Topología producte

Es diu topología producte a una topología construïda sobre el producte cartesiano d'espais topològics a partir de la topología dels factors. Va ser introduïda en 1930 per Tychonoff, com la topología menys fina que convertix a les proyeccions sobre cada factor en aplicacions contínues.

Esta topología coincidix en el cas de producte d'un número finito de factors en una atra potser més òbvia, cridada topología de caixes, introduïda prèviament per Tietze en 1923. Pero la topología de caixes presenta propietats indesijables per a un producte d'infinits factors: entre unes atres, el producte d'espais conexos no és necessàriament conexo, ni el de compactes necessàriament compacte, coses que sí succeïxen per a la topología producte.

Per tot això, es sobreentiende que en un producte cartesiano, llevat que s'especifique lo contrari, s'usa sempre la topología producte,

Definició formal

Siga $\{(X_{\alpha },T_{\alpha }){\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ una família arbitrària (tal volta infinita) d'espais topològics. Cridem $X$ al seu producte cartesiano, i.i. $X=\prod _{\alpha \in \mathrm{A}}{X}_{\alpha }$ i cridem $p_{\alpha }:X⟶X_{\alpha }$ a la proyecció sobre el factor corresponent.

Podem dotar a $X$ de la topología producte, que no és més que la topología inicial induïda per la família de proyeccions $\{p_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, açò és, aquella que té com subbase als conjunts de la forma $\{p_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })\}$, a on cada $U_{\alpha }$ és un obert de $X_{\alpha }$.

Dit d'una atra forma, la topología producte és la topología generada pels conjunts de la forma $\{\prod _{\alpha \in B}{U}_{\alpha }\times \prod _{\alpha \in \mathrm{A}\setminus B}{X}_{\alpha }\}$, a on $B$ és algun subconjunt finito de $\mathrm{A}$, i $U_{\alpha }$ és obert de $X_{\alpha }$ per a cada $\alpha \in B$.

Base de la topología

L'intersecció finita d'elements de la subbase donarà lloc als elements de la base, en distint resultat segons tractem en un producte d'un número finito o infinit d'espais

Producte d'un número finito de factors

En este cas la topología producte serà la que té per base les caixes obertes, és dir, el producte cartesiano d'oberts $\{\prod _{\alpha }{U}_{\alpha }\}$

Producte d'infinits factors

Ací els oberts bàsics seran de la forma:

$U_{{\alpha }_1}\times \cdots U_{{\alpha }_n}\times \prod \{X_{\beta }:\beta \ne {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\}$

Açò condicionarà la forma dels oberts V de la topología producte: tot obert deu verificar que $p_{\alpha }(V)=X_{\alpha }$ per a tots els índexs salve per a un conjunt finito, puix deu contindre un obert bàsic que es proyecta d'esta forma.