Coeficient de Poisson

Eixamplada per efecte Poisson del pla llongitudinal mig d'un prisma comprimit a lo llarc del seu eix. El grau d'eixamplada depén del coeficient de Poisson, en este cas s'ha usat $\nu \approx 0,50$.

El coeficient de Poisson (denotat per mig de la lletra grega $\nu$) és una constant elàstica que proporciona una mida de l'estretament de secció d'un prisma de material elàstic llineal i isótropo quan s'estira llongitudinalment i s'aprima en les direccions perpendiculars a la de estiramiento. El nom de dit coeficient se li va donar en honor al físic francés Simeon Poisson.

La majoria dels materials tenen valors de la relació de Poisson que oscilen entre 0,0 i 0,5. Per als materials blans, com el caucho, a on el mòdul aparent és molt major que el mòdul de cisallament, el coeficient de Poisson és propenc a 0,5. Per a les bromera d'polímero de cèlula oberta, la relació de Poisson és propenca a zero, ya que les cèlules tendixen a colapsar en compressió. Molts sòlits típics tenen relacions de Poisson de l'orde de 0,2-0,3.

Orige

El coeficient de Poisson és una mida de l'efecte Poisson, el fenomen pel qual un material tendix a expandir-se en direccions perpendiculars a la direcció de compressió. Pel contrari, si el material s'estira en lloc de comprimir-se, normalment tendix a contraure's en les direccions travesseres a la direcció de estiramiento. És freqüent observar que quan s'estira una goma elàstica, esta es torna notablement més fina. De nou, la relació de Poisson serà la relació entre la contracció relativa i l'expansió relativa i tindrà el mateix valor que l'anterior. En alguns casos poc freqüents, un material s'encollirà realment en la direcció travessera quan es comprimixca (o s'expandirà quan s'estire), lo que donarà lloc a un valor negatiu del coeficient de Poisson.

El coeficient de Poisson d'un material estable, isotrópico, llineal elàstic deu estar entre -1,0 i +0,5 pel requisit de que el mòdul de Young, el mòdul de cizalladura i el mòdul de compresibilidad tinguen valors positius. La majoria dels materials tenen valors de la relació de Poisson que oscilen entre 0,0 i 0,5. Un material isótropo perfectament incompresible deformat elásticamente a chicotetes deformacions tindria una relació de Poisson d'exactament 0,5. La majoria dels acers i polímero rígits, quan s'utilisen dins dels seus llímits de disseny (abans de fluencia), presenten valors d'aproximadament 0,3, que aumenten fins a 0,5 per a la deformació posterior al rendiment, que es produïx en gran mida a volum constant. El caucho té una relació Poisson de casi 0,5. La relació de Poisson del corcho és propenca a 0, mostrant molt poca expansió lateral quan es comprimix, i la del vidre està entre 0,18 i 0,30. Alguns materials, com algunes bromera polimèriques, els plecs de origami, i certes cèlules poden presentar un coeficient de Poisson negatiu, i es denominen augéticos. Si estos materials auxéticos s'estiren en una direcció, es tornen més grossos en la direcció perpendicular. Pel contrari, alguns materials anisótropos, com els nanotubos de carbono, els materials de làmina plegada en zigzag, i metamateriales auxéticos en forma de panal per nomenar alguns, poden presentar una o més relacions de Poisson superiors a 0,5 en determinades direccions.

Suponent que el material és estirat o comprimit en una sola direcció (l'eix x en el diagrama adjunt):

$\nu =-\frac{d{\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}}{d{\epsilon }_{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}}=-\frac{d{\epsilon }_{\mathrm{y}}}{d{\epsilon }_{\mathrm{x}}}=-\frac{d{\epsilon }_{\mathrm{z}}}{d{\epsilon }_{\mathrm{x}}}$

on

• $\nu$ és el coeficient de Poisson resultant
• ${\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}$ és la variació dimensional transversal
• ${\epsilon }_{\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}$ és la variació dimensional axial

una variació dimensional positiva significa extensió mentres que una negativa significa contracció.

Relació de Poisson per canvis de geometria

Canvie de llongitut

Archiu:PoissonRatio.svg

Figura 1: Una gaveta en costats de llongitut L d'un material isótropo linealment elàstic somés a tensió a lo llarc de l'eix x, en una relació de Poisson de 0.5. La gaveta verda està sense tensió, el roig està expandit en la direcció x per ΔL. La gaveta verda està sense tensió, el roig està expandit en la direcció x per ΔL per la tensió, i contret en les direccions i i z per ΔL'

.

