Atractor

En els sistemes dinàmics, un atractor és un conjunt de valors numèrics cap als quals un sistema tendix a evolucionar, donada una gran varietat de condicions inicials en el sistema. Per a que un conjunt siga un atractor, les trayectòrias que li siguen suficientment pròximes han de permanéixer pròximes inclús si són llaugerament pertorbades. Geomètricament, un atractor pot ser un punt, una curva, una varietat o inclús un conjunt complicat d'estructura fractal conegut com atractor estrany. La descripció de atractores de sistemes dinàmics caòtics ha segut un dels grans guanys de la teoria del caos.

La trayectòria del sistema dinàmic en el atractor no té que satisfer cap propietat especial llevat la de permanéixer en el atractor; pot ser periòdica, caòtica o de qualsevol atre tipo.

Definició

Els sistemes dinàmics solen ser definits en térmens d'equacions diferencials. Estes equacions descriuen el comportament del sistema per a un periodo breu. Per a determinar el comportament del sistema per a periodos més llarcs és necessari integrar les equacions, ya siga analíticamente o per métodos numèrics (iteración), per a lo que s'ha fet imprescindible l'ajuda dels ordenadors.

Els sistemes dinàmics procedents d'aplicacions físiques tendixen a ser disipativos: si no fòra per alguna força externa el moviment cessaria. El malbarat pot procedir de fricció interna, pèrdues termodinàmicas o pèrdua de material, entre atres causes. El malbarat i la força externa tendixen a combinar-se per a eliminar el transitori inicial i fer entrar al sistema en el seu comportament típic. La part del espai de fases del sistema dinàmic que correspon al comportament típic és el atractor.

Els conjunts invariantes i els conjunts llímit són conceptes molt relacionats en el de atractor:

• Un conjunt invariante és un conjunt que evoluciona cap a sí mateixa quan està subjecte a la llegalitat del sistema dinàmic. Els atractores poden contindre conjunts invariantes.
• Un conjunt llímit és l'estat al que aplega el sistema despuix d'un temps infinit. Els atractores són conjunts llímit, pero no tots els conjunts llímit són atractores: és possible que un sistema convergixca cap a un conjunt llímit, pero que, una volta instalat en ell, sofrixca menuts destorbament que ho allunten definitivament del conjunt.

Per eixemple, el péndola real té dos punts invariantes:el punt x₀ de mínima altura i el punt x₁ de màxima altura. El punt x₀ és també un conjunt llímit, puix les trayectòries convergixen en ell; el punt x₁ no és un cicle llímit. Pel malbarat, el punt x₀ és també un atractor. Si no hi haguera malbarat, x₀ no seria un atractor.

Definició matemàtica

En un sistema dinàmic en dinàmica f(t, •), el atractor Λ és un subconjunt de l'espai de fases tal que:

• existix un entorn de Λ, cridat conca d'atracció, al que convergix qualsevol sistema obert que continga Λ, i
• f(t, Λ) ⊃ Λ per a t suficientment gran.

Comunament es considera el atractor com un conjunt tancat format pels punts d'acumulació o convergència de les òrbites, aixina el atractor pròpiament dit pot definir-se com:

Sent ${\Lambda }_{t_0}$ qualsevol conjunt invariante tal que:

Tipos de atractores

Els atractores són parts de l'espai de fases del sistema dinàmic. Fins als anys 60, es va creure que els atractores eren conjunts geomètrics de l'espai de fases (punts, llínees, superfícies o volums) i que els conjunts topológicamente estranys eren fràgils anomalies. Stephen Smale va demostrar que el seu mapa de ferradura de cavall (ferradura de Smale) era estructuralment robusta i que la seua atractor tenia l'estructura d'un conjunt de Cantor.

El punt fix i el cicle llímit són atractores simples o clàssics. Quan els conjunts són complicats de descriure, nos trobem davant un atractor estrany.

Atractores clàssics

En els atractores clàssics, totes les trayectòries convergixen en un únic punt, és dir, totes les trayectòries terminen en un estat estacionario.

Punt fix

Un punt fix o punt d'equilibri és el punt corresponent a l'estat del sistema que permaneix constant el temps. Eixemples: l'estat final d'una pedra que cau, una péndola o un got en aigua.

Cicle llímit

Un cicle llímit és una òrbita periòdica del sistema que està aïllada. Eixemples: el circuit de sintonia d'una ràdio.

Espai de fases de Vanderpol

Espai de fases de Vanderpol

Bou llímit

Una trayectòria periòdica d'un sistema pot ser governada per més d'una freqüència. Si dos d'estes freqüències formen una fracció irracional (és dir, si són incommensurables), la trayectòria no es tancarà i el cicle llímit es convertirà en un bou. Bou

Atractor estrany

A diferència dels atractores clàssics, els atractores estranys tenen estructura a totes les escales. Un atractor és estrany si té dimensió de Hausdorff no sancera (o "fractal") o si la dinàmica en el atractor és caòtica.

• 
  Atractor de Lorenz

Eixemples: mapa d'Hénon, atractor de Rössler, atractor de Lorenz

Vore també

• Teoria del caos

Referències

• David Ruelle i Floris Takens(1971).20

167-192.

• D. Ruelle(1981).82

137-151.

• John Milnor(1985).99

177-195.

• David Ruelle, 1989. Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory, Academic Press.
• R. Temam, 1997. Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics, 2ª ed., Springer-Verlag.
• Manfred Schroeder, 1991. Fractals, Chaos, Power Laws,W.H. Freeman and Company.
• https://web.archive.org/web/20061112162244/http://www.research.ibm.com/journal/rd/471/martens.html