Teorema del punt fix de Lefschetz

En l'àmbit de les matemàtiques, la teorema del punt fix de Lefschetz és una fòrmula que permet contar el número de punts fixos d'una aplicació contínua des d'un espai topològic compacte X sobre sí mateixa per mig de l'us de traces de les aplicacions induïdes en els grups homòlecs de X. El seu nom fa honor a Solomon Lefschetz, quí va ser el que ho va descobrir en 1926.

El conteo posseïx una multiplicitat en un punt fix denominat l'índex de punt fix. Una versió més dèbil de la teorema és suficient per a demostrar que un mapage sense cap punt fix deu tindre propietats topològiques especials (com ser la rotació d'un círcul).

Enunciat

A continuació es presenta l'enunciat formal de la teorema. Siga

$f:X\to X,$

un mapage continu d'un espai triangulable compacte X cap a sí mateixa. Es definix el número de Lefschetz Λ_f de f per mig de l'expressió

${\Lambda }_f:=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{T}\mathrm{r}(f_{*}|H_k(X,\mathbb{Q})),$

la suma alternada (finita) de les traces de matriu dels mapes llineals induïts per f en l'H_k(X,Q), d'homologia singular de X en coeficients racionals.

Una versió simple de la teorema del punt fix de Lefschetz establix que: si

${\Lambda }_f\ne 0$

llavors f posseïx per lo manco un punt fix, és dir existix per lo manco un x en X tal que f(x) = x. En efecte, ya que el número de Lefschetz ha segut definit a nivell d'homologia, la conclusió pot ser estesa de manera d'indicar que qualsevol mapa homotópico de f posseïx també un punt fix.

Notar no obstant que en general el revers no és cert: Λ_f pot ser nul encara si f posseïx punts fixos.

Una versió més forta de la teorema, també conegut com la teorema de Lefschetz-Hopf, establix que, si f posseïx una cantitat finita de punts fixos, llavors

$\sum _{x\in \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(f)}i(f,x)={\Lambda }_f,$

a on Fix(f) és el conjunt dels punts fixos de f, i i(f,x) és l'índex del punt fix x.

Vore també

• Teoremes de punt fix
• Funció zeta de Lefschetz

Bibliografia

• Solomon Lefschetz(1926).Trans. Amer. Math. Soc..28

1–49.doi:10.2307/1989171. jstor

• Solomon Lefschetz(1937).Ann. of Math.(4).38

819–822.doi:10.2307/1968838.