Identitats de Newton

En matemàtiques, les identitats de Newton, també conegudes com les fòrmules Newton-Girard, són dos maneres diferents de descriure la raïl d'un polinomi. Concretament, relacionen les sumixques de potències en els polinomis simètrics elementals. Evaluada en les raïls d'un polinomi mónico P en una variable, permeten expressar les sumes de la potencia k-n de totes les raïls de P (contades en la seua multiplicitat) en térmens dels coeficients de P, sense trobar en realitat aquelles raïls. Estes identitats varen ser trobades per Isaac Newton al voltant de 1666, aparentment ignorant el treball anterior (1629) d'Albert Girard.

Estes identitats tenen aplicacions en moltes àrees de matemàtica, incloent la teoria de Galois, teoria de invariantes, teoria de grups, combinatòria, aixina com més aplicacions fòra de la matemàtica, incloent la relativitat general.

Enunciat matemàtic

Formulació en térmens de polinomis simètrics

Siguen x₁, ..., x_n variables, denotar k ≥ 1 per p_k(x₁, . .., x_n) la k-ésima suma de potències:

$p_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^k=x_1^k+\cdots +x_n^k,$

i per a k ≥ 0 denote per i_k(x₁, ..., x_n) el polinomi simètric elemental (és dir, la suma de tots productes distints de k variables distintes), per lo que

$\begin{array}{cc}{e}_0(x_1,\dots ,x_n)& =1,\\ e_1(x_1,\dots ,x_n)& =x_1+x_2+\cdots +x_n,\\ e_2(x_1,\dots ,x_n)& =\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j,\\ & ⋮\\ e_n(x_1,\dots ,x_n)& =x_1{x}_2\cdots x_n,\\ e_k(x_1,\dots ,x_n)& =0,\text{ para }k>n.\\ \end{array}$

Llavors les identitats de Newton es poden establir com

$k{e}_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{e}_{k-i}(x_1,\dots ,x_n)p_i(x_1,\dots ,x_n),$

expressió vàlida per a tots els n ≥ 1 i n ≥ k ≥ 1.

Ademés,

$0=\sum _{i=k-n}^k(-1{)}^{i-1}{e}_{k-i}(x_1,\dots ,x_n)p_i(x_1,\dots ,x_n),$

per a tots els k > n ≥ 1.

Concretament, s'obté per als primers valors de k:

$\begin{array}{cc}{e}_1(x_1,\dots ,x_n)& =p_1(x_1,\dots ,x_n),\\ 2e_2(x_1,\dots ,x_n)& =e_1(x_1,\dots ,x_n)p_1(x_1,\dots ,x_n)-p_2(x_1,\dots ,x_n),\\ 3e_3(x_1,\dots ,x_n)& =e_2(x_1,\dots ,x_n)p_1(x_1,\dots ,x_n)-e_1(x_1,\dots ,x_n)p_2(x_1,\dots ,x_n)+p_3(x_1,\dots ,x_n).\end{array}$

La forma i la validea d'estes equacions no depenen del número n de variables (encara que sí ho fa el punt a on el costat esquerre es convertix en 0, és dir, despuix de l'identitat n-ésima), lo que fa és possible enunciar-los com a identitats en l'anell de funcions simètriques. En eixe anell es té que:

$\begin{array}{cc}{e}_1& =p_1,\\ 2e_2& =e_1{p}_1-p_2=p_1^2-p_2,\\ 3e_3& =e_2{p}_1-e_1{p}_2+p_3=\frac{1}{2}{p}_1^3-\frac{3}{2}{p}_1{p}_2+p_3,\\ 4e_4& =e_3{p}_1-e_2{p}_2+e_1{p}_3-p_4=\frac{1}{6}{p}_1^4-p_1^2{p}_2+\frac{4}{3}{p}_1{p}_3+\frac{1}{2}{p}_2^2-p_4,\\ \end{array}$

i aixina; ací els costats esquerres mai es tornen zero. Estes equacions permeten expressar recursivamente la i_i en térmens de la p_k; per a poder fer lo contrari, es pot reescriure'ls com

$\begin{array}{cc}{p}_1& =e_1,\\ p_2& =e_1{p}_1-2e_2=e_1^2-2e_2,\\ p_3& =e_1{p}_2-e_2{p}_1+3e_3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3,\\ p_4& =e_1{p}_3-e_2{p}_2+e_3{p}_1-4e_4=e_1^4-4e_1^2{e}_2+4e_1{e}_3+2e_2^2-4e_4,\\ & ⋮\end{array}$

En general, es té que

$p_k(x_1,\dots ,x_n)=(-1{)}^{k-1}k{e}_k(x_1,\dots ,x_n)+\sum _{i=1}^{k-1}(-1{)}^{k-1+i}{e}_{k-i}(x_1,\dots ,x_n)p_i(x_1,\dots ,x_n),$

enunciat vàlit per a tot n ≥ 1 i n ≥k ≥ 1.

