Diagrama de Coxeter-Dynkin

Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups fonamentals finitos de Coxeter

Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups afins fonamentals de Coxeter

En geometria, un diagrama de Coxeter-Dynkin (també diagrama de Coxeter o gràfic de Coxeter) és un grafo en enllaços etiquetats s (o hiperplanos reflectores). Descriu una construcaleidoscópica: ca domini d'una faceta) i l'etiqueta lligada a una branca codifica l'orde del àngul diedro entre cada dos espills (en un domini d'una cara), és dir, la cantitat per la que es té que multiplicar l'àngul entre els plans reflectantes per a obtindre 180 graus. Una branca sense etiquetar representa implícitament l'orde 3 (60 graus).

Cada diagrama representa un grup de Coxeter, que es classifiquen pels seus diagrames associats.

Els diagrames de Dynkin són objectes estretament relacionats, que diferixen dels diagrames de Coxeter en dos aspectes: en primer lloc, les branques etiquetades com "4" o majors estan dirigides, mentres que els diagrames de Coxeter són no dirigits; en segon lloc, els diagrames de Dynkin deuen satisfer una restricció adicional (la restricció cristalográfica), a saber, que les úniques etiquetes de branca permeses són 2, 3, 4 i 6. Els diagrames de Dynkin guarden una correspondència directa en els sistemes raïl, per lo que s'usen per a classificar-los. Açò implica a la seua volta que formen àlgebra de Lie semisimples.^[1]

Descripció

Les branques d'un diagrama de Coxeter-Dynkin estan etiquetades en un número racional p, que representa un àngul diedro de 180°/p. Quan $p = 2$ l'àngul és de 90° i els espills no tenen interacció, llavors la branca pot ometre's del diagrama. Si una branca no està etiquetada, se supon que té $p = 3$ , que representa un àngul de 60°. Dos espills paralels tenen una branca marcada en "∞". En principi, els n espills poden representar-se per mig d'un grafo complet en el que es dibuixen totes les $n (n - 1) / 2$ branques. En la pràctica, casi totes les configuracions interessants dels espills inclouen varis ànguls rectes, per lo que deu tindre's en conte que les branques corresponents s'ometen.

Els diagrames es poden etiquetar per la seua estructura gràfica. Les primeres formes estudiades per Ludwig Schläfli són els ortoesquemas, que posseïxen gràfics llineals que generen politopos regulars i panales regulars. Els plagioesquemas són símplex representats per gràfics ramificados, i els cicloesquemas són símplex representats per gràfics cíclicos.

Matriu de Schläfli

Cada diagrama de Coxeter té la seua corresponent matriu de Schläfli (cridada aixina per Ludwig Schläfli), en elements de matriu $a i,j = a j,i = -2cos (π / p)$ , a on p és l'orde de les branques entre els parells d'espills. De la mateixa manera que una matriu de cosenos, també es denomina matriu de Gram, en referència al matemàtic danés Jørgen Pedersen Gram (1850-1916). Totes les matrius de Schläfli del grup de Coxeter són simètriques perque les seues vectores raïl estan normalisats. Es relaciona estretament en la matriu de Cartan, utilisada en els diagrames de Dynkin, gràfics similars (encara que dirigits) en els casos llimitats a p = 2,3,4 i 6, que NO són simètrics en general.

El determinant de la matriu de Schläfli (cridat schläfliano) i el seu signe determinen si el grup és finito (positiu), afí (zero), o indefinit (negatiu). Esta regla es diu criteri de Schläfli.^[2]

Els autovalores de la matriu de Schläfli determinen si un grup de Coxeter és de tipo finito (tot positiu), tipo afí (tot no negatiu, i a lo manco un és zero) o tipo indefinit (d'una atra manera). El tipo indefinit a voltes es subdivide encara més, en hiperbòlics i atres grups de Coxeter. No obstant, existixen múltiples definicions no equivalents per als grups hiperbòlics de Coxeter. S'usa la següent definició: un grup de Coxeter en diagrama conectat és hiperbòlic si no és de tipo finito ni afí, pero cada subdiagrama conectat és de tipo finito o afí. Un grup de Coxeter hiperbòlic és compacte si tots els subgrups són finitos (és dir, tenen determinants positius) i paracompacto si tots els seus subgrups són finitos o afins (és dir, tenen determinants no negatius).

Els grups finitos i afins també es denominen elíptics i parabòlics respectivament. Els grups hiperbòlics també es diuen grups de Lannér, en referència a F. Lannér, que va enumerar els grups hiperbòlics compactes en 1950,^[3] i també grups de Koszul (o cuasi-Lannér) per als grups paracompactos.

Grups de Coxeter de ranc 2

Per al ranc 2, el tipo d'un grup Coxeter està completament fixat pel determinant de la matriu de Schläfli, ya que és simplement el producte dels seus valors propis: tipo finito (determinant positiu), tipo afí (determinant zero) o hiperbòlic (determinant negatiu). Coxeter usa una notació de corchetes equivalent, que enumera les seqüències d'órdens de branques com un substitut dels diagrames gràfics de branques i nodos. També existixen solucions racionals [p/q], Plantilla:DCD, en màxim comú divisor (p, q) = 1, que definixen dominis fonamentals superposts. Per eixemple, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. i 6/5.

Tipo	Finito					Afí	Hiperbòlic
Geometria	Archiu:Dihedral symmetry domains 1.svg	Archiu:Dihedral symmetry domains 2.svg	Archiu:Dihedral symmetry domains 3.svg	Archiu:Dihedral symmetry domains 4.svg	...	Archiu:Dihedral symmetry domains infinity.svg	Archiu:Horocycle mirrors.png	Archiu:Dihedral symmetry ultra.png
Coxeter	Plantilla:DCD [ ]	Plantilla:DCD [2]	Plantilla:DCD [3]	Plantilla:DCD [4]	Plantilla:DCD [p]	Plantilla:DCD [∞]	Plantilla:DCD [∞]	Plantilla:DCD [iπ/λ]
Orde	2	4	6	8	2p	∞
Els eixos de simetria especular estan coloreados per a correspondre en els nodos del diagrama de Coxeter. Els dominis fonamentals estan coloreados alternativament

Diagrames de grups de Coxeter de ranc 2
Orde p	Grup	Diagrama de Coxeter		Matriu de Schläfli
Orde p	Grup	Diagrama de Coxeter		$[\begin{matrix} 2 & a_{12} \\ a_{21} & 2 \end{matrix}]$	Determinant (4-a₂₁a₁₂)
Finito (Determinant>0)
2	I₂(2) = A₁xA₁	Plantilla:DCD	[2]	$[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$	4
3	I₂(3) = A₂	Plantilla:DCD	[3]	$[\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$	3
3/2		Plantilla:DCD	[3/2]	$[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}]$	3
4	I₂(4) = B₂	Plantilla:DCD	[4]	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{2} \\ - \sqrt{2} & 2 \end{matrix}]$	2
4/3		Plantilla:DCD	[4/3]	$[\begin{matrix} 2 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 \end{matrix}]$	2
5	I₂(5) = H₂	Plantilla:DCD	[5]	$[\begin{matrix} 2 & - ϕ \\ - ϕ & 2 \end{matrix}]$	$(5 - \sqrt{5}) / 2$ 1.38196601125
5/4		Plantilla:DCD	[5/4]	$[\begin{matrix} 2 & ϕ \\ ϕ & 2 \end{matrix}]$	$(5 - \sqrt{5}) / 2$ 1.38196601125
5/2		Plantilla:DCD	[5/2]	$[\begin{matrix} 2 & 1 - ϕ \\ 1 - ϕ & 2 \end{matrix}]$	$(5 + \sqrt{5}) / 2$ 3.61803398875
5/3		Plantilla:DCD	[5/3]	$[\begin{matrix} 2 & ϕ - 1 \\ ϕ - 1 & 2 \end{matrix}]$	$(5 + \sqrt{5}) / 2$ 3.61803398875
6	I₂(6) = G₂	Plantilla:DCD	[6]	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 2 \end{matrix}]$	1
6/5		Plantilla:DCD	[6/5]	$[\begin{matrix} 2 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 2 \end{matrix}]$	1
8	I₂(8)	Plantilla:DCD	[8]	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \\ - \sqrt{2 + \sqrt{2}} & 2 \end{matrix}]$	$2 - \sqrt{2}$ 0.58578643763
10	I₂(10)	Plantilla:DCD	[10]	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{(5 + \sqrt{5}) / 2} \\ - \sqrt{(5 + \sqrt{5}) / 2} & 2 \end{matrix}]$	$(3 - \sqrt{5}) / 2$ 0.38196601125
12	I₂(12)	Plantilla:DCD	[12]	$[\begin{matrix} 2 & - \sqrt{2 + \sqrt{3}} \\ - \sqrt{2 + \sqrt{3}} & 2 \end{matrix}]$	$2 - \sqrt{3}$ 0.26794919243
p	I₂(p)	Plantilla:DCD	[p]	$[\begin{matrix} 2 & - 2 \cos (π / p) \\ - 2 \cos (π / p) & 2 \end{matrix}]$	$4 \sin^{2} (π / p)$
Afí (Determinant=0)
∞	I₂(∞) = ${\tilde{I}}_{1}$ = ${\tilde{A}}_{1}$	Plantilla:DCD	[∞]	$[\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{matrix}]$	0
Hiperbòlic (Determinant≤0)
∞		Plantilla:DCD	[∞]	$[\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{matrix}]$	0
∞		Plantilla:DCD	[iπ/λ]	$[\begin{matrix} 2 & - 2 c o s h (2 λ) \\ - 2 c o s h (2 λ) & 2 \end{matrix}]$	$- 4 \sinh^{2} (2 λ) \leq 0$

Visualisacions geomètriques

El diagrama de Coxeter-Dynkin pot vore's com una descripció gràfica del domini fonamental dels espills. Un espill representa un hiperplano dins d'un espai euclídeo, esfèric o hiperbòlic d'una dimensió donada. En espais 2D, un espill és una recta, i en 3D un espill és un pla.

