Conjectura de Weil

En matemàtiques, les conjectura de Weil varen ser algunes propostes molt influents realisades per André Weil, que va conduir a un exitós programa de vàries décades per a provar-les, en el que molts investigadors líders varen desenrollar el marc de la geometria algebraica moderna i la teoria de números.

Les conjectura es referixen a les funcions generadores (conegudes com funcions zeta locals) derivades de contar el número de punts en varietats algebraiques sobre camps finitos. Una varietat V sobre un camp finito en q elements té un número finito de punts racionals (en coordenades en el camp original), aixina com punts en coordenades en qualsevol extensió finita del camp original. La funció generadora té coeficients derivats dels números N_k de punts sobre el camp d'extensió en q^k elements.

Weil conjeturó que tals funcions zeta per a varietats suaus deurien ser funcions racionals, deurien satisfer una forma d'equació funcional i deurien tindre les seues zeros en llocs restringits. Les dos últimes parts varen ser modelades de manera prou conscient en la funció zeta de Riemann, un tipo de funció generadora de sancers cosins, que obedix a una equació funcional i (conjeturalmente) té les seues zeros restringits per la hipòtesis de Riemann. La racionalitat va ser provada per Bernard Dwork, l'equació funcional per Alexander Grothendieck, i l'anàlec de l'hipòtesis de Riemann per Pierre Deligne (Deligne, 1974).

Antecedents i història

El primer antecedent de les conjectura de Weil és obra de Carl Friedrich Gauss i apareix en la secció VII de les seues Disquisitiones Arithmeticae (Mazur, 1974), relacionat en les raïls de l'unitat i els periodos gaussianos. En l'artícul 358, pansa dels periodos que construïxen torres d'extensions quadràtiques, per a la construcció de polígons regulars; i supon que p és un número primo tal que p − 1 és divisible per 3. Llavors existix un camp cúbic cíclico dins del camp ciclotòmic de les p raïls de l'unitat, i una base integral normals de periodos per als número entero d'este camp (una instància del teorema de Hilbert-Speiser). Gauss va construir els periodos d'orde 3, corresponents al grup cíclico (Z/pZ)^&claves; dels residus de mòdul p distints de zero baix la multiplicació i el seu subgrup únic d'índex tres. Gauss deixa $\Re$, ${\Re }^{\prime }$ i ${\Re }^{″}$ siguen les seues classes laterals. Prenent els periodos (sumixques de raïls de l'unitat) corresponents a estes classes laterals aplicades a exp(2πi/p), va observar que estos periodos tenen una taula de multiplicació que és accessible per al càlcul. Els productes són combinacions llineals dels periodos, i va determinar els seus coeficients. Va establir, per eixemple, $(\Re \Re )$ igual al número d'elements de Z/pZ que estan en $\Re$ i que, despuix d'aumentar en un, també estan en $\Re$. Va provar que este número i els relacionats són els coeficients dels productes dels periodos. Per a vore la relació d'estos conjunts en les conjectura de Weil, observe's que si α i α + 1 estan abdós en $\Re$, llavors existixen x i i en Z/pZ de modo que x³ = α i i³ = α + 1; en conseqüència, x³ + 1 = i³. Per lo tant $(\Re \Re )$ és el número de solucions per a x³ + 1 = i³ en el camp finito Z/pZ. Els atres coeficients tenen interpretacions similars. La determinació de Gauss dels coeficients dels productes dels periodos, per lo tant, conta el número de punts en estes curves elíptiques, i com a subproducte demostra l'anàlec de l'hipòtesis de Riemann.

Emil Artin (Artin, 1924) va estudiar les conjectura de Weil en el cas especial de les curves algebraiques. Per la seua banda, Weil va provar el cas de les curves sobre camps finitos, terminant el proyecte iniciat pel teorema de Hasse sobre curves elíptiques sobre camps finitos. El seu interés era prou obvi des de dins de la teoria de números: implicaven llímits superiors para sumes exponencials, una preocupació bàsica en la teoria analítica de números (Moreno, 2001).

