Espectre d'un anell

En àlgebra conmutativa, el espectre principal (o simplement el espectre) d'un anell R és el conjunt de tots els ideals cosins de R, i generalment es denota per $\mathrm{Spec}R$; en geometria algebraica és simultàneament un espai topològic equipat en el fes d'anells $𝒪$.

Topología de Zariski

Artícul principal → Topología de Zariski.

Per a qualsevol ideal I de R, es definix $V_I$ com el conjunt d'ideals cosins que contenen I. Es pot establir una topología en $\mathrm{Spec}(R)$ definint que una colecció de conjunts tancats siga

$\{V_I:I\text{es un ideal de }R\}.$

Esta topología es denomina topología de Zariski.

Una base per a la topología de Zariski es pot construir de la següent manera. Per a f ∈ R, es definix D_f com el conjunt d'ideals cosins de R que no contenen a f. Llavors, cada D_f és un subconjunt obert de $\mathrm{Spec}(R)$, i $\{D_f:f\in R\}$ és una base per a la topología de Zariski.

$\mathrm{Spec}(R)$ és un espai compacte, pero casi mai un espai de Hausdorff: de fet, els ideals màxims en R són precisament els punts tancats en esta topología. Pel mateix raonament, en general no és un espai T₁. No obstant, $\mathrm{Spec}(R)$ és sempre un espai de Kolmogórov (satisfà l'axioma T₀); i també és un espai espectral.

Fas i esquemes

Donat l'espai $X=\mathrm{Spec}(R)$ en la topología de Zariski, el fes d'estructura O_X es definix en els subconjunts oberts distinguits D_f establint Γ(D_f, O_X) = R_f, la localisació de R per les potències de f. Es pot demostrar que açò definix un B-fes i per lo tant definix un fes. Més detalladament, els subconjunts oberts distinguits són una base de la topología de Zariski, per lo que per a un conjunt obert arbitrari O, descrit com l'unió de {D_fi}_i∈I, s'establix Γ(O ,O_X) = lim_i∈I R_fi. Es pot comprovar que este fes previ és un fes, per lo que $\mathrm{Spec}(R)$ és un espai anellat. Qualsevol espai anellat isomorfo a un d'esta forma es denomina esquema afí. Els esquemes generals s'obtenen unint esquemes afins.

De manera similar, per a un mòdul M sobre l'anell R, es pot definir un fes $\tilde{M}$ sobre $\mathrm{Spec}(R)$. Per a això, en els subconjunts oberts distinguits s'establix Γ(D_f, $\tilde{M}$) = M_f, usant la localisació d'un mòdul. Com abans, esta construcció s'estén a un fes previ en tots els subconjunts oberts de $\mathrm{Spec}(R)$ i satisfà els axioma de pegat. Un fes d'esta forma es denomina fes casi coherent.

Si P és un punt en $\mathrm{Spec}(R)$, és dir, un ideal primer, llavors el talle del fes d'estructura en P és igual a la localisació de R en l'ideal P, i est és un anell local. En conseqüència, $\mathrm{Spec}(R)$ és un espai anellat localment.

Si R és un domini integral, en cos de fraccions K, llavors es pot descriure l'anell Γ(O,O_X) més concretament de la següent manera. Es diu que un element f en K és regular en un punt P en X si es pot representar com una fracció f = a/b en b no en P. Es deu tindre en conte que açò concorda en la noció de funció regular en geometria algebraica. Usant esta definició, es pot descriure Γ(O,O_X) precisament com el conjunt d'elements de K que són regulars en cada punt P en O.

Bibliografia

• (1969) Introduction to Commutative Algebra, Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
• (1997).«Ideals, Varieties, and Algorithms».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• (2000).«The geometry of schemes».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:197
• (1977).«Algebraic Geometry».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• Sharp, Rodney Y. (2001). Steps in Commutative Algebra, 2nd edició, Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-62368-4.
• “Flat topology and its dual aspects” (2019). Communications in Algebra 47: 195–205. doi:10.1080/00927872.2018.1469637.