Funció zeta local

En la teoria de números, una funció zeta local Z(t) és una funció que la seua derivada logarítmica és una funció generatriz del número de solucions d'un conjunt d'equacions definides sobre un cos finito F, en extensió de cossos F_k de F.

Formulació

L'analogia en la funció zeta de Riemann

$\zeta (s)$

s'establix a través de la derivada logarítmica

${\zeta }^{\prime }(s)/\zeta (s)$.

Donat un F, existix, en un isomorfisme, només un cos F_k en

[F_k:F] = k,

per a k = 1,2, ... . Donat un conjunt d'equacions de polinomis — o una varietat algebraica V — definida sobre F, podem contar el número

N_k

de solucions en F_k; i crear la funció generatriz

G(t) = N₁.t + N₂.t²/2 + ... .

La definició correcta de Z(t) és prendre el log Z igual a G, i per lo tant

Z = exp(G);

tindrem que Z(0) = 1 ya que G(0) = 0, i Z(t) és a priori una série de potències formal.

Eixemples

Per eixemple, assumint que tots els N_k són 1; açò ocorre per eixemple si es comença en una equació del tipo X = 0, de manera que geomètricament estem prenent V en un punt. Llavors

G(t) = −log(1 − t)

és l'expansió d'un logaritmo (per a |t| < 1). En este cas es té que

Z(t) = 1/(1 − t).

Un atre cas més interessant és, si V és la recta proyectiva sobre F. Si F té una cantitat q d'elements, llavors esta té q + 1 punts, incloent com correspon, el punt de l'infinit. Per lo tant tindrem

N_k = q^k + 1

i

G(t) = −log(1 − t) − log(1 − qt),

per a un |t| suficientment menut.

En este cas tenim

Z(t) = 1/{(1 − t)(1 − qt)}.

Vore també

• Funció zeta

Referències

• van Frankenhuijsen, Machiel, The Riemann Hypothesis for Function Fields over a Finite Field. (2008), (en anglés) Plantilla:Arxiv