Estes visualisacions mostren els dominis fonamentals per a grups euclídeos 2D i 3D, i grups esfèrics 2D. Per a cada u, el diagrama de Coxeter pot deduir-se identificant els espills del hiperplano i etiquetant la seua conectivitat, ignorant els ànguls diédricos de 90 graus (orde 2).

Archiu:Coxeter-dynkin plane groups es.png Grups de Coxeter en el pla euclídeo en els seus diagrames equivalents. Les reflexions s'etiqueten com a nodos gràfics R1, R2, etc. i es colorean per la seua orde de reflexió. Les reflexions a 90 graus estan inactives i, per lo tant, se suprimixen del diagrama. Les simetria especulares paraleles estan conectades per una branca etiquetada en ∞. El grup prismàtic ${\tilde{I}}_{1}$ x ${\tilde{I}}_{1}$ es mostra com una duplicació de ${\tilde{C}}_{2}$ , pero també es pot crear en forma de dominis rectangulars en duplicar els triànguls ${\tilde{G}}_{2}$ . ${\tilde{A}}_{2}$ és una duplicació del triàngul ${\tilde{G}}_{2}$ .
Archiu:Hyperbolic kaleidoscopes es.png Molts grups de Coxeter en geometria hiperbòlica poden estendre's dels casos euclídeos com una série de solucions hiperbòliques.
Archiu:Coxeter-Dynkin 3-space groups es.png Grups de Coxeter en l'espai 3d en els seus diagrames. Els espills (cares triangulars) estan etiquetats pel vèrtiç opost 0..3. Les branques es colorean per la seua orde de reflexió. ${\tilde{C}}_{3}$ ompli 1/48 de la gaveta. ${\tilde{B}}_{3}$ ompli 1/24 de la gaveta. ${\tilde{A}}_{3}$ ompli 1/12 de la gaveta.	Archiu:Coxeter-Dynkin sphere groups es.png Grups de Coxeter en l'esfera, en els seus diagrames equivalents. El domini fonamental es descriu en groc. Els vèrtiços del domini (i les branques del gràfic) estan coloreados per la seua orde de reflexió.

Grups de Coxeter finitos

Vore també famílies de politopos per a obtindre una taula dels politopos uniformes de nodo final associats en estos grups.

S'utilisen indistintament tres simbologia diferents per a definir els mateixos grups: com una lletra/número, com un conjunt de números entre corchetes i com el diagrama de Coxeter.
Els grups D_n bifurcados són versions semi o alternades dels grups C_n regulars.
Els grups bifurcados D_n i I_n també estan etiquetats en un superíndex [3^a,b,c] a on a, b, i c són els números de segments en cada una de les tres branques.

Diagrames de Coxeter-Dynkin finitos conectats (rancs d'1 a 9)
Rank	Grups de Lie simples			Grups de Lie excepcionals
Rank	$A_{1 +}$	$B_{2 +}$	$D_{2 +}$	$E_{3 - 8}$	$F_{3 - 4}$	$G_{2}$	$H_{2 - 4}$	$I_{2} (p)$
1	A₁=[ ] Plantilla:DCD
2	A₂=[3] Plantilla:DCD	B₂=[4] Plantilla:DCD	D₂=A₁A₁ Plantilla:DCD			G₂=[6] Plantilla:DCD	H₂=[5] Plantilla:DCD	I₂[p] Plantilla:DCD
3	A₃=[3²] Plantilla:DCD	B₃=[3,4] Plantilla:DCD	D₃=A₃ Plantilla:DCD	I₃=A₂A₁ Plantilla:DCD Plantilla:DCD	F₃=B₃ Plantilla:DCD		H₃ Plantilla:DCD
4	A₄=[3³] Plantilla:DCD	B₄=[3²,4] Plantilla:DCD	D₄=[3^1,1,1] Plantilla:DCD	I₄=A₄ Plantilla:DCD	F₄ Plantilla:DCD		H₄ Plantilla:DCD
5	A₅=[3⁴] Plantilla:DCD	B₅=[3³,4] Plantilla:DCD	D₅=[3^2,1,1] Plantilla:DCD	I₅=D₅ Plantilla:DCD
6	A₆=[3⁵] Plantilla:DCD	B₆=[3⁴,4] Plantilla:DCD	D₆=[3^3,1,1] Plantilla:DCD	I₆=[3^2,2,1] Plantilla:DCD
7	A₇=[3⁶] Plantilla:DCD	B₇=[3⁵,4] Plantilla:DCD	D₇=[3^4,1,1] Plantilla:DCD	I₇=[3^3,2,1] Plantilla:DCD
8	A₈=[3⁷] Plantilla:DCD	B₈=[3⁶,4] Plantilla:DCD	D₈=[3^5,1,1] Plantilla:DCD	I₈=[3^4,2,1] Plantilla:DCD
9	A₉=[3⁸] Plantilla:DCD	B₉=[3⁷,4] Plantilla:DCD	D₉=[3^6,1,1] Plantilla:DCD
10+	..	..	..	..

Aplicació en politopos uniformes

Archiu:Coxeter node markup1.svg	Archiu:Kaleidoscopic construction of square es.png
En construir politopos uniformes, els nodos es marquen com "actius" per mig d'un anell si un punt generador està fòra de l'espill, creant una nova aresta entre un punt generador i la seua image reflectida. Un nodo sense anell representa un espill "inactiu", que no genera punts nous.	Es poden usar dos espills ortogonals per a generar un quadrat, Plantilla:DCD, vist ací en un punt generador roig i 3 còpies virtuals a través dels espills. El generador té que estar fora d'abdós espills en este cas ortogonal per a generar un interior. El marcat de l'anell supon que els anells actius tenen generadors a la mateixa distància de tots els espills, mentres que un rectàngul també pot representar una solució no uniforme.

Els diagrames de Coxeter-Dynkin poden enumerar explícitament casi totes les classes de politopos uniformes i de teselados uniformes. Cada politopo uniforme en simetria reflexiva pura (tots, menys alguns casos especials, tenen simetria reflexiva pura) pot representar-se per mig d'un diagrama de Coxeter-Dynkin en permutació de "màrgens". Cada politopo uniforme pot generar-se usant tals espills i un únic punt generador: les imàgens especulares creen nous punts com a reflexos, i llavors es poden definir les arestes del polítopo com a segments entre cada punt i les seues imàgens en els espills. Les cares es generen pel reflex repetit de les arestes que finalment envolen al generador original; la forma final, aixina com les facetes de dimensions superiors, també es creen quan la cara es reflectix per a tancar un àrea.

Per a especificar els vèrtiços generadors, es marquen un o més nodos en anells, lo que significa que el vèrtiç no està en l'espill(s) representat pel nodo(s) anellat (si es marquen dos o més espills, el vèrtiç és equidistant d'ells). Un espill està "actiu" (crea reflexos) solament sobre els punts que no estan en ell. Un diagrama necessita a lo manco un nodo actiu per a representar un politopo. Un diagrama no conectat (subgrups separats per branques d'orde 2 o espills ortogonals) requerix a lo manco un nodo actiu en cada subgrafo.

Tots els politopos regulars, representats pels símbols de Schläfli Plantilla:( $p, q, r, ...$ Plantilla:), poden tindre els seus dominis fonamentals representats per un conjunt de n espills en un diagrama de Coxeter-Dynkin relacionat en una llínea de nodos i branques etiquetades per $p, q, r, ...,$ en el primer nodo anellat.

Els politopos uniformes en un anell corresponen a punts generadors en els cantons del domini fonamental simplex. Dos anells corresponen a les vores de simplex i tenen un grau de llibertat, en solament el punt mig com la solució uniforme per a llongituts d'aresta iguals. En general, els k punts generadors en anell estan situats sobre les (k-1) cares del símplex, i si tots els nodos estan anellats, el punt del generador està en l'interior del símplex.

El cas especial de politopos uniformes en simetria no reflexiva està representat per un marcat secundari en el que s'elimina el punt central d'un nodo anellat (cridat "forat"). Estes formes són alternances de politopos en simetria reflexiva, lo que implica que els nodos alternatius s'eliminen. El politopo resultant tindrà una subsimetría del grup de Coxeter original. Una alternança truncada es diu achatada.

