Metamatemática

La metamatemática és l'estudi matemàtic dels fonaments de les matemàtiques que sorgix com a disciplina en el XIX.^{cita requerida} Pretén una visió de conjunt, panóptica, pero rigorosa de les matemàtiques, utilisant els seus propis métodos i models. Els esforços metamatemáticos, no obstant, s'han difòs principalment a través de la formulació de conegudes paradoxes que resalten anomalies, incoherències o contradiccions de les teories matemàtiques més conegudes.^{cita requerida}

Context històric del concepte

Històricament, la necessitat de diferenciar els teoremes matemàtiques pròpiament tals de les metateorías i metateoremas (postulats en forma de teories i teoremes, pero referits a les pròpies matemàtiques) sorgix en el context de lo que es va conéixer com la «crisis dels fonaments» de fins de el XIX i inicis de el XX.^{cita requerida} En este marc s'inscriuen la coneguda paradoxa de Russell, que fa aparéixer en primer pla les anomalies de la primera teoria de conjunts de Georg Cantor i Gottlob Frege, posant de manifest les seues contradiccions, i la paradoxa de Richard, una antinomia semàntica del llenguage natural en relació en la teoria de conjunts, que pretén demostrar contradiccions respecte de la numerabilidad del conjunt dels número real (en el teorema de Cantor).

La paradoxa de Richard

Artícul principal → Paradoxa de Richard.

Esta última paradoxa està fortament relacionada en el desenroll del concepte de «metamatemática» i es va publicar originalment en 1905 en l'ensaig Els Principes dones mathématiques et li problème dones ensembles. També es va reproduir, junt a atres sis paradoxes, en els Principia Mathematica d'Alfred North Whitehead i Bertrand Russell. Gödel també es va referir més vesprada a ella, senyalant que la seua teorema de la indecidibilidad era un anàlec a la paradoxa de Richard.

La construcció de la paradoxa de Richard utilisa la primera versió del procediment de diagonalización de Cantor per a construir un número definit com finito que no pertanyga al conjunt de tots els números definits finitos.

Totes les definicions finitas, i en elles tots els número decimal finitamente definits, formen un conjunt numerable. Estes definicions poden ordenar-se lexicográficamente i sifrar-se els número decimal definits en una llista. En esta llista, la n-ésina sifra p del n-ésimo número decimal es reemplaça per la sifra p + 1 quan p no és igual a 8 o a 9; en cas contrari se li reemplaça per la sifra 1. Escrites en seqüència, les sifres reemplaçades formen un número decimal.

Este número decimal no es conté en la llista original, ya que es diferencia de cada element de la llista en a lo manco una posició, en efecte, del n-ésimo número decimal en la n-ésima posició. No obstant, ha segut definida per mig del paràgraf anterior amprant un número finito de paraules, per lo que pertany al conjunt de tots els número decimal finitamente definibles.

La demostració de Zermelo

A penes un any abans, en 1904, Zermelo havia publicat ademés una demostració, que generava entre els matemàtics de l'época una forta polèmica. Si ben ya molt abans de Zermelo s'havien descobert certes paradoxes en la teoria de conjunts, tot es podia atribuir a un us clapixc, no estricte i no axiomàtic del concepte de conjunt. Pero en el cas de la polèmica desnugada entorn a Zermelo es tractava ya d'una demostració matemàtica, acceptada per alguns matemàtics i rebujada per uns atres. Recolzant-se en l'Axioma d'elecció, Zermelo publica una demostració per a sostindre que «tot conjunt I pot ser proveït d'un bon orde». Poincaré va ser un dels connotados detractors d'este axioma. Finalment, va requerir d'una nova demostració, en 1908 per a després, una década més vesprada, establir-se com un sistema axiomàtic més consistent i de major acceptació, lo que hui es denomina axioma de Zermelo-Fraenkel.

