Matemàtica aplicada
La matemàtica aplicada —també matemàtiques aplicades o matemàtica i aplicacions— es referix a aquells métodos i ferramentes matemàtics que poden ser utilisats en l'anàlisis o resolució de problemes pertanyents a l'àrea de les ciències bàsiques o aplicades,[1] com el càlcul, l'àlgebra llineal, les equacions diferencials i atres procediments ideats des de que es va falcar el concepte.
Molts métodos matemàtics han resultat efectius en l'estudi de problemes en física, química, biologia, ingenieria, medicina, ciències socials, informàtica, economia i les activitats econòmic-financeres o ecologia. No obstant, una possible diferència és que en matemàtiques aplicades es procura el desenroll de les matemàtiques «cap a fòra», és dir la seua aplicació o transferència cap al restant de les àrees. I en menor grau «cap a dins» o siga, cap al desenroll de la matemàtica mateixa. Este últim seria el cas de la matemàtica pura o de la matemàtica elemental.[2]
La matemàtica aplicada s'usa en freqüència en distintes àrees tecnològiques para modelació, simulació i optimisació de procéss o fenomens, com el túnel de vent o el disseny d'experiments. En les últimes décades, una de les aplicacions més directes de la matemàtica tals com: àlgebra llineal, geometria plana i de l'espai, càlcul i física han segut un fonament per al desenroll de simuladors i videojocs en 3D.
Història
[editar | editar còdic]Històricament, la matemàtica aplicada consistia principalment en anàlisis aplicat, sobretot equacions diferencials; teoria de l'aproximació (en sentit ampli, per a incloure representació, métodos asintòtics, métodos variacionales, i anàlisis numèric); i provabilitat aplicada. Estes àrees de les matemàtiques es varen relacionar directament en el desenroll de la física newtoniana, i de fet, la distinció entre matemàtics i físics no va ser molt marcada abans de mitan de el XIX. Esta història va deixar un llegat pedagògic en Estats Units: fins a principis de el XX, assignatures com la mecànica clàssica solien impartir-se en els departaments de matemàtiques aplicades de les universitats nortamericanes en lloc d'en els de física, i la mecànica de decorreguts pot seguir impartint-se en els departaments de matemàtica aplicada.[3] Els departaments d'ingenieria i ciències de la computació han utilisat tradicionalment la matemàtica aplicada.
Divisions
[editar | editar còdic]
En l'actualitat, la locució «matemàtica aplicada» s'utilisa en un sentit més ampli. Inclou les àrees clàssiques senyalades anteriorment, aixina com atres àrees que han adquirit una importància creixent en les aplicacions. Inclús camps com la teoria de números que formen part de la matemàtica pura són ara importants en les aplicacions (com la criptografia), encara que generalment no es consideren part del camp de les matemàtica aplicada per es.
No hi ha consens sobre quins són les distintes branques de la matemàtica aplicada. Estes #categorisació es veuen dificultades per la forma en que les matemàtiques i la ciència canvien en el temps, i també per la forma en que les universitats organisen els departaments, els cursos i les titulacions.
Molts matemàtics distinguixen entre la "matemàtica aplicada", que s'ocupen dels métodos matemàtics, i les "aplicacions de la matemàtica" dins de la ciència i l'ingenieria. Un biòlec que utilisara un model de població i aplicara les matemàtiques conegudes no estaria fent matemàtiques aplicades, sino utilisant-les; no obstant, els biòlecs matemàtics han plantejat problemes que han estimulat el creiximent de les matemàtiques pures. Matemàtics com Poincaré i Arnold neguen l'existència de les "matemàtiques aplicades" i afirmen que només hi ha "aplicacions de les matemàtiques". De la mateixa manera, els no matemàtics mesclen les matemàtiques aplicades i les aplicacions de les matemàtiques. L'us i desenroll de les matemàtiques per a resoldre problemes industrials també es denomina "matemàtiques industrials".[4]
L'èxit dels moderns métodos matemàtics numèrics i del software ha dut a l'aparició de la matemàtica computacional, la ciència computacional i l'ingenieria computacional, que utilisen computació d'alt rendiment per a la simulació de fenomens i la solució de problemes en les ciències i l'ingenieria. A sovint es consideren interdisciplinàries.