Un sol nodo representa un sol espill. Açò es diu grup A₁. Si està anellat, açò crea un segment perpendicular a l'espill, representat com {}.
Dos nodos no conectats representen dos espills perpendiculars. Si abdós nodos estan anellats, es pot crear un rectàngul o un quadrat quan el punt està a la mateixa distància d'abdós espills.
Dos nodos units per una branca d'orde n poden crear un n-ágono si el punt està en un espill i un 2n-ágono si el punt està fòra d'abdós espills. Açò forma el grup I₁(n).

Dos espills paralels poden representar un grup de polígons infinits I₁(∞), també cridat Ĩ₁.
Tres espills formant un triàngul generen imàgens com les vistes en un caleidoscopio tradicional i poden representar-se per tres nodos conectats en un triàngul. Els eixemples repetits tindran branques etiquetades com (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), encara que les dos últimes es poden dibuixar com una llínea (en les branques 2 omeses). Estes configuracions generaran teselados uniformes.
Tres espills poden generar poliedres uniformes; incloent número racional es genera el conjunt dels triànguls de Schwarz.
Tres espills, en un perpendicular als atres dos, poden formar un prisma uniforme.

Archiu:Wythoffian construction diagram.svg	Archiu:Polyhedron truncation example3 es.png
Hi ha 7 construccions uniformes reflexives dins d'un triàngul general, basades en 7 posicions del generador topològic dins del domini fonamental. Cada espill actiu genera una aresta, en dos espills actius es tenen generadors en els costats del domini i en tres espills actius es té el generador en el seu interior. Es poden resoldre un o dos graus de llibertat per a una posició única imponent iguals llongituts d'aresta del poliedre o teselado resultant.	Eixemple de 7 generadors en la simetria octaedral, triàngul de domini fonamental (4 3 2), en l'octava generació de achatado com alternança

Els duals dels politopos uniformes a voltes estan marcats en una barra perpendicular que reemplaça als nodos anellats i una barra en un orifici per als nodos dels achatados. Per eixemple, Plantilla:DCD representa un rectàngul (com dos espills ortogonals actius), i Plantilla:DCD representa la seua polígon dual, el rombo.

Eixemple de poliedres i teselados

Per eixemple, el grup de Coxeter B₃ té un diagrama Plantilla:DCD. Esta configuració també es denomina simetria octaèdrica.

Hi ha 7 poliedres d'arestes uniformes convexos que poden construir-se a partir d'este grup de simetria i atres 3 a partir de les seues subsimetrías alternantes, cada u en un diagrama de Coxeter-Dynkin marcat de forma única. El símbol de Wythoff representa un cas especial del diagrama de Coxeter per a gràfics de ranc 3, en les 3 órdens de branca nomenades, en lloc d'ometre les branques d'orde 2. El símbol de Wythoff pot contemplar la forma de "achatado", pero no les alternances generals sense tots els nodos anellats.

Poliedres octaèdrics uniformes
Simetria: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD			Plantilla:DCD
		Plantilla:DCD = Plantilla:DCD	Plantilla:DCD = Plantilla:DCD	Plantilla:DCD = Plantilla:DCD	Plantilla:DCD			Plantilla:DCD = Plantilla:DCD or Plantilla:DCD	Plantilla:DCD = Plantilla:DCD or Plantilla:DCD	Plantilla:DCD = Plantilla:DCD
Archiu:Uniform polyhedron-43-t0.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t01.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t1.svg Archiu:Uniform polyhedron-33-t02.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t12.svg Archiu:Uniform polyhedron-33-t012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t2.svg Archiu:Uniform polyhedron-33-t1.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-t02.svg Archiu:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png	Archiu:Uniform polyhedron-43-t012.png	Archiu:Uniform polyhedron-43-s012.svg	Archiu:Uniform polyhedron-33-t0.svgArchiu:Uniform polyhedron-33-t2.svg	Archiu:Uniform polyhedron-33-t01.svgArchiu:Uniform polyhedron-33-t12.svg	Archiu:Uniform polyhedron-43-h01.svg Archiu:Uniform polyhedron-33-s012.svg
Duals als poliedres uniformes
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
		Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD			Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Archiu:Octahedron.svg	Archiu:Triakisoctahedron.jpg	Archiu:Rhombicdodecahedron.jpg	Archiu:Tetrakishexahedron.jpg	Archiu:Hexahedron.svg	Archiu:Deltoidalicositetrahedron.jpg	Archiu:Disdyakisdodecahedron.jpg	Archiu:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg	Archiu:Tetrahedron.svg	Archiu:Triakistetrahedron.svg	Archiu:Dodecahedron.svg

Es poden generar les mateixes construccions en grups de Coxeter desarticulats (ortogonals) com el prisma uniforme, i es poden vore més clarament com teselados de diedros i hosoedros en l'esfera, com esta família [6]×[] o [6,2]:

Poliedres esfèrics diédricos hexagonals uniformes
Simetria: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)
Archiu:Hexagonal dihedron.png	Archiu:Dodecagonal dihedron.png	Archiu:Hexagonal dihedron.png	Archiu:Spherical hexagonal prism.svg	Archiu:Spherical hexagonal hosohedron.svg	Archiu:Spherical truncated trigonal prism.svg	Archiu:Spherical dodecagonal prism2.svg	Archiu:Spherical hexagonal antiprism.svg	Archiu:Spherical trigonal antiprism.svg
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals als uniformes
Archiu:Spherical hexagonal hosohedron.svg	Archiu:Spherical dodecagonal hosohedron.svg	Archiu:Spherical hexagonal hosohedron.svg	Archiu:Spherical hexagonal bipyramid.svg	Archiu:Hexagonal dihedron.png	Archiu:Spherical hexagonal bipyramid.svg	Archiu:Spherical dodecagonal bipyramid.svg	Archiu:Spherical hexagonal trapezohedron.svg	Archiu:Spherical trigonal trapezohedron.svg
V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

En comparació, la família [6,3], Plantilla:DCD, produïx un conjunt paralel de 7 teselados uniformes del pla euclídeo, i els seus duals. De nou hi ha 3 alternances i alguna versió de semi simetria.

Teselados hexagonals
Simetria: [6,3], (*632)							[6,3]⁺ (632)	[6,3⁺] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Archiu:Uniform tiling 63-t0.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t01.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t1.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t12.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t2.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t02.svg	Archiu:Uniform tiling 63-t012.svg	Archiu:Uniform tiling 63-snub.svg	Archiu:Uniform tiling 63-h12.svg
6³	3.12²	(3.6)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Uniform duals
Archiu:1-uniform 1 dual.svg	Archiu:1-uniform 4 dual1.svg	Archiu:1-uniform 7 dual.svg	Archiu:1-uniform 1 dual.svg	Archiu:1-uniform 11 dual.svg	Archiu:1-uniform 6 dual.svg	Archiu:1-uniform 3 dual.svg	Archiu:1-uniform 10 dual.svg	Archiu:1-uniform 11 dual.svg
V6³	V3.12²	V(3.6)²	V6³	V3⁶	V3.4.6.4	V.4.6.12	V3⁴.6	V3⁶

En el pla hiperbòlic [7,3], la família Plantilla:DCD produïx un conjunt paralel de teselados uniformes i els seus duals. Solament hi ha 1 alternança (achatado) ya que tots els órdens de les branques són impars. Es poden vore moltes atres famílies hiperbòliques de teselados uniformes en teselados uniformes en el pla hiperbòlic.

Teselado hiperbòlic
Simetria: [7,3], (*732)							[7,3]⁺, (732)
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Archiu:Heptagonal tiling.svg	Archiu:Truncated heptagonal tiling.svg	Archiu:Triheptagonal tiling.svg	Archiu:Truncated order-7 triangular tiling.svg	Archiu:Order-7 triangular tiling.svg	Archiu:Rhombitriheptagonal tiling.svg	Archiu:Truncated triheptagonal tiling.svg	Archiu:Snub triheptagonal tiling.svg
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
Duals uniformes
Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Archiu:Order-7 triangular tiling.svg	Archiu:Order-7 triakis triangular tiling.svg	Archiu:7-3 rhombille tiling.svg	Archiu:Heptakis heptagonal tiling.svg	Archiu:Heptagonal tiling.svg	Archiu:Deltoidal triheptagonal tiling.svg	Archiu:3-7 kisrhombille.svg	Archiu:7-3 floret pentagonal tiling.svg
V7³	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3⁷	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Grups afins de Coxeter

Les famílies de teselaciones euclídeas uniformes convexas estan definides pels grups de Coxeter afins. Estos grups són idèntics als grups finitos en l'inclusió d'un nodo agregat. Per a estos casos, es mantenen les assignació de lletres, en una virgulilla ("") per damunt de la lletra. L'índex es referix al grup finito, per lo que el ranc és l'índex més 1. Els símbols de Witt per als grups afins figuren a continuació precedits en la paraula també:

${\tilde{A}}_{n - 1}$ : els diagrames d'este tipo són cicles (també P_n)
${\tilde{C}}_{n - 1}$ està associat en la família de teselaciones regulars hipercúbicas Plantilla:( $4, 3, ...., 4$ Plantilla:) (també R_n)
${\tilde{B}}_{n - 1}$ relacionat en C per un espill eliminat (també S_n)
${\tilde{D}}_{n - 1}$ relacionat en C per dos espills eliminats (també _nX)
${\tilde{E}}_{6}$ , ${\tilde{E}}_{7}$ , ${\tilde{E}}_{8}$ (també T₇, T₈, T₉)
${\tilde{F}}_{4}$ forma la teselación regular {3,4,3,3} (també O₅)
${\tilde{G}}_{2}$ forma els dominis fonamentals triangulars 30-60-90 (també V₃)

${\tilde{I}}_{1}$ són dos espills paralels (= ${\tilde{A}}_{1}$ = ${\tilde{C}}_{1}$ ) (també W₂)

Els grups composts també es poden definir com a proyeccions ortogonals. L'us més comú de ${\tilde{A}}_{1}$ , com ${\tilde{A}}_{1}^{2}$ , Plantilla:DCD representa dominis quadrats o rectangulars (taulers d'escacs) en el pla euclídeo. I ${\tilde{A}}_{1} {\tilde{G}}_{2}$ Plantilla:DCD representa els dominis fonamentals en forma de prisma triangular en l'espai euclídeo tridimensional.

