament d'eixe menut tros en virtut de l'aplicació de la força $F(x)$. Per la llei del moll complet:

$F(x)=-k_{\Delta x}{\delta }_{\Delta x}=k_i\frac{{\delta }_{\Delta x}}{\Delta x}$

Prenent el llímit:

$F(x)=-k_i\frac{{\delta }_{dx}}{dx}$

que pel principi de superposició resulta:

$F\left(x\right)=-k_i\frac{d\delta }{dx}=-AE\frac{d\delta }{dx}$

Si ademés suponem que tant la secció com el mòdul d'elasticitat poden variar en la distància a l'orige, l'equació queda:

$F\left(x\right)=-k_i\left(x\right)\frac{d\delta }{dx}=-A\left(x\right)E\left(x\right)\frac{d\delta }{dx}$

Que és l'equació diferencial completa del moll. Si s'integra per a tot x, d'obté com resultat el valor de l'allargament unitari total. Normalment pot considerar-se F (x) constant i igual a la força total aplicada. Quan F (x) no és constant i s'inclou en el raonament l'inèrcia d'est, s'aplega a l'equació d'ona unidimensional que descriu els fenomens ondulatorios.

Supongam, per simplicitat, que tant la secció del resort, com la seua densitat (entenent densitat com la massa d'un tram de moll dividida pel volum del cilindre imaginari envolvente) i el seu mòdul d'elasticitat són constants a lo llarc del mateix i que el resort és cilíndric. Cridem $\Psi \left(x\right)$ al desplaçament d'una secció de moll. Ara prengam un tram diferencial de moll de llongitut (dx). La massa d'eixa porció vindrà donada per:

$dm=\rho Adx$

Aplicant la segona llei de Newton a eixe tram:

$F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial t}^2}=-\rho Adx\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial t}^2}$

És dir:

$\frac{\partial F}{\partial x}dx=-\rho Adx\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial t}^2}\to \frac{\partial F}{\partial x}=-\rho A\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial t}^2}$

Per un atre costat és senzill deduir que

$d\delta =\Psi (x+dx)-\Psi \left(x\right)=\frac{\partial \Psi }{\partial x}dx$

En introduir, per tant, esta expressió en l'equació diferencial del moll abans deduïda, s'aplega a:

$F\left(x\right)=-AE\frac{\partial \Psi }{\partial x}$

Derivant esta expressió respecte a x s'obté:

$\frac{\partial F}{\partial x}=-AE\frac{{\partial }^2\Psi }{{\partial x}^2}$

Juntant l'expressió temporal en l'expressió espacial es deduïx finalment l'equació general d'un moll cilíndric de secció, densitat i elasticitat constants, que coincidix exactament en l'equació d'ona llongitudinal:

$\frac{{\partial }^2\Psi (x,t)}{{\partial t}^2}=\frac{E}{\rho }\times \frac{{\partial }^2\Psi (x,t)}{{\partial x}^2}$

De la que es deduïx la velocitat de propagació de #destorbament en un moll ideal com:

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$

Moll en una massa suspesa

Per al cas d'un moll en una massa suspesa,

La solució Del qual és $x=(v_0/\omega )\sin \omega t$, és dir, la massa realisa un moviment harmònic simple d'amplitut $A_0=v_0/\omega$ i freqüència angular $\omega$. Derivant i substituint:

Simplificant:

Esta equació relaciona la freqüència natural en la rigidea del moll i la massa suspesa.

Moll de densitat variable

Per a un moll de densitat variable, mòdul d'elasticitat variable i secció de la envolvente variable, l'equació generalisada dels #destorbament és la que seguix:

En un resort d'estes característiques, l'ona viagera canviaria la seua velocitat i, per tant, el seu llongitut d'ona a lo llarc del recorregut. Ademés, en unes zones del moll la seua amplitut seria major que en unes atres, és dir, la solució depén de tres funcions arbitràries:

En l'anàlisis d'un resort real, apareixen també ones llongitudinals, travesseres i de torsió lo llarc i ample de les espira que es propaguen a una velocitat que depén de la raïl quadrada del mòdul d'elasticitat I del material per a les llongitudinals del mòdul d'elasticitat travessera G del material per a les transversal i del mòdul de torsió de la espira per a les de torsió, dividides totes per la densitat del material.

Solucions a l'equació d'ones en un moll

La solució general a l'equació en derivades parcials del moll simplificat de llongitut infinita es descriu a continuació. Donades les condicions inicials:

$\Psi (x,0)=f(x)$

${\Psi }_t(x,0)=g(x)$

a on ${\Psi }_t=\frac{\partial \Psi }{\partial t}$, la funció de D'Alembert solució a l'equació d'ona pot escriure's com:

$\Psi (x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}g(s)ds$

Tal solució admet que F i G puguen ser qualsevol classe de funcions contínues $f(x)\in C^k$ i $g(x)\in C^{k-1}$ quan $u(t,x)\in C^k$.

---

Per a un moll de llongitut finita L en els seus extrems ancorats, el problema es convertix en un de contorn que pot resoldre's per mig de separació de variables en la teoria de Sturm-Liouville. Donades unes condicions inicials com les anteriorment descrites i unes condicions de contorn d'extrems fixos. Les condicions inicials poden desenrollar-se en una série de Fourier de la següent forma:

$f\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

$g\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\frac{cn\pi }{L}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

En a on els coeficients de Fourier s'obtenen despuix d'integrar les funciones f i g com seguix:

$A_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f\left(x\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

$B_n=\frac{2}{n\pi c}\underset{0}{\overset{L}{\int }}g\left(x\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

per a $n=1,2,\mathrm{...}$

La solució a este problema queda escrita com seguix:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos \left(\frac{cn\pi t}{L}\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos \left(\frac{cn\pi t}{L}\right)$

Vore també

• Llei d'elasticitat de Hooke
• Mòdul d'elasticitat

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre resorts.

• Institute of Spring Technology
• Spring Manufacturers Institute
• (anglés)spring manufacturing machine