Punt de l'infinit

Archiu:Real projective line.svg

fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP¹)" en el punt de l'infinit $\mathrm{\infty }$, genera una curva tancada

El punt de l'infinit, punt en l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introduïx a modo de tancament o frontera infinita del conjunt dels número real. Quan s'afig a la recta real genera una curva tancada (vore fig.1) coneguda com recta proyectiva real,

$ℝP^1$

, que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts distints en l'infinit. Esta condició s'expressa de la forma següent:

$\widehat{ℝ}=ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$

En el cas del pla afí (inclós l'espai bidimensional), hi ha un punt ideal per a cada fes de paraleles del pla. L'unió d'estos punts produïx un pla proyectivo, en el que no es pot distinguir cap punt, si es "oblida" quins punts es varen agregar. Açò és vàlit per a una geometria sobre qualsevol cos i, de manera més general, sobre qualsevol anell de divisió.

Topología T de compactificación

Artícul principal → Compactificación de Alexándrov.

Per a que el punt en l'infinit represente efectivament l'infinit real es definix en $\widehat{ℝ}$ la topología $\hat{T}$ formada per tots els conjunts:

• A, que són oberts de $ℝ$
• B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i acotats pel teorema de Heine-Borel) de $ℝ$ .

Els conjunts A sò els oberts de $\widehat{ℝ}$ que no contenen el :$\mathrm{\infty }$ mentres que els conjunts B són els que sí ho contenen.

Siga $x_n\in ℝ$ una successió d'número real tals que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty }$. Dins del conjunt dels número real, açò vol dir únicament que:

$\mathrm{\forall }K>0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}|\text{ si }n>m\Rightarrow x_n\notin [-K,K]$

Pero esta mateixa condició implica en $\widehat{ℝ}$ que

$\mathrm{\forall }B|\mathrm{\infty }\in B\mathrm{\exists }m\in N|\text{ si }n>m\Rightarrow x_n\in B$

És dir, que en $\widehat{ℝ}$ s'escriu també $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty }$. No obstant, només en $\widehat{ℝ}$ es pot dir que la successió $x_n$convergix, ya que $\mathrm{\infty }\notin ℝ$.

En este procés hem conseguit "compactificar" $ℝ$ ya que tota successió en $\widehat{ℝ}$ té una parcial convergent (les que no ho complien, les no acotades, ara sí ho complixen). Lo que hem fet és un cas particular d'una construcció topològica més general: la compactificación de Alexándrov, que consistix en prendre un espai i afegir-li un punt (comunament cridat de l'infinit per analogia) de manera que l'espai resultant siga compacte. Açò no funciona per a qualsevol espai; fa falta que l'espai complixca certes condicions necessàries: ser de Hausdorff i localment compacte. Vore Compactificación de Alexándrov per al cas general.

En el pla complex

Archiu:Stereographic projection in 3D.png	fig.cp1: Proyecció estereográfica del pla complex estés sobre la "esfera de Riemann".
Archiu:RiemannKugel.svg	fig.cp2: La "esfera de Riemann" pot ser visualisada com el pla complex envolt al voltant d'una esfera.

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex, ${ℂ}^1$, de manera que es transforme en una superfície tancada (vore fig.cp1 i fig.cp2), la recta proyectiva complexa, $ℂP^1$, també cridada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es proyecten el restant de punts de l'esfera sobre el pla complex. D'esta manera, s'establix una biyección en la que a cada punt de l'esfera li correspon un del pla complex. L'homòlec del punt des del que proyectem estereográficamente es convertix en el punt de l'infinit.

Vore també

• Coordenades homogénees
• Esfera de Riemann
• Compactación de Alexándrov
• Llínea de l'horisó
• Punt de fuga