Gràfics afins de Coxeter entre 2 i 10 nodos
Ranc	${\tilde{A}}_{1 +}$ (P₂₊)	${\tilde{B}}_{3 +}$ (S₄₊)	${\tilde{C}}_{1 +}$ (R₂₊)	${\tilde{D}}_{4 +}$ (Q₅₊)	${\tilde{E}}_{n}$ (T_n+1) / ${\tilde{F}}_{4}$ (O₅) / ${\tilde{G}}_{2}$ (V₃)
2	${\tilde{A}}_{1}$ =[∞] Plantilla:DCD		${\tilde{C}}_{1}$ =[∞] Plantilla:DCD
3	${\tilde{A}}_{2}$ =[3^[3]] * Plantilla:DCD		${\tilde{C}}_{2}$ =[4,4] * Plantilla:DCD		${\tilde{G}}_{2}$ =[6,3] * Plantilla:DCD
4	${\tilde{A}}_{3}$ =[3^[4]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{3}$ =[4,3^1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{3}$ =[4,3,4] * Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{3}$ =[3^1,1,3⁻¹,3^1,1] Plantilla:DCD = ${\tilde{A}}_{3}$
5	${\tilde{A}}_{4}$ =[3^[5]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{4}$ =[4,3,3^1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{4}$ =[4,3²,4] * Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{4}$ =[3^1,1,1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{F}}_{4}$ =[3,4,3,3] * Plantilla:DCD
6	${\tilde{A}}_{5}$ =[3^[6]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{5}$ =[4,3²,3^1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{5}$ =[4,3³,4] * Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{5}$ =[3^1,1,3,3^1,1] * Plantilla:DCD
7	${\tilde{A}}_{6}$ =[3^[7]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{6}$ =[4,3³,3^1,1] Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{6}$ =[4,3⁴,4] Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{6}$ =[3^1,1,3²,3^1,1] Plantilla:DCD	${\tilde{E}}_{6}$ =[3^2,2,2] Plantilla:DCD
8	${\tilde{A}}_{7}$ =[3^[8]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{7}$ =[4,3⁴,3^1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{7}$ =[4,3⁵,4] Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{7}$ =[3^1,1,3³,3^1,1] * Plantilla:DCD	${\tilde{E}}_{7}$ =[3^3,3,1] * Plantilla:DCD
9	${\tilde{A}}_{8}$ =[3^[9]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{8}$ =[4,3⁵,3^1,1] Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{8}$ =[4,3⁶,4] Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{8}$ =[3^1,1,3⁴,3^1,1] Plantilla:DCD	${\tilde{E}}_{8}$ =[3^5,2,1] * Plantilla:DCD
10	${\tilde{A}}_{9}$ =[3^[10]] * Plantilla:DCD	${\tilde{B}}_{9}$ =[4,3⁶,3^1,1] Plantilla:DCD	${\tilde{C}}_{9}$ =[4,3⁷,4] Plantilla:DCD	${\tilde{D}}_{9}$ =[3^1,1,3⁵,3^1,1] Plantilla:DCD
11	...	...	...	...

Grups hiperbòlics de Coxeter

Hi ha molts grups de Coxeter hiperbòlics infinits. Els grups hiperbòlics es classifiquen com a compactes o no, i els grups compactes tenen dominis fonamentals delimitats. Els grups hiperbòlics simples compactes (símplices de Lannér) existixen de ranc 3 a 5. Els grups simples compactes (símplices de Koszul) existixen fins al ranc 10. Els grups hipercompactos (politopos de Vinberg) s'han explorat pero no s'han determinat completament. En 2006, Allcock va demostrar que hi ha infinits politopos compactes de Vinberg per a dimensions de fins a 6, i infinits politopos de volum finito de Vinberg per a dimensions de fins a 19,^[4] per lo que no és possible una enumeració completa. Tots estos dominis reflexius fonamentals, tant simples com no simples, a sovint es denominen politopos de Coxeter o, a voltes, en menys precisió poliedres de Coxeter.

Grups hiperbòlics en H²

Artícul principal → Teselados uniformes en el pla hiperbòlic.

Disc de Poincaré de dominis fonamentals triangulars
Eixemples de triànguls rectànguls [p,q]
Archiu:H2checkers 237.png [3,7]	Archiu:H2checkers 238.png [3,8]	Archiu:Hyperbolic domains 932 black.png [3,9]	Archiu:H2checkers 23i.png [3,∞]
Archiu:H2checkers 245.png [4,5]	Archiu:H2checkers 246.png [4,6]	Archiu:H2checkers 247.png [4,7]	Archiu:H2checkers 248.png [4,8]	Archiu:H2checkers 24i.png [∞,4]
Archiu:H2checkers 255.png [5,5]	Archiu:H2checkers 256.png [5,6]	Archiu:H2checkers 257.png [5,7]	Archiu:H2checkers 266.png [6,6]	Archiu:H2checkers 2ii.png [∞,∞]
Eixemples de triànguls generals [(p,q,r)]
Archiu:H2checkers 334.png [(3,3,4)]	Archiu:H2checkers 335.png [(3,3,5)]	Archiu:H2checkers 336.png [(3,3,6)]	Archiu:H2checkers 337.png [(3,3,7)]	Archiu:H2checkers 33i.png [(3,3,∞)]
Archiu:H2checkers 344.png [(3,4,4)]	Archiu:H2checkers 366.png [(3,6,6)]	Archiu:H2checkers 3ii.png [(3,∞,∞)]	Archiu:H2checkers 666.png [(6,6,6)]	Archiu:Infinite-order triangular tiling.svg [(∞,∞,∞)]

Els grups triangulars hiperbòlics bidimensionales existixen com a diagrames de Coxeter de ranc 3, definits per un triàngul (p q r) para:

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} < 1.

Hi ha infinits grups de Coxeter hiperbòlics triangulars compactes, que inclouen grafos llineals i triangulars. Els gràfics llineals existixen per a triànguls rectànguls (en r = 2).^[5]

Grups de Coxeter hiperbòlics compactes

Llineal

Cíclico

∞ [p,q], Plantilla:DCD:
2(p+q)<pq

Plantilla:DCD
Plantilla:DCD
Plantilla:DCD
...
Plantilla:DCD
Plantilla:DCD
...
Plantilla:DCD
Plantilla:DCD
...

∞ [(p,q,r)], Plantilla:DCD: p+q+r>9

Els grups de Coxeter paracompactos de ranc 3 existixen com a llímits als compactes.

Grafos llineals	Grafos cíclicos
[p,∞] Plantilla:DCD [∞,∞] Plantilla:DCD	[(p,q,∞)] Plantilla:DCD [(p,∞,∞)] Plantilla:DCD [(∞,∞,∞)] Plantilla:DCD

Grup triangular aritmètic

Els grups triangulars hiperbòlics que també són grups aritmètics formen un subconjunt finito. Per mig de busca per ordenador, la llista completa va ser determinada per "Kisao Takeuchi" en el seu artícul de 1977 "Grups de triànguls aritmètics".^[6] Hi ha 85 en total, 76 compactes i 9 paracompactos.