Matemàtiques aplicables
[editar | editar còdic]En ocasions, la locució 'matemàtiques aplicables' s'utilisa per a distinguir entre les matemàtiques aplicades tradicionals que es varen desenrollar junt en la física i les moltes àrees de les matemàtiques que són aplicables als problemes del món real hui en dia, encara que no hi ha consens sobre una definició precisa.[5]
Els matemàtics solen distinguir entre les "matemàtiques aplicades", per un costat, i les "aplicacions de les matemàtiques" o "matemàtiques aplicables", tant dins com fòra de la ciència i l'ingenieria, per un atre.[5] Alguns matemàtics emfatisen la locució de «matemàtiques aplicables» per a separar o delimitar les àrees aplicades tradicionals de les noves aplicacions que sorgixen de camps que abans es consideraven matemàtiques pures.[6] Per eixemple, des d'este punt de vista, un ecólogo o geógrafo que utilise models de població i aplique matemàtiques conegudes no estaria fent matemàtiques aplicades, sino aplicables. Inclús camps com la teoria dels números que formen part de les matemàtiques pures són ara importants en les aplicacions (com la criptografia), encara que generalment no es consideren part del camp de les matemàtiques aplicades per es. Tals descripcions poden dur a considerar les matemàtiques aplicables com una colecció de métodos matemàtics com l'anàlisis real, l'àlgebra llineal, la modelización matemàtica, l'optimisació, la combinatòria, la provabilitat i l'estadística, que són útils en àrees alienes a les matemàtiques tradicionals i no específiques de la física matemàtica.
Atres autors preferixen descriure les matemàtiques aplicables com una unió de "noves" aplicacions matemàtiques en els camps tradicionals de les matemàtiques aplicades.[6][7][8] En esta perspectiva, les locucions «matemàtica aplicada» i «matemàtica aplicable» són, puix, intercanviables.
Utilitat
[editar | editar còdic]
Històricament, les matemàtiques han segut molt importants en les ciències naturals i l'ingenieria. No obstant, des de la Segona Guerra Mundial, camps aliens a les ciències físiques han propiciat la creació de noves àrees de les matemàtiques, com la teoria dels jocs i la teoria de l'elecció social, que varen sorgir de consideracions econòmiques. Ademés, l'utilisació i el desenroll dels métodos matemàtics es va estendre a atres àrees, donant lloc a la creació de nous camps com les finances matemàtiques i la ciència de senyes.
L'arribada de l'ordenador ha permés noves aplicacions: estudiar i utilisar la nova tecnologia informàtica en sí mateixa (ciència de la computació) per a abordar problemes que sorgixen en atres àrees de la ciència (la ciència computacional), aixina com les matemàtiques de la computació (per eixemple, la ciència de la computació teòrica, l'àlgebra computacional,[9][10][11][12] o l'anàlisis numèric[13][14][15][16]). l'estadística és provablement la disciplina matemàtica més estesa que s'utilisa en les ciències socials, pero atres àrees de les matemàtiques, sobretot l'economia, estan resultant cada volta més útils en estes disciplines.
Matemàtiques bàsiques front a matemàtiques aplicades
[editar | editar còdic]Els matemàtics sempre han tingut opinions divergents sobre la distinció entre matemàtiques pures i aplicades. Un dels eixemples moderns més famosos (encara que potser malinterpretado) d'este debat es troba en l'obra de G.H. Hardy Apologia del Matemàtic.
L'opinió generalisada és que Hardy considerava que les matemàtiques aplicades eren lleges i avorrides. Encara que és cert que Hardy preferia les matemàtiques bàsiques, que a sovint comparava en la pintura i la poesia, considerava que la distinció entre les matemàtiques bàsiques i les aplicades consistia simplement en que les matemàtiques aplicades tractaven d'expressar la veritat física en un marc matemàtic, mentres que les matemàtiques bàsiques expressaven veritats que eren independents del món físic. Hardy va fer una distinció entre lo que va cridar matemàtiques "reals", "que tenen un valor estètic permanent", i "les parts avorrides i elementals de les matemàtiques" que tenen un us pràctic.