Ademés,

$p_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1{)}^{k-1+i}{e}_{k-i}(x_1,\dots ,x_n)p_i(x_1,\dots ,x_n),$

per a tot k > n ≥ 1.

Aplicació a les raïls d'un polinomi

El polinomi en raïls x_i es pot expandir com

$\prod _{i=1}^n(x-x_i)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{e}_k{x}^{n-k},$

a on els coeficients $e_k(x_1,\dots ,x_n)$ són els polinomis simètrics definits anteriorment. Donades les sumixques de potències de les raïls

$p_k(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^k,$

els coeficients del polinomi en raïls $x_1,\dots ,x_n$ poden expressar-se recursivamente en térmens de les sumes de potències com

$\begin{array}{cc}{e}_0& =1,\\ -e_1& =-p_1,\\ e_2& =\frac{1}{2}(e_1{p}_1-p_2),\\ -e_3& =-\frac{1}{3}(e_2{p}_1-e_1{p}_2+p_3),\\ e_4& =\frac{1}{4}(e_3{p}_1-e_2{p}_2+e_1{p}_3-p_4),\\ & ⋮\end{array}$

Formular polinomis d'esta manera és útil per a usar el método de Delves i Lyness per a trobar els zeros d'una funció analítica.

Aplicació al polinomi característic d'una matriu

Quan el polinomi anterior és el polinomi característic d'una matriu A (en particular quan A és la matriu companyera del polinomi), les raïls $x_i$ són els valors propis de la matriu, contats en la seua multiplicitat algebraica. Per a qualsevol sancer positiu k, la matriu A^k té com a valors propis les potencies x_i^k, i cada valor propi $x_i$ de A aporta la seua multiplicitat a la del valor propi x_i^k de A^k. Llavors, els coeficients del polinomi característic de A^k estan donats pels polinomis simètrics elementals en eixes potencies x_i^k. En particular, la suma de x_i^k, que és la k-ésima suma de potències p_k de les raïls del polinomi característic de A, ve donada pel seu traça:

$p_k=\mathrm{tr}(A^k).$

Les identitats de Newton ara relacionen les traces de les potències A^k en els coeficients del polinomi característic de A. Usant-les a l'inversa per a expressar els polinomis simètrics elementals en térmens de sumes de potències, es poden utilisar per a trobar el polinomi característic calculant solament les potències A^k i els seus traces.

Este càlcul requerix obtindre les traces de les potències de la matriu A^k i resoldre un sistema triangular d'equacions. Abdós es poden fer en la classe de complexitat NC (la resolució d'un sistema triangular es pot fer pel procediment de dividix i venceràs). Per lo tant, el polinomi característic d'una matriu es pot calcular en NC. Pel teorema de Cayley-Hamilton, tota matriu satisfà el seu polinomi característic, i una transformació simple permet trobar la matriu d'adjunts en NC.

La reorganisació dels càlculs en una forma eficient conduïx a el "algoritme de Faddeev-LeVerrier" (1840). Una versió ràpida del mateix en càlculs en paralel es deu a L. Csanky (1976). La seua desventaja és que requerix divisió per sancers, per lo que en general el cos deu tindre la característica 0.

