Programa de Hilbert

En matemàtiques, el Programa de Hilbert, formulat pel matemàtic alemà David Hilbert en la década de 1920, va ser una solució proposta davant la crisis fundacional de les matemàtiques, en époques en que en els primers intents per clarificar els fonaments de la matemàtica contenien paradoxes i inconsistencias. Com a solució, Hilbert va propondre basar-se en totes les teories existents per a formar un conjunt d'axioma finito i complet, i proveir prova de que eixos axioma eren consistents. L'alemà va propondre que la consistència de sistemes més complicats, com l'anàlisis real, podrien ser provats en térmens de sistemes més simples. Últimament, la consistència de tota la matemàtica pot ser reduïda a aritmètica bàsica.

No obstant els teoremes de incompletitud de Gödel, formulats pel matemàtic austrohúngaro Kurt Gödel, varen demostrar en 1931 que el programa de Hilbert era inalcançable. En la seua primera teorema va mostrar que qualsevol sistema consistent en un conjunt computable de axioma, capaç d'expressar aritmètica mai pot ser complet: és possible construir una afirmació que pot ser demostrada com a verdadera, pero no pot ser derivada de les regles formals del sistema. En la seua segona teorema, Gödel va mostrar que un sistema com aquell no podria provar la seua pròpia consistència, de modo que tampoc pot ser usat per a provar la consistència de res més forta. Açò va contradir la suposició de Hilbert de que un sistema finitista podia ser usat per a provar la consistència d'una teoria més forta.

Afirmació del programa de Hilbert

El principal objectiu del programa de Hilbert era dotar de fonaments per a totes les matemàtiques. En particular açò devia incloure:

• Una formalisació de totes les matemàtiques. En atres paraules, totes les afirmacions matemàtiques deurien ser escrites en un llenguage precís i formal, i manipulades d'acort a regles ben definides. (vore Formalisme matemàtic)
• Integritat: una prova de que totes les afirmacions matemàtiques poden ser provades en el formalisme.
• Consistència: una prova de que cap contradicció pot ser obtinguda en el formalisme de les matemàtiques. Esta prova de consistència deuria preferentment usar sol raonament finitista sobre els objectes matemàtics finitos.
• Conservació: una prova de que cap resultat sobre "objectes reals" obtinguda usant raonament sobre "objectes ideals" (com els conjunts incontables) pot ser provat sense usar objectes ideals.
• Decidibilidad: deuria haver un algoritme per a decidir la veritat o falsetat de qualsevol afirmació matemàtica.

Les teoremes de incompletitud de Gödel

Gödel va demostrar que la majoria dels objectius del programa de Hilbert eren impossibles d'alcançar, per lo manco si eren interpretats en la forma més òbvia. La seua segona teorema de incompletitud va afirmar que qualsevol teoria lo suficientment consistent com per a sifrar la suma i multiplicació de sancers, no pot provar la seua pròpia consistència. Açò acaba en la major part del programa de Hilbert:

• No és possible formalisar tota la matemàtica, ya que qualsevol intent dins del formalisme ometrà certes afirmacions matemàtiques verdaderes.
• Una simple conseqüència de la teorema de incompletitud de Gödel és que no hi ha una extensió completa consistent inclús de l'aritmètica de Peano en un conjunt recursivamente enumerable de axioma, per lo tant en particular la majoria de les teories matemàtiques interessants no estan completes.
• Una teoria com la de axioma de Peano no pot siquiera provar la seua pròpia consistència, de modo que un subconjunt llimitat finitista del mateix segurament no pot provar la consistència de teories més poderoses, com la teoria de conjunts.
• No existix algoritme per a decidir la veracitat (o provabilitat) d'afirmacions en cap extensió consistent de la teorema de Peano. (Estrictament parlant, este resultat va aparéixer uns pocs anys despuix de les teoremes de Gödel, ya que per eixa época la definició d'un algoritme no era exacta.)

Vore també

• Fonaments de la matemàtica
• Sistema formal

Referències

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der regnen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493–565. Traduït a l'anglés com 'The consistency of arithmetic', en The collected papers of Gerhard Gentzen, M. E. Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485-94. Traduït a l'anglés per W. Ewald com 'The Grounding of Elementary Number Theory', págs. 266-273 en From Brouwer to Hilbert: The debat on the foundations of mathematics in the 1920’s de Mancosu (ed., 1998), Oxford University Press. New York.
• S.G. Simpson, 1988. Partial realizations of Hilbert's program [1] archivat en Wayback Machine.. Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach, 2005. Hilbert's Program Then and Now. Manuscrit, arXiv:math/0508572v1.