Polígon construible
En matemàtica, un polígon construible és un polígon regular que pot ser construït en regla i compàs. Per eixemple, un pentàgon regular és construible en regla i compàs mentres que un heptàgon regular no ho és.
El problema és equivalent a dividir un círcul en parts iguals, lo que es coneix com ciclotomía.[1]
Condicions de constructibilidad
[editar | editar còdic]La construcció dels polígons regulars de 3, 4, 5 i 15 costats aixina com la dels polígons obtinguts dels anteriors multiplicant el número de costats per una potència de dos era coneguda ya des d'Euclides. No obstant no s'havia trobat encara un método per a construir cap atre polígon regular, com el heptàgon, ni tan sols se sabia si tal método existia.
El primer alvanç significatiu ho va conseguir 2000 anys despuix en 1796 Gauss qui va demostrar que el polígon regular de 17 costats o heptadecágono era construible en regla i compàs.[2] Cinc anys més vesprada va desenrollar la teoria dels periodos gaussianos en el seu llibre Disquisitiones arithmeticae. Esta teoria li va permetre formular una condició suficient per a la constructibilidad dels polígons regulars:
Gauss conjeturó que esta condició era també necessària, pero no va donar cap prova d'esta afirmació. Una demostració completa va ser donada per Wantzel (1837).[3]
Als número primo de la forma 22m + 1 se'ls coneix com número primo de Fermat.[4] Els únics cosins de Fermat coneguts són:
- F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, i F4 = 65537 Plantilla:OEIS
Per lo tant els polígons regulars construibles en regla i compàs són aquells que tenen un número de costats igual a:
- 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, … Plantilla:OEIS,
mentres que els polígons regulars no construibles en regla i compàs són aquells que tenen un número de costats igual a:
- 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, … Plantilla:OEIS.
Eixemples
[editar | editar còdic]Les construccions del triàngul equilátero, el quadrat i el pentàgon regular, el hexàgon regular i el pentadecágono regular eren conegudes des de l'antiguetat.[5]
A partir dels polígons anteriors és possible construir un polígon regular en el doble de costats biseccionando cada àngul interior. Per eixemple, pot construir-se un octógono regular a partir del quadrat.
El heptàgon regular no pot ser construït en regla i compàs[6] puix 7 no és un número primo de Fermat. Tampoc pot ser construït un eneágono regular puix 9 té com divisores dos número primo de Fermat iguals.
El heptadecágono o polígon regular de 17 costats pot ser construït en regla i compàs[7] per ser 17 un número primo de Fermat.
També poden ser construïts els polígons regulars de 257 (La primera construcció va ser feta per Richelot (1832)[8][3]) i de 65537 costats (la primera construcció va ser feta per Johann Gustav Hermes sent comunicada la seua existència en 1894[9]).
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Goldman, 2004, p. 203. El terme en sí no apareix en el diccionari de la llengua espanyola de la RAE encara que apareix en espanyol traduït de la paraula anglesa cyclotomy.
- ↑ Encara que va demostrar que el heptadecágono era construible el primer método per a construir un ho va donar en 1803 Ulrich von Huguenin (Stewart, 2008, p. 170).
- ↑ 3,0 3,1 Klein, 1897, p. 16
- ↑ Pot demostrar-se que m deu ser de la forma m = 2k puix si no 2m + 1 és un número compuesto (Gauss, 1995, p. 471)
- ↑ Vore Euclides (2007, Llibre IV). En particular el método de construcció utilisat per Euclides per al polígon de 15 costats pot generalisar-se a qualsevol polígon regular en un número de costats n = p.q a on p i q són coprimos entre sí i es coneix la construcció dels polígons regulars de p i q costats.
- ↑ Pot vore's una demostració en Courant y Robbins (1996, pp. 138, 139).
- ↑ Pot vore's la seua construcció en Heptadecagon en MathWorld.
- ↑ Stewart, 2008
- ↑ Klein, 1897, p. 17
- Este artícul conté una traducció derivada de «Polígono construible» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.