Relació en la teoria de Galois

Per a un n donat, els polinomis simètrics elementals i_k(x₁,...,x_n) per a k = 1 ,..., n formen una base algebraica per a l'espai de polinomis simètrics en x₁,.... x_n: tota expressió polinomial en x_i que és invariante baix totes les permutació d'eixes variables està donada per una expressió polinòmica en eixos polinomis simètrics elementals, i esta expressió és única fins a l'equivalència d'expressions polinòmiques. Est és un fet general conegut com teorema fonamental dels polinomis simètrics, i les identitats de Newton proporcionen fòrmules explícites en el cas de polinomis simètrics de suma de potències. Aplicat al polinomi mónico $t^n+{\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k{a}_k{t}^{n-k}$ en tots els coeficients a_k considerats com a paràmetros lliures, açò significa que tota expressió polinomial simètrica S(x₁,...,x_n) en les seues raïls pot expressar-se en canvi com una expressió polinomial P(a₁,...,a_n) en térmens dels seus coeficients solament, en atres paraules, sense requerir coneiximent de les raïls. Este fet també es deriva de consideracions generals en la teoria de Galois (a on els a_k es consideren com a elements d'un cos base en raïls en un cos d'extensió el grup de la qual de Galois les permuta d'acort en el grup simètric complet, i el cos fix baix tots els elements del grup de Galois és el cos base).

Les identitats de Newton també permeten expressar els polinomis simètrics elementals en térmens dels polinomis simètrics de suma de potències, mostrant que qualsevol polinomi simètric també es pot expressar en sumixques de potències. De fet, les primeres sumes de potències n també formen una base algebraica per a l'espai de polinomis simètrics.

Identitats relacionades

Hi ha una série de (famílies de) identitats que, si be deuen distinguir-se de les identitats de Newton, estan molt estretament relacionades en elles.

Variant que utilisa polinomis simètrics homogéneus complets

Denotant com a h_k el polinomi simètric homogéneu complet que és la suma de tots els monomis de grau k, els polinomis de suma de potències també satisfan identitats similars a les identitats de Newton, pero sense incloure cap signe menys. Expressats com a identitats en un anell de funcions simètriques, es lligen com

$k{h}_k=\sum _{i=1}^k{h}_{k-i}{p}_i,$

expressió vàlida per a tots els n ≥ k ≥ 1. Al contrari de les identitats de Newton, els costats de l'esquerra no es tornen zero per a valors de k grans, i els costats de la dreta contenen cada volta més térmens distints de zero. Per als primers valors de k, es té que

$\begin{array}{cc}{h}_1& =p_1,\\ 2h_2& =h_1{p}_1+p_2,\\ 3h_3& =h_2{p}_1+h_1{p}_2+p_3.\\ \end{array}$

Estes relacions poden justificar-se per mig d'un argument anàlec al de la comparació de coeficients en series de potències donat anteriorment, basat en este cas en la funció generadora identitat

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_k(x_1,\dots ,x_n)t^k=\prod _{i=1}^n\frac{1}{1-x_{i}t}.$

Les proves de les identitats de Newton, com les que es donen a continuació, no es poden adaptar fàcilment per a provar estes variants d'eixes identitats.

Expressió de polinomis simètrics elementals en térmens de sumes de potències

Com ya s'ha mencionat, les identitats de Newton es poden usar per a expressar polinomis simètrics elementals recursivamente en térmens de sumes de potències. Fer-ho requerix l'introducció de denominadors sancers, lo que es pot fer en l'anell Λ_Q de funcions simètriques en coeficients racionals:

$\begin{array}{cc}{e}_1& =p_1,\\ e_2& =\frac{1}{2}{p}_1^2-\frac{1}{2}{p}_2& & =\frac{1}{2}(p_1^2-p_2),\\ e_3& =\frac{1}{6}{p}_1^3-\frac{1}{2}{p}_1{p}_2+\frac{1}{3}{p}_3& & =\frac{1}{6}(p_1^3-3p_1{p}_2+2p_3),\\ e_4& =\frac{1}{24}{p}_1^4-\frac{1}{4}{p}_1^2{p}_2+\frac{1}{8}{p}_2^2+\frac{1}{3}{p}_1{p}_3-\frac{1}{4}{p}_4& & =\frac{1}{24}(p_1^4-6p_1^2{p}_2+3p_2^2+8p_1{p}_3-6p_4),\\ & ⋮\\ e_n& =(-1{)}^n\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1+2m_2+\cdots +n{m}_n=n}{m_1\ge 0,\dots ,m_n\ge 0}}\prod _{i=1}^n\frac{(-p_i{)}^{m_i}}{m_i!i^{m_i}}\\ \end{array}$

etcétera. La fòrmula general es pot expressar convenientment com

$e_k=\frac{(-1{)}^k}{k!}{B}_k(-p_1,-1!p_2,-2!p_3,\dots ,-(k-1)!p_k),$

a on B_n és l'exponencial completa dels polinomis de Bell. Esta expressió també conduïx a la següent identitat per a generar funcions:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{e}_k{t}^k=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}{p}_k{t}^k\right).$

Aplicades a un polinomi mónico, estes fòrmules expressen els coeficients en térmens de les sumixques de potències de les raïls: reemplaça cada i_i per a_i i cada p_k per s _k.