Hardy considerava que alguns físics, com Einstein i Dirac, es trobaven entre els matemàtics "reals", pero en el moment en que escrivia la Apologia considerava que la relativitat general i la mecànica quàntica eren "inútils", lo que li permetia mantindre l'opinió de que només les matemàtiques "avorrides" eren útils. Ademés, va admetre breument que -de la mateixa manera que l'aplicació de la teoria de matrius i la teoria de grups a la física havia aplegat de forma inesperada- podria aplegar un moment en el que alguns tipos de matemàtiques belles i "reals" també foren útils.
Un atre punt de vista perspicaz és l'oferit per Magid:
Friedrich Engels va argumentar en Anti-Dühring que:
Ademés, també va sostindre que:
Àrees de les matemàtiques en aplicacions freqüents
[editar | editar còdic]Càlcul diferencial i integral
[editar | editar còdic]El càlcul diferencial i integral és usat en cada branca de les ciències naturals, l'estadística, l'ingenieria i l'economia; i inclús en els negocis, la medicina, la demografia, i més generalment en qualsevol àrea en la que un problema puga ser modelació matemàticament per mig de variables contínues d'número real o complexos, i a on es desige obtindre una solució òptima; o quan es deguen entendre els cicles i interaccions entre les variables. En paraules de Steven Strogatz:
Anàlisis numèric
[editar | editar còdic]El camp del anàlisis numèric inclou moltes subdisciplinas. Algunes de les principals són:
- Interpolació, extrapolació i regressió
l'interpolació resol el següent problema: donat el valor d'alguna funció desconeguda en un número de punts, ¿quin valor té eixa funció en algun atre punt entre els punts donats?
l'extrapolació és molt similar a l'interpolació, llevat que ara cal trobar el valor de la funció desconeguda en un punt que està fòra dels punts donats.[20]
La regressió també és similar, pero té en conte que les senyes són imprecises. Donats uns punts, i una mida del valor d'alguna funció en estos punts (en un error), es pot trobar la funció desconeguda. El método de mínims quadrats és una forma de conseguir-ho.
- Resolució d'equacions i sistemes d'equacions
Un atre problema fonamental és calcular la solució d'una equació donada. Se solen distinguir dos casos, depenent de si l'equació és llineal o no.
S'ha dedicat molt esforç al desenroll de métodos per a resoldre sistemes d'equacions llineals. Els métodos directes estàndart, és dir, els que utilisen alguna descomposició matricial són l'eliminació gaussiana, la descomposició LU, la descomposició de Cholesky per a sistemes simètrics (o hermíticos) i definits positius, i la descomposició QR per a matrius no quadrades. Métodos iterativos com el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, la sobrerrelajación successiva i el método del gradient conjugat[21] solen ser els preferits per a sistemes grans. Es poden desenrollar métodos iterativos generals utilisant un desdoblament de matriu.
Els algoritmes de busca de raïls s'utilisen per a resoldre equacions no llineals (es diuen aixina perque una raïl d'una funció és un argument per al que la funció dona zero). Si la funció és diferenciable i es coneix la derivada, el método de Newton és una opció popular.[22][23] La linealización és una atra tècnica per a resoldre equacions no llineals.
- Resolució de problemes de valors propis o de valors singulars
Varis problemes importants es poden plantejar en térmens de descomposició de valors propis o descomposició de valors singulars. Per eixemple, l'algoritme de compressió d'imàgens espectrals[24] es basa en la descomposició del valor singular. La ferramenta corresponent en estadística es diu anàlisis de components principals.
- Optimisació
Els problemes d'optimisació pregunten pel punt en el que s'maximizar (o minimisa) una funció donada. A sovint, el punt també té que satisfer algunes condicions de contorn.
El camp de l'optimisació es dividix a la seua volta en varis subcampos, depenent de la forma de la funció objectiu i de la restricció. Per eixemple, la programació llineal s'ocupa del cas en que tant la funció objectiu com les restriccions són llineals. Un método famós en programació llineal és el método simplex.
