Esquema (matemàtica)

En matemàtiques, un esquema és una estructura matemàtica que relaixa la definició de varietat algebraica per a incloure, entre atres coses, multiplicitat (ej. les equacions x = 0 i x² = 0 definixen la mateixa varietat algebraica pero distints esquemes) i "varietats" definides sobre anells (ej. les curves de Fermat estan definides sobre l'anell dels número entero).

Els esquemes consideren idees de tipo geomètric, algebraic i de teoria de números. La noció d'esquema es remonta als anys 1960, quan Alexander Grothendieck va formular el concepte en el seu tractat Éléments de géométrie algébrique. Una de les metes va ser desenrollar el formalisme necessari per a resoldre problemes profunts en geometria algebraica, com les conjectura de Weil (l'última de les quals va ser demostrada per Pierre Deligne). Aixina mateix, la teoria d'esquemes permet l'us sistemàtic de métodos de topología i àlgebra homológica. En incloure consideracions sobre punts racionals, la teoria d'esquemes introduïx una forta conexió entre geometria algebraica i teoria de números, lo que finalment va permetre a Wiles demostrar l'última teorema de Fermat.

Molts matemàtics consideren que els esquemes són objectes bàsics d'estudi de la geometria algebraica moderna. Tècnicament, un esquema és un espai topològic proveït d'anells conmutativos para cada u dels seus oberts, que sorgix a partir de pegar espectres (espais d'ideals cosins) a lo llarc dels seus conjunts oberts. En atres paraules, en un espai localment anellat que localment és l'espectre d'un anell conmutativo.

Qualsevol esquema S presenta un morfismo únic cap a Spec(Z), l'esquema associat als número entero. Per tant, un esquema pot ser identificat en el seu morfismo cap a Spec(Z), de namera similar a cóm els anells poden ser identificats en àlgebra associatives sobre els número entero. Est és el punt de partida del punt de vista relatiu, consistent en estudiar solament els morfismos entre esquemes. Açò no restringix la generalitat, i permet especificar fàcilment certes propietats dels esquemes. Per eixemple, una varietat algebraica sobre un cos K definix un morfismo d'esquemes cap a Spec(K), en el qual la varietat pot ser identificada.

Definició

Un esquema és un espai localment anellat (X, O_X ) localment isomorfo a un esquema afí, és dir para el que existix un recobriment per oberts O_i tal que (O_i, O_X|_Oi ) és isomorfo –com espai localment anellat– a (Spec (A), Â), a on A és un anell conmutativo i  és el seu fes de localisacions.