Norma d'un cos

En matemàtiques, la norma d'un cos és una aplicació particular definida en teoria de cossos, que fa correspondre elements d'un cos més gran en un subcuerpo.

Definició formal

Siga K un cos i L una extensió finita (i per lo tant, una extensió algebraica) de K.

El cos L és llavors un espai vectorial de dimensió finita sobre K.

La multiplicació per α, un element de L,

$m_{\alpha }:L\to L$

$m_{\alpha }(x)=\alpha x$,

és una K-aplicació llineal d'este espai vectorial sobre sí mateixa.

La norma, N_L/K(α), es definix com el determinant d'esta aplicació llineal.

Si L/K és una extensió de Galois, es pot calcular la norma de α ∈ L com el producte de tots els elements conjugats de α:

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma (\alpha ),$

a on Gal(L/K) denota el grup de Galois de L/K. (tinga's en conte que pot haver una repetició en els térmens del producte)

Per a una extensió de cossos general L/K, i α distint de zero en L,

siguen σ₁(α), ..., σ_n(α) les raïls del polinomi mínim de α sobre K (les raïls enumerades en multiplicitat es troben en alguns cossos d'extensió de L); després

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )={(\prod _{j=1}^n{\sigma }_j(\alpha ))}^{[L:K(\alpha )]}$.

Si L/K és separable, llavors cada raïl apareix solament una volta en el producte (encara que l'exponent, el grau [L: K (α)], encara pot ser major que 1).

Eixemples

Extensions de cos quadràtiques

Un dels eixemples bàsics de normes prové de les extensions d'un cos quadràtic $\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}$ a on $a$ és un número sancer lliure de quadrats.

Llavors, l'aplicació de multiplicar per $\sqrt{a}$ un element $x+y\cdot \sqrt{a}$ és

$\sqrt{a}\cdot (x+y\cdot \sqrt{a})=y\cdot a+x\cdot \sqrt{a}.$

L'element $x+y\cdot \sqrt{a}$ es pot representar per mig del vector

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],$

ya que existix una descomposició de suma directa $\mathbb{Q}(\sqrt{a})=\mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}\cdot \sqrt{a}$ com un espai vectorial $\mathbb{Q}$.

La matriu de $m_{\sqrt{a}}$ és llavors

$m_{\sqrt{a}}=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ 1& 0\end{array}\right]$

i la norma és $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{a})/\mathbb{Q}}=-a$, ya que és el determinant d'esta matriu.

Norma de Q(Plantilla:Raïl)

En este eixemple, la norma és el quadrat de la norma habitual de distància euclídea en $ℂ$.

En general, la norma d'un cos és molt diferent a la norma de distància usual.

Este fet es pot ilustrar en un eixemple a on la norma del cos pot ser negativa.

Considere's el cos d'número algebraico $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

El grup de Galois de $K$ sobre $\mathbb{Q}$ té orde $d=2$ i és generat per l'element que aplica $\sqrt{2}$ sobre $-\sqrt{2}$.

Llavors la norma de $1+\sqrt{2}$ és:

$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1.$

La norma d'un cos també es pot obtindre sense el grup de Galois.

Disponga's una base $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, tal que:

$\{1,\sqrt{2}\}$.

Llavors, es definix la multiplicació pel número que aplica $1+\sqrt{2}$

1 a $1+\sqrt{2}$ i

$\sqrt{2}$ a $2+\sqrt{2}$.

Llavors el determinant de multiplicar per $1+\sqrt{2}$ és el determinant de la matriu que envia el vector

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ (corresponent al primer element base, és dir, 1) a $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$,

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ (corresponent al segon element base, és dir, $\sqrt{2}$) a $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$,

En conseqüència:

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right].$

El determinant d'esta matriu és −1.

K-ésima raïl de les extensions d'un cos

Una atra classe fàcil d'eixemples prové de l'extensió de cossoss de la forma $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}$ a on la factorización primera de $a\in \mathbb{Q}$ no conté potències $p$-th.

L'aplicació de la multiplicació per $\sqrt[p]{a}$ d'un element és

$\begin{array}{cc}{m}_{\sqrt[p]{a}}(x)& =\sqrt[p]{a}\cdot (a_1+a_2\sqrt[p]{a}+a_3\sqrt[p]{a^2}+\cdots +a_{p-1}\sqrt[p]{a^{p-1}})\\ & =a_1\sqrt[p]{a}+a_2\sqrt[p]{a^2}+a_3\sqrt[p]{a^3}+\cdots +a_{p-1}a\end{array}$

donant la matriu

$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& a\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]$

El determinant proporciona la norma

$N_{\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}}(\sqrt[p]{a})=(-1{)}^{p-1}a=a.$

Número complejo sobre els reals

La norma de cos dels número complejo sobre els número real fa correspondre a

x + iy

l'número real

x² + i²,

perque el grup de Galois de $ℂ$ sobre $ℝ$ té dos elements,

• L'element d'identitat i
• La conjugació complexa

Prenent el producte s'obté (x + iy)(x − iy) = x² + i².

Cossos finitos

Siga L = GF(qⁿ) una extensió finita d'un cos finito K = GF(q).

Ya que L/K és una extensió de Galois, si α està en L, llavors la norma de α és el producte de tots els elements conjugats de α, és dir

${\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot {\alpha }^q\cdot {\alpha }^{q^2}\cdots {\alpha }^{q^{n-1}}={\alpha }^{(q^n-1)/(q-1)}.$

En este entorn es dispon de les propietats adicionals,

• $\mathrm{\forall }\alpha \in L,{\mathrm{N}}_{L/K}({\alpha }^q)={\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )$
• $\mathrm{\forall }a\in K,{\mathrm{N}}_{L/K}(a)=a^n.$

Vore també

• Traça d'un cos
• Norma d'un ideal
• Norma d'una forma

Bibliografia

• (1997 (1ª ed. 1983)).«Finite Fields».Cambridge University Press.20
• (2013).«Handbook of Finite Fields».CRC Press.
• (2006).«Field theory».Springer.158
• (2002).«Advanced Modern Algebra».Prentice Hall.