Per a una gaveta estirada en la direcció x (vore la figura 1) en un aument de llongitut de $\Delta L$ en la direcció x, i una disminució de llongitut de $\Delta L^{\prime }$ en les direccions i i z, les deformacions diagonals infinitesimals vénen donades per

$d{\epsilon }_x=\frac{dx}{x}d{\epsilon }_y=\frac{dy}{y}d{\epsilon }_z=\frac{dz}{z}.$

Si la relació de Poisson és constant a través de la deformació, integrant estes expressions i utilisant la definició de la relació de Poisson s'obté

$-\nu \underset{L}{\overset{L+\Delta L}{\int }}\frac{dx}{x}=\underset{L}{\overset{L+\Delta L^{\prime }}{\int }}\frac{dy}{y}=\underset{L}{\overset{L+\Delta L^{\prime }}{\int }}\frac{dz}{z}.$

Resolent i exponenciando, la relació entre $\Delta L$ i $\Delta L^{\prime }$ és llavors

${(1+\frac{\Delta L}{L})}^{-\nu }=1+\frac{\Delta L^{\prime }}{L}.$

Per a valors molt menuts de $\Delta L$ i $\Delta L^{\prime }$, s'obté una aproximació de primer orde

$\nu \approx -\frac{\Delta L^{\prime }}{\Delta L}.$

Canvi volumètric

Ara es pot calcular el canvi relatiu de volum ΔV/V d'una gaveta pel estiramiento del material. Usant $V=L^3$ i $V+\Delta V=(L+\Delta L){(L+\Delta L^{\prime })}^2$:

$\frac{\Delta V}{V}=(1+\frac{\Delta L}{L}){(1+\frac{\Delta L^{\prime }}{L})}^2-1$

Utilisant la relació derivada anteriorment entre $\Delta L$ i $\Delta L^{\prime }$:

$\frac{\Delta V}{V}={(1+\frac{\Delta L}{L})}^{1-2\nu }-1$

i per a valors molt menuts de $\Delta L$ i $\Delta L^{\prime }$, s'obté l'aproximació de primer orde:

$\frac{\Delta V}{V}\approx (1-2\nu )\frac{\Delta L}{L}$

Per a materials isótropo podem utilisar relació de Lamé

$\nu \approx \frac{1}{2}-\frac{E}{6K}$

a on $K$ és el mòdul de compresibilidad i $E$ és el mòdul de Young.

Canvi d'esgambi

Archiu:Rod diameter change poisson.svg

Figura 2: Comparació entre les dos fòrmules, una para chicotetes deformacions, una atra per a grans deformacions

Si una vareta en diàmetro (o esgambi, o gruixa) d i llongitut L està somesa a tensió de manera que la seua llongitut canviarà en ΔL llavors el seu diàmetro d canviarà en:

$\frac{\Delta d}{d}=-\nu \frac{\Delta L}{L}$

La fòrmula anterior només és vàlida en el cas de deformacions menudes; si les deformacions són grans, pot utilisar-se la següent fòrmula (més precisa):

$\Delta d=-d(1-{(1+\frac{\Delta L}{L})}^{-\nu })$

a on

• $d$ és el diàmetro original
• $\Delta d$ és el canvi de diàmetro de la vareta
• $\nu$ és la relació de Poisson
• $L$ és la llongitut original, abans del estiramiento
• $\Delta L$ és el canvi de llongitut.

El valor és negatiu perque disminuïx en l'aument de la llongitut.

Materials característics

Materials isótropo

Si es pren un prisma mecànic fabricat en el material el coeficient del qual de Poisson pretenem medir i se somet este prisma a una força de tracció aplicada sobre les seues bases superior i inferior, el coeficient de Poisson es pot medir com: la raó entre l'acurtada d'una llongitut situada en un pla perpendicular a la direcció de la càrrega aplicada, dividit en l'allargament llongitudinal produït. Este valor coincidix igualment en el cocient de deformacions, de fet la fòrmula usual per al coeficient de Poisson és:

a on ε és la deformació.

Per a un material isótropo elàstic perfectament incompresible, est és igual a 0,5. La major part dels materials pràctics en l'ingenieria ronden entre 0,0 i 0,5, encara que existixen alguns materials composts cridats materials augéticos que tenen coeficient de Poisson negatiu. Termodinámicamente pot provar-se que tot material té coeficients de Poisson en l'interval (-1, 0,5), ya que l'energia elàstica de deformació (per unitat de volum) per a qualsevol material isótropo al voltant del punt d'equilibri (estat natural) pot escriure's aproximadament com:

L'existència d'un mínim relatiu de l'energia per a eixe estat d'equilibri requerix:

$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}>0,G=\frac{E}{2(1+\nu )}>0$

Esta última condició solament es pot complir si el coeficente de Poisson complix $0<\nu <0,5$.