L'exigència de Hilbert, el seu programa i les teoremes de incompletitud de Gödel

En l'any 1920 el matemàtic David Hilbert va presentar l'exigència d'establir la matemàtica sobre la base d'un sistema axiomàtic complet i lliure de contradiccions. Este afany es coneix com el programa de Hilbert. Per a l'anàlisis dels fonaments de la matemàtica en métodos matemàtics va falcar el terme de «metamatemática» (análogamente al de metafísica).

El programa de Hilbert semblava fracassar considerant que el teorema de incompletitud de Gödel demostrava que no existix un sistema de axioma que responga a les exigències de Hilbert. En particular, no és possible desenrollar un sistema formal en el qual totes les expressions verdaderes puguen també ser demostrades.

Despuix de les demostracions sobre la llibertat de contradiccions per a una part de l'aritmètica realisades per Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand i Mojżesz Presburger, Gerhard Gentzen va arribar a una demostració sobre la llibertat de contradiccions per al primer orde de l'aritmètica de Peano, per a la que, no obstant, va utilisar l'aixina cridada inducció transfinita. Pero totes estes demostracions tenen en comuna que - en concordancia en la teorema de incompletitud de Gödel - cap es va poder realisar dins de l'aritmètica mateixa.

Sobre els conjunts decidibles, Alonzo Church va obtindre resultats importants, conseguint demostrar la indecidibilidad de la llògica de predicats en tots els órdens. El concepte de recursividad en este context és equivalent al de computabilidad i decidibilidad.

Paul Lorenzen va desenrollar en 1951 una demostració lliure de contradiccions per a la teoria de tipos ramificada. Esta demostració proveïx la llibertat de contradicció per a parts de l'anàlisis clàssic. En el seu llibre Metamathematik, publicat en 1962, concep la metamatemática com una «matemàtica de les metateorías», a on una metateoría constituïx una teoria (constructiva o axiomàtica) sobre teories axiomàtiques.

A través de l'us de la regla-$\omega$ (inducció infinita) s'obté un semiformalismo complet (K. Schütte) de l'aritmètica i en això una demostració lliure de contradiccions de la matemàtica constructiva per mig de l'incorporació del teorema fonamental de Gentzen.

Vore també

• Filosofia de les matemàtiques
• Formalisme matemàtic
• Fonaments de la matemàtica
• Història de les matemàtiques
• Teoria de la demostració
• Programa de Hilbert
• Metalógica

Bibliografia

• (1928).Hamburger Mathematischen Einzelschriften.Springer Fachmedien.Wiesbaden:(2)Consultat el 3 de març de 2016.
• Paul Lorenzen: Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis [La llibertat de contradiccions de l'anàlisis clàssic], Mathematische Zeitschrift (54) 1951

• P. Lorenzen: Algebraische und Logische Untersuchungen über freie Verbände [Investigacions algebraiques i llògiques sobre unions lliures], The Journal of Sybmolic Logik (16) Providence 1951
• Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics. [Introducció a la metamatemática] Amsterdam Groningen 1952
• K. Schütte: Beweistheorie. [Teoria de la demostració] Berlin Göttingen Heidelberg 1960
• P. Lorenzen: Metamathematik. [Metamatemática] Mannheim 1962 1980²
• Wolfgang Stegmüller: Unvollständigkeit und Unendscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Gödel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung, [Incompletitud i indecidibilidad. Els resultats matemàtics de Gödel, Church, Kleene, Rosser i el seu significat epistemològic] Wien/New York 1973³
• Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach ein Endloses Geflochtenes Band [Gödel, Escher, Bach, una cinta trenada infinita], ISBN 3-608-94338-2
• G. Wolters: Metamathematik, Artikel in: Mittelstraß (hrsg.) Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie 2 [Metamatemática, artícul en: Mittelstraß (editor) Enciclopèdia de filosofia i teoria de la ciència] Mannheim Wien Zürich 1984