Triànguls rectànguls (p q 2)	Triànguls generals (p q r)
Grups compactes: (76) Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Triànguls rectànguls paracompactos: (4) Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD	Triànguls generals: (39) Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Triànguls generals paracompactos: (5) Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Polígons de Coxeter hiperbòlics sobre triànguls

Dominis fonamentals dels grups quadrilàters
Dominis en vèrtiços ideals
Archiu:Hyperbolic domains 3222.png Plantilla:DCD or Plantilla:DCD [∞,3,∞] [iπ/λ₁,3,iπ/λ₂] (*3222)	Archiu:Hyperbolic domains 2233.png Plantilla:DCD or Plantilla:DCD [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ₁,3)),iπ/λ₂] (*3322)	Archiu:H2chess 246a.png Plantilla:DCD or Plantilla:DCD [(3,∞)^[2]] [(3,iπ/λ₁,3,iπ/λ₂)] (*3232)	Archiu:H2chess 248a.png Plantilla:DCD or Plantilla:DCD [(4,∞)^[2]] [(4,iπ/λ₁,4,iπ/λ₂)] (*4242)	Archiu:H2chess 246b.png Plantilla:DCD (*3333)
Archiu:Hyperbolic domains i222.png Plantilla:DCD [iπ/λ₁,∞,iπ/λ₂] (*∞222)	Archiu:Hyperbolic domains ii22.png Plantilla:DCD (*∞∞22)	Archiu:H2chess 24ia.png Plantilla:DCD [(iπ/λ₁,∞,iπ/λ₂,∞)] (*2∞2∞)	Archiu:H2chess 24ib.png Plantilla:DCD (*∞∞∞∞)	Archiu:H2chess 248b.png Plantilla:DCD (*4444)

Es poden construir atres caleidoscopios hiperbòlics H² a partir de polígons d'orde superior. De la mateixa manera que els grups triangulars, estos caleidoscopios poden identificar-se per mig d'una seqüència cíclica d'órdens d'intersecció d'espills al voltant del domini fonamental, com (abcd ...), o de manera equivalent en notació orbifold com *abcd... Els diagrames de Coxeter-Dynkin per a estes configuracions poligonales caleidoscópicas es poden vore com a dominis fonamentals degenerados (n-1)-símplex, en un orde cíclico de branques a, b, c ... i les n*(n-3)/2 branques restants s'etiqueten com a infinit (∞), lo que representa els espills no intersecantes. L'únic eixemple no hiperbòlic és la simetria euclídea de quatre espills en un teselado quadrat o rectángular com Plantilla:DCD, [∞, 2, ∞] (orbifold *2222). Una atra notació de les branques per als espills no intersecantes ideada per Vinberg, representa les branques infinites com a llínees punteadas o discontínues, per lo que este diagrama pot mostrar-se com Plantilla:DCD, en les quatre branques d'orde 2 suprimides al voltant del perímetro.

Per eixemple, un domini quadrilàter (a b c d) tindrà dos branques d'orde infinit que conecten espills ultra paralels. L'eixemple hiperbòlic més chicotet és Plantilla:DCD, [∞, 3, ∞] o [iπ/λ₁, 3, iπ/λ₂] (orbifold *3222), a on (λ₁, λ₂) són la distància entre els espills ultraparalelos. L'expressió alternativa és Plantilla:DCD, en tres branques d'orde 2 omeses al voltant del perímetro. De la mateixa manera (2 3 2 3) (orbifold *3232) pot representar-se com Plantilla:DCD i (3 3 3 3), (orbifold *3333) pot representar-se com un gràfic complet Plantilla:DCD.

El domini quadrilàter més alt (∞ ∞ ∞ ∞) és un quadrat infinit, representat per un gràfic tetraèdric complet en 4 branques perimetrals com a vèrtiços ideals i dos branques diagonals com a infinit (es mostren com a llínees de punts) per als espills ultraparalelos: Plantilla:DCD.

Compactes (grups de símplex de Lannér)

Els grups hiperbòlics compactes es denominen grups de Lannér, en relació en Folke Lannér, que els va estudiar per primera volta en 1950.^[7] Solament existixen com a gràfics de ranc 4 i 5. Coxeter va estudiar els grups de Coxeter hiperbòlics llineals en el seu artícul de 1954 "Panales regulars en l'espai hiperbòlic",^[8] que incloïa dos solucions racionals en espais hiperbòlics de 4 dimensions: [5/2,5,3,3] = Plantilla:DCD i [5,5/2,5,3] = Plantilla:DCD.

Rancs 4–5

Artícul principal → Panales uniformes en l'espai hiperbòlic.

El domini fonamental de qualsevol dels dos grups bifurcantes, [5,3^1,1] i [5,3,3^1,1], és el doble que el d'un grup llineal corresponent, [5,3,4] i [5,3,3,4 ] respectivament. Johnson assigna les lletres de cada element en el mateix criteri que els símbols de Witt estesos^[9]

Grups de Coxeter hiperbòlics compactes
Dimensió H^d	Ranc	Conta total	Llineal	Bifurcante	Cíclico
H³	4	9	3: ${\overline{B H}}_{3}$ = [4,3,5]: Plantilla:DCD ${\overline{K}}_{3}$ = [5,3,5]: Plantilla:DCD ${\overline{J}}_{3}$ = [3,5,3]: Plantilla:DCD	${\overline{D H}}_{3}$ = [5,3^1,1]: Plantilla:DCD	${\hat{A B}}_{3}$ = [(3³,4)]: Plantilla:DCD ${\hat{A H}}_{3}$ = [(3³,5)]: Plantilla:DCD ${\hat{B B}}_{3}$ = [(3,4)^[2]]: Plantilla:DCD ${\hat{B H}}_{3}$ = [(3,4,3,5)]: Plantilla:DCD ${\hat{H H}}_{3}$ = [(3,5)^[2]]: Plantilla:DCD
H⁴	5	5	3: ${\overline{H}}_{4}$ = [3³,5]: Plantilla:DCD ${\overline{B H}}_{4}$ = [4,3,3,5]: Plantilla:DCD ${\overline{K}}_{4}$ = [5,3,3,5]: Plantilla:DCD	${\overline{D H}}_{4}$ = [5,3,3^1,1]: Plantilla:DCD	${\hat{A F}}_{4}$ = [(3⁴,4)]: Plantilla:DCD

Paracompacto (grups de símplex de Koszul)

Archiu:Hyperbolic apeirogon example es.png

Un eixemple d'un teselado apeirogonal d'orde 3, {∞,3}, en l'apeirógono (en vert) i el seu horociclo circumscrit

Els grups de Coxeter hiperbòlics paracompactos (també cridats no compactes) contenen subgrups afins i tenen dominis fonamentals simplex asintòtics. El grup de Coxeter hiperbòlic paracompacto més alt és el de ranc 10. Estos grups duen el nom del matemàtic francés Jean-Louis Koszul.^[10] També es denominen grups cuasi-Lannér, perque estenen els grups compactes de Lannér. La llista es va completar per mig de busca en ordenador per M. Chein, i es va publicar en 1969.^[11]

D'acort en Vinberg, tots menys huit d'estos 72 simplex compactes i paracompactos són aritmètics. Dos dels grups no aritmètics són compactes: Plantilla:DCD i Plantilla:DCD. Els atres sis grups no aritmètics són tots paracompactos, en cinc grups tridimensionals Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD i Plantilla:DCD, i un grup 5-dimensional Plantilla:DCD.

Símplices ideals

Archiu:Infinite-order triangular tiling.svg

Dominis fonamentals ideals de Plantilla:DCD, [(∞,∞,∞)], representats sobre un disc de Poincaré

Hi ha 5 grups de Coxeter hiperbòlics que expressen símplices ideals, grafos en els que l'eliminació de qualsevol nodo dona com resultat un grup de Coxeter afí. Per lo tant, tots els vèrtiços d'este símplex ideal estan en l'infinit.^[12]

Ranc	Grup ideal		Subgrups afins
3	[(∞,∞,∞)]	Plantilla:DCD	[∞]	Plantilla:DCD
4	[4^[4]]	Plantilla:DCD	[4,4]	Plantilla:DCD
4	[3^[3,3]]	Plantilla:DCD	[3^[3]]	Plantilla:DCD
4	[(3,6)^[2]]	Plantilla:DCD	[3,6]	Plantilla:DCD
6	[(3,3,4)^[2]]	Plantilla:DCD	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	Plantilla:DCD, Plantilla:DCD

Rancs 4–10

Archiu:633 honeycomb one cell horosphere.png

Les celes euclídeas infinites, com un teselado hexagonal, adequadament escalades, convergixen a un únic punt ideal en l'infinit, com el panal de teselado hexagonal, {6,3,3}, com a mostra este patró monocelular en una proyecció sobre el disc de Poincaré

Artícul principal → Panales uniformes paracompactos.

Hi ha un total de 58 grups de Coxeter hiperbòlics paracompactos de ranc 4 a 10. Els 58 s'agrupen a continuació en cinc categories. Johnson assigna les lletres com els "símbols Witt estesos", utilisant PQRSTWUV dels símbols de Witt afins i agregant LMNOXYZ. A estos grups hiperbòlics se'ls assigna un sobrelineado, o un capell, en els cicloesquemas. La notació de corchetes de Coxeter és una representació linealizada del grup de Coxeter.