Llei de Hooke generalisada

Coneixent lo anterior es pot concloure que en deformar-se un material en una direcció produirà deformacions sobre els demés eixos, lo que a la seua volta produirà esforços en tots els eixos. Per lo que és possible generalisar la llei de Hooke com:

$\{\begin{array}{c}{\epsilon }_x=\frac{1}{E}[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)]\\ {\epsilon }_y=\frac{1}{E}[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_z)]\\ {\epsilon }_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)]\end{array}$

És possible generalisar la Llei de Hooke (per a forces de compressió) en tres dimensions:

${\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})]$

${\epsilon }_{yy}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz})]$

${\epsilon }_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$

a on:

• ${\epsilon }_{xx}$, ${\epsilon }_{yy}$, i ${\epsilon }_{zz}$ són les deformacions en la direcció dels eixos $x$, $y$ i $z$
• ${\sigma }_{xx}$, ${\sigma }_{yy}$, i ${\sigma }_{zz}$ són el stress en la direcció dels eixos $x$, $y$ i $z$
• $E$ és mòdul de Young (el mateix en totes les direccions: $x$, $y$, i $z$ per a materials isotrópicos)
• $\nu$ és la relació de Poisson (la mateixa en totes les direccions: $x$, $y$ i $z$ per a materials isotrópicos)

Materials ortótropos

Per a materials ortotrópicos (com la fusta), el cocient entre la deformació unitària llongitudinal i la deformació unitària transversal depén de la direcció de estiramiento, pot comprovar-se que per a un material ortotrópico el coeficient de Poisson aparent pot expressar-se en funció dels coeficients de Poisson associats a tres direccions mútuament perpendiculars. De fet entre les dotze constants elàstiques habituals que definixen el comportament d'un material elàstic ortotrópico, solament nou d'elles són independents ya que deuen complir-se les restriccions entre els coeficients de Poisson principals i els mòduls de Young principals:

Llavors la llei de Hooke es pot expressar en forma matricial com:

$\left[\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{yy}\\ {ϵ}_{zz}\\ 2{ϵ}_{yz}\\ 2{ϵ}_{zx}\\ 2{ϵ}_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zx}}{E_z}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}& \frac{1}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zy}}{E_z}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu }_{xz}}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yz}}{E_y}& \frac{1}{E_z}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{G_{yz}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{G_{zx}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{G_{xy}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$

a on

• $E_i$ és el Mòdul de Young a lo llarc de l'eix $i$
• $G_{ij}$ és el Mòdul de cizalladura en direcció $j$ en el pla que la seua normal està en la direcció $i$
• ${\nu }_{ij}$ és la relació de Poisson que correspon a una contracció en la direcció $j$ quan s'aplica una extensió en direcció $i$.

Transversalment isótropo

Els materials transversalment isótropo tenen un pla d'isotropía en el que les propietats elàstiques són isótropo. Si suponem que este pla d'isotropía és $y-z$, llavors la llei de Hooke pren la forma.

$\left[\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{yy}\\ {ϵ}_{zz}\\ 2{ϵ}_{yz}\\ 2{ϵ}_{zx}\\ 2{ϵ}_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zx}}{E_z}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}& \frac{1}{E_y}& -\frac{{\nu }_{zy}}{E_z}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu }_{xz}}{E_x}& -\frac{{\nu }_{yz}}{E_y}& \frac{1}{E_z}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{G_{\mathrm{y}\mathrm{z}}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{G_{\mathrm{z}\mathrm{x}}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{G_{\mathrm{x}\mathrm{y}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$

a on hem utilisat el pla d'isotropía $y-z$ per a reduir el número de constants, és dir, $E_y=E_z,{\nu }_{xy}={\nu }_{xz},{\nu }_{yx}={\nu }_{zx}$.

La simetria dels tensors de tensió i deformació implica que

$\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}=\frac{{\nu }_{yx}}{E_y},{\nu }_{yz}={\nu }_{zy}.$

Açò nos deixa en sis constants independents $E_x,E_y,G_{xy},G_{yz},{\nu }_{xy},{\nu }_{yz}$. No obstant, la isotropía travessera dona lloc a una restricció adicional entre $G_{yz}$ i $E_y,{\nu }_{yz}$ complint-se que

$G_{yz}=\frac{E_y}{2(1+{\nu }_{yz})}.$

Per lo tant, hi ha cinc propietats elàstiques independents del material, dos de les quals són relacions de Poisson. Per al supòsit pla de simetria, el major de ${\nu }_{xy}$ i ${\nu }_{yx}$ és la major relació de Poisson. Les atres relacions de Poisson major i menor són iguals.

Valors per a varis materials

El coeficient de Poisson és adimensional. Per a vore el valor del coeficient de Poisson per a varis materials consultar els valors del coeficient de Poisson del Anex:Constants elàstiques de diferents materials.

Materials en coeficient de Poisson negatiu

Alguns materials coneguts com augéticos presenten coeficients de Poisson negatiu. Quan són somesos a deformació positiva en sentit llongitudinal, la deformació travessera també serà positiva, és dir que aumentara l'àrea de la secció. Per a estos materials, usualment es deu a enllaços moleculars en orientació particular.

Vore també

• Mòdul d'elasticitat llongitudinal (I)
• Mòdul d'elasticitat travessera (G)

Bibliografia

• Ortiz Berrocal, L., Elasticitat, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.

Enllaços externs

• (Inglés) Materials Augéticos