Independència algebraica

En l'àlgebra abstracta, un subconjunt S d'un camp L és algebraicamente independent sobre un subcuerpo K si els elements de S no satisfan cap equació polinòmica no-trivial en coeficients en K. Açò significa que para tota seqüència finita α₁, ..., α_n d'elements de S, no sent dos idèntiques, i tot polinomi distint de zero P(x₁, ..., x_n) en coeficients en K, tenim

P(α₁,...,α_n) ≠ 0.

En particular, un conjunt d'un element {α} és algebraicamente independent sobre K si i només si α és transcendent sobre K. En general, tots els elements d'un conjunt algebraicamente independent sobre K són necessàriament trascendentes sobre K, pero això està llunt de ser una condició suficient.

Per eixemple, el subconjunt {√π, 2π+1} dels reals R no és algebraicamente independent sobre els racionals Q, ya que el polinomi distint de zero

$P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1$

resulta zero quan √π és substituït per x₁ i 2π+1 és substituït per x₂.

El teorema de Lindemann-Weierstrass pugues freqüentment ser usat per a provar que alguns conjunts són algebraicamente independents sobre $\mathbb{Q}$. Enuncia que quan α₁,...,α_n són número algebraico que siguen linealment independents sobre Q, llavors i^α₁,...,i^α_n són algebraicamente independents sobre Q.

No es coneix si el conjunt {π, i} és algebraicamente independent sobre Q. Nesterenko va provar en 1996 que {π, i^π, Γ(1/4)} és algebraicamente independent sobre Q.

Donada una Extensió de cos L/K, podem usar el lema de Zorn per a mostrar que sempre existix un màxim subconjunt algebraicamente independent de L sobre K. Més encara, tots els màxims subconjunts algebraicamente independents tenen la mateixa cardinalidad, coneguda com grau de transcendència de l'extensió.