Grups paracompactos hiperbòlics
Ranc	Conte total	Grups
4	23	${\hat{B R}}_{3}$ = [(3,3,4,4)]: Plantilla:DCD ${\hat{C R}}_{3}$ = [(3,4³)]: Plantilla:DCD ${\hat{R R}}_{3}$ = [4^[4]]: Plantilla:DCD ${\hat{A V}}_{3}$ = [(3³,6)]: Plantilla:DCD ${\hat{B V}}_{3}$ = [(3,4,3,6)]: Plantilla:DCD ${\hat{H V}}_{3}$ = [(3,5,3,6)]: Plantilla:DCD ${\hat{V V}}_{3}$ = [(3,6)^[2]]: Plantilla:DCD	${\overline{P}}_{3}$ = [3,3^[3]]: Plantilla:DCD ${\overline{B P}}_{3}$ = [4,3^[3]]: Plantilla:DCD ${\overline{H P}}_{3}$ = [5,3^[3]]: Plantilla:DCD ${\overline{V P}}_{3}$ = [6,3^[3]]: Plantilla:DCD ${\overline{D V}}_{3}$ = [6,3^1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{O}}_{3}$ = [3,4^1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{M}}_{3}$ = [4^1,1,1]: Plantilla:DCD	${\overline{R}}_{3}$ = [3,4,4]: Plantilla:DCD ${\overline{N}}_{3}$ = [4³]: Plantilla:DCD ${\overline{V}}_{3}$ = [3,3,6]: Plantilla:DCD ${\overline{B V}}_{3}$ = [4,3,6]: Plantilla:DCD ${\overline{H V}}_{3}$ = [5,3,6]: Plantilla:DCD ${\overline{Y}}_{3}$ = [3,6,3]: Plantilla:DCD ${\overline{Z}}_{3}$ = [6,3,6]: Plantilla:DCD	${\overline{D P}}_{3}$ = [3^[]x[]]: Plantilla:DCD ${\overline{P P}}_{3}$ = [3^[3,3]]: Plantilla:DCD
5	9	${\overline{P}}_{4}$ = [3,3^[4]]: Plantilla:DCD ${\overline{B P}}_{4}$ = [4,3^[4]]: Plantilla:DCD ${\hat{F R}}_{4}$ = [(3²,4,3,4)]: Plantilla:DCD ${\overline{D P}}_{4}$ = [3^[3]x[]]: Plantilla:DCD	${\overline{N}}_{4}$ = [4,3,((4,2,3))]: Plantilla:DCD ${\overline{O}}_{4}$ = [3,4,3^1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{S}}_{4}$ = [4,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{R}}_{4}$ = [(3,4)²]: Plantilla:DCD	${\overline{M}}_{4}$ = [4,3^1,1,1]: Plantilla:DCD
6	12	${\overline{P}}_{5}$ = [3,3^[5]]: Plantilla:DCD ${\hat{A U}}_{5}$ = [(3⁵,4)]: Plantilla:DCD ${\hat{A R}}_{5}$ = [(3,3,4)^[2]]: Plantilla:DCD	${\overline{S}}_{5}$ = [4,3,3^2,1]: Plantilla:DCD ${\overline{O}}_{5}$ = [3,4,3^1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{N}}_{5}$ = [3,(3,4)^1,1]: Plantilla:DCD	${\overline{U}}_{5}$ = [3³,4,3]: Plantilla:DCD ${\overline{X}}_{5}$ = [3,3,4,3,3]: Plantilla:DCD ${\overline{R}}_{5}$ = [3,4,3,3,4]: Plantilla:DCD	${\overline{Q}}_{5}$ = [3^2,1,1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{M}}_{5}$ = [4,3,3^1,1,1]: Plantilla:DCD ${\overline{L}}_{5}$ = [3^1,1,1,1,1]: Plantilla:DCD
7	3	${\overline{P}}_{6}$ = [3,3^[6]]: Plantilla:DCD	${\overline{Q}}_{6}$ = [3^1,1,3,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{S}}_{6}$ = [4,3²,3^2,1]: Plantilla:DCD
8	4	${\overline{P}}_{7}$ = [3,3^[7]]: Plantilla:DCD	${\overline{Q}}_{7}$ = [3^1,1,3²,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{S}}_{7}$ = [4,3³,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{T}}_{7}$ = [3^3,2,2]: Plantilla:DCD
9	4	${\overline{P}}_{8}$ = [3,3^[8]]: Plantilla:DCD	${\overline{Q}}_{8}$ = [3^1,1,3³,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{S}}_{8}$ = [4,3⁴,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{T}}_{8}$ = [3^4,3,1]: Plantilla:DCD
10	3	${\overline{P}}_{9}$ = [3,3^[9]]: Plantilla:DCD	${\overline{Q}}_{9}$ = [3^1,1,3⁴,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{S}}_{9}$ = [4,3⁵,3^2,1]: Plantilla:DCD	${\overline{T}}_{9}$ = [3^6,2,1]: Plantilla:DCD

Relacions dels subgrups dels grups hiperbòlics paracompactos

Estos arbres representen les relacions dels subgrups dels grups hiperbòlics paracompactos. Els índexs dels subgrups en cada conexió figuren en color roig.^[13] Els subgrups d'índex 2 representen una eliminació d'espill i una duplicació del domini fonamental. Uns atres poden inferirse per conmensurabilidad (relació de volums sancers) per als dominis tetraèdrics.

Arbres de subgrups
H³	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 36.png	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 363.png	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 344.png
H⁴	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 3434.png
H⁵	Archiu:Hyperbolic subgroup tree 33343.png

Grups de Coxeter hipercompactos (politopos de Vinberg)

De la mateixa manera que el pla hiperbòlic H² té dominis poligonales no triangulars, també existixen dominis hiperbòlics reflexius de dimensions superiors. Estos dominis no simples poden considerar-se simplíces degenerados en espills no intersecantes d'orde infinit. En un diagrama de Coxeter, tals branques es representen en llínees punteadas o discontínues. Estos dominis no simples es diuen politopos de Vinberg, en referència a Ernest Vinberg, creador del algoritme de Vinberg per a trobar el domini fonamental no simple d'un grup de reflexió hiperbòlica. Geomètricament, estos dominis fonamentals es poden classificar com piràmides, o prismes quadrilàters o uns atres politopos en arestes com l'intersecció de dos espills que tenen un àngul diedro de π/n per a n = 2,3,4 ...

En un domini basat en simplex, hi ha n+1 espills per a l'espai n-dimensional. En dominis no simples, hi ha més de n+1 espills. La llista és finita, pero no completament coneguda. En canvi, les llistes parcials s'han enumerat com a n+k espills per a k com 2,3 i 4.

Els grups de Coxeter hipercompactos en un espai tridimensional o superior diferixen dels grups bidimensionales en un aspecte essencial. Dos n-ágonos hiperbòlics que tenen els mateixos ànguls en el mateix orde cíclico poden tindre diferents llongituts d'aresta i, en general, no són congruents entre sí. En contrast, els politopos de Vinberg en 3 dimensions o més estan completament determinats pels ànguls diédricos. Este fet es basa en el teorema de rigidea de Mostow, que implica que dos grups isomòrfics generats per reflexions en Hⁿ per a n>=3, definixen dominis fonamentals congruents (politopos de Vinberg).

Politopos de Vinberg en ranc n+2 per a un espai n dimensional

F. Esselmann va enumerar la llista completa de politopes hiperbòlics compactes de Vinberg en espills de ranc n+2 per a dimensió n en 1996.^[14] Una llista parcial va ser publicada en 1974 per I. M. Kaplinskaya.^[15]

La llista completa de solucions paracompactas va ser publicada per P. Tumarkin en 2003, en dimensions de 3 a 17.^[16]

La forma paracompacta més chicoteta en H³ es pot representar per mig de Plantilla:DCD, o [∞, 3,3, ∞] que es pot construir per mig de l'eliminació de l'espill del grup hiperbòlic paracompacto [3,4,4] com [3,4,1⁺,4]. El domini fonamental duplicat canvia d'un tetraedre a una piràmide cuadrilátera. Atres piràmides inclouen [4,4,1⁺, 4] = [∞, 4,4, ∞], Plantilla:DCD = Plantilla:DCD. En llevar un espill d'alguns dels gràfics de Coxeter hiperbòlics cíclicos, es convertixen en gràfics de llaç de corbata: [(3,3,4,1⁺, 4)] = [(((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3))] o Plantilla:DCD, [(3,4,4,1⁺, 4)] = [((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] o Plantilla:DCD , [(4,4,4,1⁺, 4)] = [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] o Plantilla:DCD.

Atres gràfics paracompactos vàlits en dominis fonamentals de la piràmide cuadrilátera, inclouen:

Dimensió	Ranc	Grafos
H³	5	Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD

Un atre subgrup [1⁺, 4^1,1,1] = [∞, 4,1⁺, 4, ∞] = [∞ ^[6]]. Plantilla:DCD = Plantilla:DCD = Plantilla:DCD.^[17]

Politopos de Vinberg en ranc n+3 per a un espai n dimensional

Hi ha un número finito de símplex fonamentals degenerados que existixen fins a 8 dimensions. P. Tumarkin va enumerar la llista completa de politopos compactes de Vinberg en espills de ranc n+3 per a n dimensions en 2004. Estos grups estan etiquetats per mig de llínees punteadas/discontínues per a branques ultra paraleles. Mike Roberts ha enumerat la llista completa de politopos de Vinberg no compactes en espills de ranc n+3 i en un vèrtiç no simple per a n-dimensions.^[18]

Per a 4 a 8 dimensions, els grups de Coxeter de ranc 7 a 11 es conten com 44, 16, 3, 1 i 1 respectivament.^[19] El més alt va ser descobert per Bugaenko en 1984 en la dimensió 8 i ranc 11.^[20]

Dimensions	Ranc	Casos	Grafos
H⁴	7	44	...
H⁵	8	16	..
H⁶	9	3	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
H⁷	10	1	Plantilla:DCD
H⁸	11	1	Plantilla:DCD

