Polinomi simètric elemental

En matemàtiques, específicament en àlgebra conmutativa, els polinomis simètrics elementals són un tipo d'elements bàsics que permeten descompondre polinomis simètrics, en el sentit de que qualsevol polinomi simètric pot expressar-se com un polinomi en térmens de polinomis simètrics elementals. És dir, qualsevol polinomi simètric P pot expressar-se utilisant únicament sumes i multiplicacions de constants i polinomis simètrics elementals. Existix un polinomi simètric elemental de grau d en n variables per a cada número entero no negatiu d ≤ n, i es forma sumant tots els productes distints de d variables distintes.

Definició

Els polinomis simètrics elementals en n variables X₁, …, X_n, escrits i_k(X₁, …, X_n) para k = 0, 1, …, n, estan definits per

$\begin{array}{cc}{e}_0(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =1,\\ e_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j\le n}{X}_j,\\ e_2(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_k,\\ e_3(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k<l\le n}{X}_j{X}_k{X}_l,\\ \end{array}$

i aixina successivament, terminant en

$e_n(X_1,X_2,\dots ,X_n)=X_1{X}_2\cdots X_n.$

En general, per a k ≥ 0, es definix

$e_k(X_1,\dots ,X_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{X}_{j_1}\cdots X_{j_k},$

de modo que i_k(X₁, …, X_n) = 0 si k > n.

Per lo tant, per a cada número entero no negatiu k menor o igual que n existix exactament un polinomi simètric elemental de grau k en n variables. Per a formar el que té grau k, es pren la suma de tots els productes de k-subconjunts de les n variables. Pel contrari, si es realisa la mateixa operació usant múltiples conjunts de variables, és dir, prenent variables en repetició, s'obtenen els polinomis simètrics homogéneus complets).

Donada una partició sancera (és dir, una seqüència finita no creixent de sancers positius) λ = (λ₁, …, λ_m), es definix el polinomi simètric i_λ(X₁, …, X_n), també cridat polinomi simètric elemental, per

$e_{\lambda }(X_1,\dots ,X_n)=e_{{\lambda }_1}(X_1,\dots ,X_n)\cdot e_{{\lambda }_2}(X_1,\dots ,X_n)\cdots e_{{\lambda }_m}(X_1,\dots ,X_n)$.

A voltes s'usa la notació σ_k lloc de i_k.

Eixemples

A continuació s'enumeren els n polinomis simètrics elementals per als primers quatre valors positius de n (en tots els casos, i₀ = 1 també és un dels polinomis).

Per a n = 1:

$e_1(X_1)=X_1.$

Per a n = 2:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2)& =X_1+X_2,\\ e_2(X_1,X_2)& =X_1{X}_2.\\ \end{array}$

Per a n = 3 :

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3)& =X_1+X_2+X_3,\\ e_2(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_2{X}_3,\\ e_3(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2{X}_3.\\ \end{array}$

Per a n = 4:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1+X_2+X_3+X_4,\\ e_2(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_1{X}_4+X_2{X}_3+X_2{X}_4+X_3{X}_4,\\ e_3(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3+X_1{X}_2{X}_4+X_1{X}_3{X}_4+X_2{X}_3{X}_4,\\ e_4(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3{X}_4.\\ \end{array}$

Vore també

• Polinomi simètric
• Polinomi simètric homogéneu complet
• Polinomi de Schur
• Identitats de Newton
• Teorema de MacMahon Master
• Funció simètrica
• Teoria de la representació

Referències

• Macdonald, I. G.. Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd edició, Oxford: Clarendon Press.
• Stanley, Richard P.. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge: Cambridge University Press.