El método dels multiplicadors de Lagrange pot utilisar-se per a reduir els problemes d'optimisació en restriccions a problemes d'optimisació sense restriccions.
- Evaluació d'integrals
L'integració numèrica, en alguns casos també coneguda com quadratura numèrica, pregunta pel valor d'una integral definida.[25] Els métodos populars utilisen una de les fòrmules de Newton-Cotes (com la regla del punt mig o la regla de Simpson) o la quadratura gaussiana.[26] Estos métodos es basen en una estratègia de "dividix i venceràs", per mig de la que una integral sobre un conjunt relativament gran es descompon en integrals sobre conjunts més menuts. En dimensions més altes, a on estos métodos es tornen prohibitivamente cars en térmens d'esforç computacional, es pot utilisar el método de Montecarlo o método cuasi-Mont Carlos (vejau integració de Mont Carlo[27]), o, en dimensions modestament grans, el método de sparse grids.
- Equacions diferencials
L'anàlisis numèric també s'ocupa de calcular (de forma aproximada) la solució de les equacions diferencials, tant les ordinàries com les equacions en derivades parcials.[28]
Les equacions diferencials parcials es resolen discretizando primer l'equació, duent-la a un subespacio de dimensió finita.[29] Açò pot fer-se per mig d'un método d'elements finitos,[30][31][32] un método de diferències finitas,[33] o (especialment en ingenieria) un método de volum finito.[34] La justificació teòrica d'estos métodos sol implicar teoremes del anàlisis funcional. Açò reduïx el problema a la solució d'una equació algebraica.
- Àlgebra llineal i uns atres
- Anàlisis complex / variable complexa
- Anàlisis funcional i #àlgebra de Lie
- Equacions diferencials
- Estadística inferencial
- Investigació operativa
- Matemàtica discreta
- Optimisació
- Sistemes dinàmics
- Teoria de control
- Càlcul de provabilitat
- Fractales
S'inclouen com a part central de les matemàtiques aplicades l'anàlisis numèric i la computació científica.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ «matemàtiques aplicades». RAER.
- ↑ (2002).Synthese.133(1)
- 43–57.doi:10.1023/A:1020823608217.Consultat el 8 d'octubre de 2018.
- ↑
Stolz, M.(2002).«L'història de les matemàtiques aplicades i l'història de la societat».Synthese.133(1)
- 43-57.doi:10.1023/A:1020823608217. (Enllaç trencat: febrer de 2020)
- ↑ University of Strathclyde«Industrial Mathematics».
- ↑ 5,0 5,1 Perspectives on Mathematics Education: Papers Submitted by Members of the Bacomet Group, pgs 82-3. Editors: H. Christiansen, A.G. Howson, M. Otte. Volum 2 de la Biblioteca d'Educació Matemàtica; Springer Science & Business Mija, 2012. ISBN 9400945043, 9789400945043.
- ↑ 6,0 6,1 Survey of Applicable Mathematics, pg xvii (Foreword). K. Rektorys; 2ª edició, ilustrada. Springer, 2013. ISBN 9401583080, 9789401583084.
- ↑ PENSAMENTS SOBRE MATEMÀTIQUES APLICADES.
- ↑ CONFERÈNCIA INTERNACIONAL DE MATEMÀTIQUES APLICABLES (ICAM-2016). [1] archivat en Wayback Machine. Departament de Matemàtiques del Colege Stella Maris.
- ↑ Von Zur Gathen, J., & Gerhard, J. (2013). Modern computer algebra. Cambridge University Press.
- ↑ Geddes, K. O., Czapor, S. R., & Labahn, G. (1992). Algorithms for computer algebra. Springer Science & Business Mija.
- ↑ Albrecht, R. (2012). Àlgebra computacional: computació simbòlica i algebraica (Vol. 4). Springer Science & Business Mija.
- ↑ Mignotte, M. (2012). Matemàtiques per a l'àlgebra computacional. Springer Science & Business Mija.