Politopos de Vinberg en ranc n+4 per a un espai n dimensional

Hi ha un número finito de simplificadores fonamentals degenerados que existixen fins a 8 dimensions. Els politopos compactes de Vinberg en espills de ranc n+4 per a n-dimensions han segut explorats per A. Felikson i P. Tumarkin en 2005.^[21]

Grups lorentzianos

Panales regulars en grups lorentzianos
Archiu:Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png {3,3,7} vist fòra del model de la bola de Poincare	Archiu:Hyperbolic honeycomb 7-3-3 poincare vc.png {7,3,3} vist fòra del model de la bola de Poincare

Archiu:6333 coxeter diagrams.png

Grups lorentzianos de ranc 5 organisats com a subgrups de [6,3,3,3], i [6,3,6,3]. El grup altament simètric Plantilla:DCD, [3^[3,3,3]] és un subgrup d'índex 120 de [6,3,3,3]

Els grups lorentzianos per a dominis simplex poden definir-se com a gràfics més allà de les formes hiperbòliques paracompactas. A voltes es denominen símplices súper ideals i també estan relacionats en la geometria lorentziana, cridada aixina pel treball d'Hendrik Antoon Lorentz sobre l'espai-temps en el camp de la teoria de la relativitat especial i de la relativitat general, que conté un (o més) components dimensionals similars al temps els productes del qual escalares per sí mateixos són negatius.^[9] Danny Calegari els denomina grups de Coxeter cocompactos convexos en l'espai hiperbòlic n-dimensional.^[22]^[23]

Un artícul de 1982 de George Maxwell, "Empacamiento d'Esferes i Grups de Reflexió Hiperbòlica", enumera la llista finita de grups lorentzianos de ranc 5 a 11. Els flama de "nivell 2", lo que significa que l'eliminació de qualsevol permutació de 2 nodos deixa un grafo finito o euclídeo. La seua enumeració està completa, pero no va enumerar els grafos que són un subgrup d'un atre. Tots els grups de Coxeter en branques d'orde superior al ranc 4 són lorentzianos, terminant en el llímit com un Diagrama de Coxeter-Dynkin de grafo complet 3-símplex i en 6 branques d'orde infinit, que es poden expressar com [∞ ^[3,3]]. Els rancs 5-11 tenen un número finito de grups lorentzianos (186, 66, 36, 13, 10, 8 i 4 respectivament).^[24] Un artícul de 2013 de H. Chen i J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd - Maxwell ball packings, recalculó i va publicar la llista completa.^[25]

Per als rancs més alts 8-11, les llistes completes són:

Grups de Coxeter lorentzianos
Ranc	Conte total	Grups
4	∞	[3,3,7] ... [∞,∞,∞]: Plantilla:DCD... Plantilla:DCD [4,3^[3]] ... [∞,∞^[3]]: Plantilla:DCD... Plantilla:DCD [5,4^1,1] ... [∞^1,1,1]: Plantilla:DCD... Plantilla:DCD ... [(5,4,3,3)] ... [∞^[4]]: ... Plantilla:DCD... Plantilla:DCD ... [4^[]×[]] ... [∞^[]×[]]: ... Plantilla:DCD ... [4^[3,3]] ... [∞^[3,3]]
5	186	...[3^[3,3,3]]:Plantilla:DCD...
6	66
7	36	[3^1,1,1,1,1,1]: Plantilla:DCD...
8	13	[3,3,3^[6]]:Plantilla:DCD [3,3^[6],3]:Plantilla:DCD [3,3^[2+4],3]:Plantilla:DCD [3,3^[1+5],3]:Plantilla:DCD [3^[ ]i×[3]]:Plantilla:DCD	[4,3,3,3^3,1]:Plantilla:DCD [3^1,1,3,3^3,1]:Plantilla:DCD [3,(3,3,4)^1,1]:Plantilla:DCD Plantilla:DCD Plantilla:DCD [3^2,1,3,3^2,1]:Plantilla:DCD		[4,3,3,3^2,2]:Plantilla:DCD [3^1,1,3,3^2,2]:Plantilla:DCD
9	10	[3,3^[3+4],3]:Plantilla:DCD [3,3^[9]]:Plantilla:DCD [3,3^[2+5],3]:Plantilla:DCD	[3^2,1,3²,3^2,1]:Plantilla:DCD	[3^3,1,3³,4]:Plantilla:DCD [3^3,1,3,3,3^1,1]:Plantilla:DCD	[3^3,3,2]:Plantilla:DCD [3^2,2,4]:Plantilla:DCD [3^2,2,3³,4]:Plantilla:DCD [3^2,2,3,3,3^1,1]:Plantilla:DCD
10	8	[3,3^[8],3]:Plantilla:DCD [3,3^[3+5],3]:Plantilla:DCD [3,3^[9]]:Plantilla:DCD	[3^2,1,3³,3^2,1]:Plantilla:DCD	[3^5,3,1]:Plantilla:DCD [3^3,1,3⁴,4]:Plantilla:DCD [3^3,1,3³,3^1,1]:Plantilla:DCD	[3^4,4,1]:Plantilla:DCD
11	4		[3^2,1,3⁴,3^2,1]:Plantilla:DCD	[3^2,1,3⁶,4]:Plantilla:DCD [3^2,1,3⁵,3^1,1]:Plantilla:DCD	[3^7,2,1]:Plantilla:DCD

Diagrames de Coxeter molt estesos

La definició del diagrama de Dynkin considera els grups afins com estesos, els grups hiperbòlics com sobre estesos, i en un tercer nodo, els grups simples, com molt estesos. Estes extensions generalment estan marcades per un exponent d'1, 2 o 3 símbols + segons el número de nodos estesos. Esta série d'extensió es pot ampliar cap a arrere, eliminant secuencialment els nodos de la mateixa posició en el gràfic, encara que el procés es deté despuix d'eliminar un nodo de ramificació. La família estesa I₈ és l'eixemple més comunament mostrat, que s'estén cap a arrere fins a I₃, i cap a avant fins a I₁₁.

El procés d'extensió pot definir una série llimitada de gràfics de Coxeter que progressen de finitos a afins, i d'hiperbòlics a lorentzianos. El determinant de les matrius de Cartan determina on canvia la série de finito (positiu) a afí (zero) i a hiperbòlic (negatiu); i termina com un grup lorentziano, que conté a lo manco un subgrup hiperbòlic.^[26] Els grups H_n no cristalográficos formen una série estesa a on H₄ s'estén com un compacte hiperbòlic i se sobre estén en un grup lorentziano.

Els determinants de la matriu de Schläfli per ranc són:^[27]

det (A₁ⁿ = [2^n-1]) = 2ⁿ (finito para tots els n)
det (A_n = [3^n-1]) = n + 1 (finito para tots els n)
det (B_n = [4,3^n-2]) = 2 (finito para tots els n)
det (D_n = [3^n-3,1,1]) = 4 (finito para tots els n)

Els determinants de la matriu de Schläfli en séries excepcionals són:

det (I_n = [3^n-3,2,1]) = 9-n (finito para I₃ (= A₂A₁), I₄ (= A₄),I₅ (= D₅), I₆, I₇ i I₈, afins en I₉ ( ${\tilde{E}}_{8}$ ), hiperbòlics en I₁₀)

det ([3^n-4,3,1]) = 2 (8-n) (finito per a n = 4 a 7, afí ( ${\tilde{E}}_{7}$ ) i hiperbòlic en n = 8)
det ([3^n-4,2,2]) = 3 (7-n) (finito per a n = 4 a 6, afí ( ${\tilde{E}}_{6}$ ) i hiperbòlic en n = 7)
det (F_n = [3,4,3^n-3]) = 5-n (finito per a F₃ (= B₃) a F₄, afinado en F₅ ( ${\tilde{F}}_{4}$ ), hiperbòlic en F₆)
det (G_n = [6,3^n-2]) = 3-n (finito para G₂, afí en G₃ ( ${\tilde{G}}_{2}$ ), hiperbòlic en G₄)

Séries d'extensió baixa
Finito	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$H_{4}$
Ranc n	[3^[3],3^n-3]	[4,4,3^n-3]	G_n=[6,3^n-2]	[3^[4],3^n-4]	[4,3^1,n-3]	[4,3,4,3^n-4]	H_n=[5,3^n-2]
2	[3] A₂ Plantilla:DCD	[4] C₂ Plantilla:DCD	[6] G₂ Plantilla:DCD		[2] A₁² Plantilla:DCD	[4] C₂ Plantilla:DCD	[5] H₂ Plantilla:DCD
3	[3^[3]] A₂⁺= ${\tilde{A}}_{2}$ Plantilla:DCD	[4,4] C₂⁺= ${\tilde{C}}_{2}$ Plantilla:DCD	[6,3] G₂⁺= ${\tilde{G}}_{2}$ Plantilla:DCD	[3,3]=A₃ Plantilla:DCD	[4,3] B₃ Plantilla:DCD	[4,3] C₃ Plantilla:DCD	[5,3] H₃ Plantilla:DCD
4	[3^[3],3] A₂⁺⁺= ${\overline{P}}_{3}$ Plantilla:DCD	[4,4,3] C₂⁺⁺= ${\overline{R}}_{3}$ Plantilla:DCD	[6,3,3] G₂⁺⁺= ${\overline{V}}_{3}$ Plantilla:DCD	[3^[4]] A₃⁺= ${\tilde{A}}_{3}$ Plantilla:DCD	[4,3^1,1] B₃⁺= ${\tilde{B}}_{3}$ Plantilla:DCD	[4,3,4] C₃⁺= ${\tilde{C}}_{3}$ Plantilla:DCD	[5,3,3] H₄ Plantilla:DCD
5	[3^[3],3,3] A₂⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,4,3,3] C₂⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[6,3,3,3] G₂⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^[4],3] A₃⁺⁺= ${\overline{P}}_{4}$ Plantilla:DCD	[4,3^2,1] B₃⁺⁺= ${\overline{S}}_{4}$ Plantilla:DCD	[4,3,4,3] C₃⁺⁺= ${\overline{R}}_{4}$ Plantilla:DCD	[5,3³] H₅= ${\overline{H}}_{4}$ Plantilla:DCD
6				[3^[4],3,3] A₃⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3^3,1] B₃⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3,4,3,3] C₃⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[5,3⁴] H₆ Plantilla:DCD
Det(M_n)	3(3-n)	2(3-n)	3-n	4(4-n)	2(4-n)