Expressió de polinomis simètrics homogéneus complets en térmens de sumes de potències

Les relacions anàlogues que involucren polinomis simètrics homogéneus complets es poden desenrollar de manera similar, donant les equacions

$\begin{array}{cc}{h}_1& =p_1,\\ h_2& =\frac{1}{2}{p}_1^2+\frac{1}{2}{p}_2& & =\frac{1}{2}(p_1^2+p_2),\\ h_3& =\frac{1}{6}{p}_1^3+\frac{1}{2}{p}_1{p}_2+\frac{1}{3}{p}_3& & =\frac{1}{6}(p_1^3+3p_1{p}_2+2p_3),\\ h_4& =\frac{1}{24}{p}_1^4+\frac{1}{4}{p}_1^2{p}_2+\frac{1}{8}{p}_2^2+\frac{1}{3}{p}_1{p}_3+\frac{1}{4}{p}_4& & =\frac{1}{24}(p_1^4+6p_1^2{p}_2+3p_2^2+8p_1{p}_3+6p_4),\\ & ⋮\\ h_k& =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1+2m_2+\cdots +k{m}_k=k}{m_1\ge 0,\dots ,m_k\ge 0}}\prod _{i=1}^k\frac{p_i^{m_i}}{m_i!i^{m_i}}\end{array}$

i aixina successivament, en les que solament hi ha signes més. En térmens del polinomi de Bell complet,

$h_k=\frac{1}{k!}{B}_k(p_1,1!p_2,2!p_3,\dots ,(k-1)!p_k).$

Estes expressions corresponen exactament als polinomis d'índex cíclico dels grups simètrics, si s'interpreten les sumes de potències p_i com a indeterminades: el coeficient en l'expressió per a h_k de qualsevol monomi p₁^m₁ p₂^m₂...p_l^m_l és igual a la fracció de totes les permutació de k que tenen m₁ punts fixos, m₂ cicles de llongitut 2, ..., i m_l cicles de llongitut l. Explícitament, este coeficient es pot escriure com $1/N$ a on $N={\prod }_{i=1}^l(m_i!i^{m_i})$; esta N és el número de permutació que commuten en qualsevol permutació donada π del tipo de cicle donat. Les expressions per a les funcions simètriques elementals tenen coeficients en el mateix valor absolut, pero un signe igual al signe de π, a saber (−1)^{m₂+m₄+...}.

Es pot provar considerant el següent pas inductivo:

$\begin{array}{cc}mf(m;m_1,\dots ,m_n)& =f(m-1;m_1-1,\dots ,m_n)+\cdots +f(m-n;m_1,\dots ,m_n-1)\\ m_1\prod _{i=1}^n\frac{1}{i^{m_i}{m}_i!}+\cdots +n{m}_n\prod _{i=1}^n\frac{1}{i^{m_i}{m}_i!}& =m\prod _{i=1}^n\frac{1}{i^{m_i}{m}_i!}\end{array}$

Per analogia en la derivació de la funció generadora de el $e_n$, també podem obtindre la funció generadora de el $h_n$, en térmens de les sumixques de potències, com:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{h}_k{t}^k=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_k}{k}{t}^k\right).$

Esta funció generadora és, per tant, l'exponencial plethystica de $p_{1}t=(x_1+\cdots +x_n)t$.

Expressió de sumes de potències en térmens de polinomis simètrics elementals

També es poden usar les identitats de Newton per a expressar sumes de potències en térmens de polinomis simètrics elementals, lo que no introduïx denominadors:

$\begin{array}{cc}{p}_1& =e_1,\\ p_2& =e_1^2-2e_2,\\ p_3& =e_1^3-3e_2{e}_1+3e_3,\\ p_4& =e_1^4-4e_2{e}_1^2+4e_3{e}_1+2e_2^2-4e_4,\\ p_5& =e_1^5-5e_2{e}_1^3+5e_3{e}_1^2+5e_2^2{e}_1-5e_4{e}_1-5e_3{e}_2+5e_5,\\ p_6& =e_1^6-6e_2{e}_1^4+6e_3{e}_1^3+9e_2^2{e}_1^2-6e_4{e}_1^2-12e_3{e}_2{e}_1+6e_5{e}_1-2e_2^3+3e_3^2+6e_4{e}_2-6e_6.\end{array}$

Les primeres quatre fòrmules varen ser obtingudes per Albert Girard en 1629 (per lo tant, abans que Newton).