- ↑ Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introducció a l'anàlisis numèric. Springer Science & Business Mija.
- ↑ Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Anàlisis numèric elemental: un enfocament algorítmic. Societat_de_Matemàtica_Industrial_i_Aplicada.
- ↑ Greenspan, D. (2018). Anàlisis numèric. CRC Press.
- ↑ Linz, P. (2019). Anàlisis numèric teòric. Courier Dover Publications.
- ↑ Andy Magid (novembre de 2005) Carta de l'editor, Notices of the American Mathematical Society, pàgina 1173
- ↑ 18,0 18,1 Marx Engels Collected Works (Volume 25), English edició, Moscow: Progress Publishers, p. 33-133. ISBN 0-7178-0525-5.
- ↑ Strogatz, Steven H. (Steven Henry), (2019). Infinite powers : how calculus reveals the secrets of the universe (en anglés). OCLC 1045469644. ISBN 9781328879981.
- ↑ Brezinski, C., & Zaglia, M. R. (2013). Métodos d'extrapolació: teoria i pràctica. Elsevier.
- ↑ Hestenes, Magnus R.; Stiefel, Eduard (decembre de 1952). "Métodos de #gradient conjugats per a resoldre sistemes llineals". Journal of Research of the National Bureau of Standards. 49 (6): 409.
- ↑ Ezquerro Fernández, J. A., & Hernández Verón, M. Á. (2017). El método de Newton: Una aproximació actualisada de la teoria de Kantorovich. Birkhäuser.
- ↑ Peter Deuflhard, Métodos de Newton per a problemes no llineals. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Segona edició impresa. Séries Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- ↑ «La descomposició del valor singular i les seues aplicacions en la compressió d'imàgens». Archivat des d'el original, el 4 d'octubre de 2006. Consultat el 23 de giner de 2022.
- ↑ Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Métodos d'integració numèrica. Courier Corporation.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature". De MathWorld--A Wolfram Web Resource. Plantilla:URL
- ↑ Geweke, J. (1995). Simulació de Mont Carlo i integració numèrica. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Research Department.
- ↑ Iserles, A. (2009). A first course in the numerical analysis of differential equations. Cambridge University Press.
- ↑ Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
- ↑ Johnson, C. (2012). Solució numèrica d'equacions diferencials parcials pel método d'elements finitos. Courier Corporation.
- ↑ Brenner, S., & Scott, R. (2007). La teoria matemàtica dels métodos d'elements finitos. Springer Science & Business Mija.
- ↑ Strang, G., & Fix, G. J. (1973). Un anàlisis del método d'elements finitos. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-hall.
- ↑ Strikwerda, J. C. (2004). Esquemes de diferències finitas i equacions diferencials parcials. SIAM.
- ↑ LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- William J. Clark, Robert A. Brechner: Applied Basic Mathematics, Addison-Wesley, 2008, ISBN 978-0-321-19407-7.
- Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body & Soul, Springer Verlag, 2004/05, mehrere Bände, ISBN 978-3-540-24340-3, 978-3540228790, 978-3540214014.
- Norbert Herrmann: Mathematik ist überall, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012, ISBN 978-3-486-71291-9.
- James P. Keener: Principles Of Applied Mathematics, Westview Press, 2000, ISBN 978-0-7382-0129-0.
- Burkhard Lenze: Basiswissen Angewandte Mathematik -Numerik, Grafik, Kryptik-, Springer-Vieweg, 2020, ISBN 978-3-658-30027-2.
- J. David Logan: Applied Mathematics, Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0-471-74662-1.
- Josef Trölß: Angewandte Mathematik mit MathCad, Springer Verlag, 2007/08, mehrere Bände, ISBN 978-3-211-76742-9, 978-3211711781, 978-3211767467, 978-3211767481.
Enllaços externs
[editar | editar còdic]- Societat Espanyola de Matemàtica Aplicada
- International Council for Industrial and Applied Mathematics (en anglés)
- Pàgina de matemàtiques de Chile [2] archivat en Wayback Machine.
Referències
[editar | editar còdic]- Este artícul conté una traducció derivada de «Matemática aplicada» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.