Lo que va anar realment cridaner, des del punt de vista d'atres àrees matemàtiques, és la conexió proposta en la topología algebraica. Ya que els camps finitos són de naturalea discreta, i la topología solament parla de lo continu, la formulació detallada de Weil (basada en l'elaboració d'alguns eixemples) va ser sorprenent i nova. Va sugerir que la geometria sobre camps finitos deuria encaixar en patrons ben coneguts relacionats en els números de Betti, o en el teorema de punt fix de Lefschetz entre uns atres.

L'analogia en la topología va sugerir que s'establira una nova teoria homológica aplicable dins de la geometria algebraica. Açò va dur dos décades (era un objectiu central del treball i l'escola d'Alexander Grothendieck) a partir de les sugerències inicials de Serre. La part racional de les conjectura va ser provada primer per Bernard Dwork (Dwork, 1960), utilisant métodos p-ádicos.Grothendieck (1965) i els seus colaboradors varen establir la conjectura racional, l'equació funcional i l'enllaç als números de Betti utilisant les propietats de cohomología étale, una nova teoria de la cohomología desenrollada per Grothendieck i Artin per a atacar les conjectura de Weil, com es descriu en Grothendieck (1960). De les quatre conjectura, la de l'anàlec de l'hipòtesis de Riemann va ser la més difícil de provar. Motivat per la prova de Serre (1960) d'un anàlec de les conjectura de Weil para varietats de Kähler, Grothendieck va imaginar una prova basada en les seues conjectura estàndar sobre cicles algebraics (Kleiman, 1968). No obstant, les conjectura estàndar de Grothendieck permaneixen obertes (llevat el teorema de Lefschetz forta, que Deligne va provar en estendre el seu treball sobre les conjectura de Weil), i Deligne va provar l'anàlec de l'hipòtesis de Riemann, utilisant la teoria de la cohomología étale pero evitant l'us de conjectura estàndar per mig d'un argument ingeniós.Deligne (1980) va trobar i va provar una generalisació de les conjectura de Weil, delimitant els pesos de l'espente d'un fes.

Declaració de les conjectura de Weil

Suponga's que X és una varietat algebraica proyectiva n dimensional no singular sobre el camp F_q en q elements. La funció zeta ζ(X, s) de X és per definició

$\zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_m}{m}{q}^{-ms}\right)$

a on N_m és el número de punts de X definits sobre l'extensió de grau m F_q^m de F_q.

Les conjectura de Weil indiquen:

1. (Racionalitat) ζ(X, s) és una funció racional de T = q^−s. Més precisament, ζ(X, s) es pot escriure com un producte alternatiu finito

   $\prod _{i=0}^{2n}{P}_i(q^{-s}{)}^{(-1{)}^{i+1}}=\frac{P_1(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\cdots P_{2n}(T)},$ a on cada P_i(T) és un polinomi integral. Ademés, P₀(T) = 1 − T, P_2n(T) = 1 − qⁿT, i per a 1 &li; i &li; 2n − 1, P_i(T) factors sobre C com $\prod _j(1-{\alpha }_{ij}T)$ per a alguns números α_ij.

2. (Equació funcional i dualitat de Poincaré) La funció zeta satisfà

   $\zeta (X,n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}\zeta (X,s)$ o equivalent

1. $\zeta (X,q^{-n}{T}^{-1})=\pm q^{\frac{nE}{2}}{T}^E\zeta (X,T)$ a on I és la característica de Euler de X. En particular, per a cada i, els números α_2n−i,1, α_2n−i,2,... són iguals als números qⁿ/α_i,1, qⁿ/α_i,2,... en algun orde.

2. (Hipòtesis de Riemann) Plantilla:Absf = q^i/2 per a tots 1 &li; i &li; 2n − 1 i tots j. Açò implica que tots els zeros de P_k(T) troben en la "llínea crítica" dels número complejo s en la part real k/2.
3. (Números de Betti) Si X és una (bona) "reducció de mòdul p" d'una varietat proyectiva no singular I definida sobre un camp numèric incrustat en el camp d'número complejo, llavors el grau de P_i és el i-^ésimo número de Betti de l'espai dels punts complexos de I.

Referències

• Reprinted in
• Plantilla:Springer
• Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5