La fòrmula general (para tots els sancers positius m) és:

$p_m=(-1{)}^{m}m\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{r_1+2r_2+\cdots +m{r}_m=m}{r_1\ge 0,\dots ,r_m\ge 0}}\frac{(r_1+r_2+\cdots +r_m-1)!}{r_1!r_2!\cdots r_m!}\prod _{i=1}^m(-e_i{)}^{r_i}.$

Açò pot expressar-se convenientment en térmens de polinomis de Bell ordinaris com

$p_m=(-1{)}^{m}m\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}{\hat{B}}_{m,k}(-e_1,\dots ,-e_{m-k+1}),$

o equivalentemente com funció generadora:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{p}_k\frac{t^k}{k}& =\ln (1+e_{1}t+e_2{t}^2+e_3{t}^3+\cdots )\\ & =e_{1}t-\frac{1}{2}(e_1^2-2e_2)t^2+\frac{1}{3}(e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3)t^3+\cdots ,\end{array}$

que és anàloga a la funció generadora exponencial dels polinomis de Bell donada en la subsección prèvia.

La fòrmula de suma múltiple anterior es pot provar considerant el següent pas inductivo:

$\begin{array}{cc}f(m;r_1,\dots ,r_n)=& f(m-1;r_1-1,\cdots ,r_n)+\cdots +f(m-n;r_1,\dots ,r_n-1)\\ =& \frac{1}{(r_1-1)!\cdots r_n!}(m-1)(r_1+\cdots +r_n-2)!+\cdots \\ & \cdots +\frac{1}{r_1!\cdots (r_n-1)!}(m-n)(r_1+\cdots +r_n-2)!\\ =& \frac{1}{r_1!\cdots r_n!}[r_1(m-1)+\cdots +r_n(m-n)][r_1+\cdots +r_n-2]!\\ =& \frac{1}{r_1!\cdots r_n!}[m(r_1+\cdots +r_n)-m][r_1+\cdots +r_n-2]!\\ =& \frac{m(r_1+\cdots +r_n-1)!}{r_1!\cdots r_n!}\end{array}$

Expressió de sumes de potències en térmens de polinomis simètrics homogéneus complets

Finalment, es poden usar les identitats variants que involucren polinomis simètrics homogéneus complets de manera similar per a expressar sumes de potències en térmens d'ells:

$\begin{array}{cc}{p}_1& =+h_1,\\ p_2& =-h_1^2+2h_2,\\ p_3& =+h_1^3-3h_2{h}_1+3h_3,\\ p_4& =-h_1^4+4h_2{h}_1^2-4h_3{h}_1-2h_2^2+4h_4,\\ p_5& =+h_1^5-5h_2{h}_1^3+5h_2^2{h}_1+5h_3{h}_1^2-5h_3{h}_2-5h_4{h}_1+5h_5,\\ p_6& =-h_1^6+6h_2{h}_1^4-9h_2^2{h}_1^2-6h_3{h}_1^3+2h_2^3+12h_3{h}_2{h}_1+6h_4{h}_1^2-3h_3^2-6h_4{h}_2-6h_1{h}_5+6h_6,\\ \end{array}$

i aixina successivament. A banda de la substitució de cada i_i per la corresponent h_i, l'únic canvi respecte a l'anterior família d'identitats està en els signes dels térmens, que en este cas depenen únicament del número de factors presents: el signe del monomi ${\prod }_{i=1}^l{h}_i^{m_i}$ és −(−1)^{m₁+m₂+m₃+...}. En particular, la descripció anterior del valor absolut dels coeficients també s'aplica ací.

La fòrmula general (para tots els sancers no negatius m) és:

$p_m=-\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{r_1+2r_2+\cdots +m{r}_m=m}{r_1\ge 0,\dots ,r_m\ge 0}}\frac{m(r_1+r_2+\cdots +r_m-1)!}{r_1!r_2!\cdots r_m!}\prod _{i=1}^m(-h_i{)}^{r_i}$

Expressions com a determinants

Es poden obtindre fòrmules explícites per a les expressions anteriors en forma de determinants, considerant la primera n de les identitats de Newton (o els seus contrapartes per als polinomis homogéneus complets) com a equacions llineals en les que es coneixen les funcions simètriques elementals i les sumes de potències són incògnites (o viceversa), i aplicant la regla de Cramer per a trobar la solució per a l'incògnita final. Per eixemple, prenent les identitats de Newton en la forma

$\begin{array}{cc}{e}_1& =1p_1,\\ 2e_2& =e_1{p}_1-1p_2,\\ 3e_3& =e_2{p}_1-e_1{p}_2+1p_3,\\ & ⋮\\ n{e}_n& =e_{n-1}{p}_1-e_{n-2}{p}_2+\cdots +(-1{)}^n{e}_1{p}_{n-1}+(-1{)}^{n-1}{p}_n\end{array}$

es consideren $p_1,-p_2,p_3,\dots ,(-1{)}^n{p}_{n-1}$ i $p_n$ com a incògnites, i es resol l'última, donant

$\begin{array}{cc}{p}_n=& \left|\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & & e_1\\ e_1& 1& 0& \cdots & 2e_2\\ e_2& e_1& 1& & 3e_3\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ e_{n-1}& \cdots & e_2& e_1& n{e}_n\end{array}\right|{\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & \\ e_1& 1& 0& \cdots \\ e_2& e_1& 1& \\ ⋮& & \ddots & \ddots \\ e_{n-1}& \cdots & e_2& e_1& 1\end{array}\right|}^{-1}\\ =(-1{)}^{n-1}& \left|\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & & e_1\\ e_1& 1& 0& \cdots & 2e_2\\ e_2& e_1& 1& & 3e_3\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ e_{n-1}& \cdots & e_2& e_1& n{e}_n\end{array}\right|\\ =& \left|\begin{array}{cccc}{e}_1& 1& 0& \cdots \\ 2e_2& e_1& 1& 0& \cdots \\ 3e_3& e_2& e_1& 1\\ ⋮& & & \ddots & \ddots \\ n{e}_n& e_{n-1}& \cdots & & e_1\end{array}\right|.\end{array}$

Resoldre per a $e_n$ en lloc de $p_n$ és un problema similar, com els càlculs anàlecs per als polinomis simètrics homogéneus complets. En cada cas, els detalls són una miqueta més confusos que els resultats finals, que són (Macdonald 1979, p. 20):

$\begin{array}{cc}{e}_n=\frac{1}{n!}& \left|\begin{array}{cccc}{p}_1& 1& 0& \cdots \\ p_2& p_1& 2& 0& \cdots \\ ⋮& & \ddots & \ddots \\ p_{n-1}& p_{n-2}& \cdots & p_1& n-1\\ p_n& p_{n-1}& \cdots & p_2& p_1\end{array}\right|\\ p_n=(-1{)}^{n-1}& \left|\begin{array}{cccc}{h}_1& 1& 0& \cdots \\ 2h_2& h_1& 1& 0& \cdots \\ 3h_3& h_2& h_1& 1\\ ⋮& & & \ddots & \ddots \\ n{h}_n& h_{n-1}& \cdots & & h_1\end{array}\right|\\ h_n=\frac{1}{n!}& \left|\begin{array}{cccc}{p}_1& -1& 0& \cdots \\ p_2& p_1& -2& 0& \cdots \\ ⋮& & \ddots & \ddots \\ p_{n-1}& p_{n-2}& \cdots & p_1& 1-n\\ p_n& p_{n-1}& \cdots & p_2& p_1\end{array}\right|.\end{array}$

Es deu tindre en conte que l'us de determinants fa que la fòrmula per a $h_n$ tinga signes menys adicionals en comparació a la de $e_n$, mentres que la situació per a la forma desenrollada anterior és oposta. Com es va senyalar en (Littlewood 1950, p. 84), es pot obtindre alternativament la fòrmula per a $h_n$ prenent el permanent de la matriu per a $e_n$ en lloc del determinant i, de manera més general, es pot obtindre una expressió per a qualsevol polinomi de Schur prenent el corresponent inmanente d'esta matriu.