Séries d'extensió mija
Finito	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$
Ranc n	[3^[5],3^n-5]	[4,3,3^n-4,1]	[4,3,3,4,3^n-5]	[3^n-4,1,1,1]	[3,4,3^n-3]	[3^[6],3^n-6]	[4,3,3,3^n-5,1]	[3^1,1,3,3^n-5,1]
3		[4,3^−1,1] B₂A₁ Plantilla:DCD	[4,3] B₃ Plantilla:DCD	[3^−1,1,1,1] A₁³ Plantilla:DCD	[3,4] B₃ Plantilla:DCD		[4,3,3] C₃ Plantilla:DCD
4	[3³] A₄ Plantilla:DCD	[4,3,3] B₄ Plantilla:DCD	[4,3,3] C₄ Plantilla:DCD	[3^0,1,1,1] D₄ Plantilla:DCD	[3,4,3] F₄ Plantilla:DCD		[4,3,3,3^−1,1] B₃A₁ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3^−1,1] A₃A₁ Plantilla:DCD
5	[3^[5]] A₄⁺= ${\tilde{A}}_{4}$ Plantilla:DCD	[4,3,3^1,1] B₄⁺= ${\tilde{B}}_{4}$ Plantilla:DCD	[4,3,3,4] C₄⁺= ${\tilde{C}}_{4}$ Plantilla:DCD	[3^1,1,1,1] D₄⁺= ${\tilde{D}}_{4}$ Plantilla:DCD	[3,4,3,3] F₄⁺= ${\tilde{F}}_{4}$ Plantilla:DCD	[3⁴] A₅ Plantilla:DCD	[4,3,3,3,3] B₅ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3] D₅ Plantilla:DCD
6	[3^[5],3] A₄⁺⁺= ${\overline{P}}_{5}$ Plantilla:DCD	[4,3,3^2,1] B₄⁺⁺= ${\overline{S}}_{5}$ Plantilla:DCD	[4,3,3,4,3] C₄⁺⁺= ${\overline{R}}_{5}$ Plantilla:DCD	[3^2,1,1,1] D₄⁺⁺= ${\overline{Q}}_{5}$ Plantilla:DCD	[3,4,3³] F₄⁺⁺= ${\overline{U}}_{5}$ Plantilla:DCD	[3^[6]] A₅⁺= ${\tilde{A}}_{5}$ Plantilla:DCD	[4,3,3,3^1,1] B₅⁺= ${\tilde{B}}_{5}$ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3^1,1] D₅⁺= ${\tilde{D}}_{5}$ Plantilla:DCD
7	[3^[5],3,3] A₄⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3,3^3,1] B₄⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3,3,4,3,3] C₄⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^3,1,1,1] D₄⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3,4,3⁴] F₄⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^[6],3] A₅⁺⁺= ${\overline{P}}_{6}$ Plantilla:DCD	[4,3,3,3^2,1] B₅⁺⁺= ${\overline{S}}_{6}$ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3^2,1] D₅⁺⁺= ${\overline{Q}}_{6}$ Plantilla:DCD
8						[3^[6],3,3] A₅⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3,3,3^3,1] B₅⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3^3,1] D₅⁺⁺⁺ Plantilla:DCD
Det(M_n)	5(5-n)	2(5-n)		4(5-n)	5-n	6(6-n)	4(6-n)

Algunes séries d'extensió alta
Finito	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$	$A_{7}$	$B_{7}$	$D_{7}$	$E_{7}$	$E_{8}$
Ranc n	[3^[7],3^n-7]	[4,3³,3^n-6,1]	[3^1,1,3,3,3^n-6,1]	[3^n-5,2,2]	[3^[8],3^n-8]	[4,3⁴,3^n-7,1]	[3^1,1,3,3,3,3^n-7,1]	[3^n-5,3,1]	I_n=[3^n-4,2,1]
3									[3^−1,2,1] I₃=A₂A₁ Plantilla:DCD
4				[3^−1,2,2] A₂² Plantilla:DCD				[3^−1,3,1] A₃A₁ Plantilla:DCD	[3^0,2,1] I₄=A₄ Plantilla:DCD
5		[4,3,3,3,3^−1,1] B₄A₁ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3^−1,1] D₄A₁ Plantilla:DCD	[3^0,2,2] A₅ Plantilla:DCD				[3^0,3,1] A₅ Plantilla:DCD	[3^1,2,1] I₅=D₅ Plantilla:DCD
6	[3⁵] A₆ Plantilla:DCD	[4,3⁴] B₆ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3] D₆ Plantilla:DCD	[3^1,2,2] I₆ Plantilla:DCD		[4,3,3,3,3,3^−1,1] B₅A₁ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3,3^−1,1] D₅A₁ Plantilla:DCD	[3^1,3,1] D₆ Plantilla:DCD	[3^2,2,1] I₆ * Plantilla:DCD
7	[3^[7]] A₆⁺= ${\tilde{A}}_{6}$ Plantilla:DCD	[4,3³,3^1,1] B₆⁺= ${\tilde{B}}_{6}$ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3^1,1] D₆⁺= ${\tilde{D}}_{6}$ Plantilla:DCD	[3^2,2,2] I₆⁺= ${\tilde{E}}_{6}$ Plantilla:DCD	[3⁶] A₇ Plantilla:DCD	[4,3⁵] B₇ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3,3^0,1] D₇ Plantilla:DCD	[3^2,3,1] I₇ * Plantilla:DCD	[3^3,2,1] I₇ * Plantilla:DCD
8	[3^[7],3] A₆⁺⁺= ${\overline{P}}_{7}$ Plantilla:DCD	[4,3³,3^2,1] B₆⁺⁺= ${\overline{S}}_{7}$ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3^2,1] D₆⁺⁺= ${\overline{Q}}_{7}$ Plantilla:DCD	[3^3,2,2] I₆⁺⁺= ${\overline{T}}_{7}$ Plantilla:DCD	[3^[8]] A₇⁺= ${\tilde{A}}_{7}$ * Plantilla:DCD	[4,3⁴,3^1,1] B₇⁺= ${\tilde{B}}_{7}$ * Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3,3^1,1] D₇⁺= ${\tilde{D}}_{7}$ * Plantilla:DCD	[3^3,3,1] I₇⁺= ${\tilde{E}}_{7}$ * Plantilla:DCD	[3^4,2,1] I₈ * Plantilla:DCD
9	[3^[7],3,3] A₆⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[4,3³,3^3,1] B₆⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3^3,1] D₆⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^4,2,2] I₆⁺⁺⁺ Plantilla:DCD	[3^[8],3] A₇⁺⁺= ${\overline{P}}_{8}$ * Plantilla:DCD	[4,3⁴,3^2,1] B₇⁺⁺= ${\overline{S}}_{8}$ * Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3,3^2,1] D₇⁺⁺= ${\overline{Q}}_{8}$ * Plantilla:DCD	[3^4,3,1] I₇⁺⁺= ${\overline{T}}_{8}$ * Plantilla:DCD	[3^5,2,1] I₉=I₈⁺= ${\tilde{E}}_{8}$ * Plantilla:DCD
10					[3^[8],3,3] A₇⁺⁺⁺ * Plantilla:DCD	[4,3⁴,3^3,1] B₇⁺⁺⁺ * Plantilla:DCD	[3^1,1,3,3,3,3^3,1] D₇⁺⁺⁺ * Plantilla:DCD	[3^5,3,1] I₇⁺⁺⁺ * Plantilla:DCD	[3^6,2,1] I₁₀=I₈⁺⁺= ${\overline{T}}_{9}$ * Plantilla:DCD
11									[3^7,2,1] I₁₁=I₈⁺⁺⁺ * Plantilla:DCD
Det(M_n)	7(7-n)	2(7-n)	4(7-n)	3(7-n)	8(8-n)	2(8-n)	4(8-n)	2(8-n)	9-n

Plegat geomètric

Plegats finitos i afins^[28]
φ_A : A_Γ --> A_Γ' per a tipos finitos
Γ	Γ'	Descripció del plegat	Diagrames de Coxeter-Dynkin
I₂(h)	Γ(h)	Plegat diedral	Archiu:Geometric folding Coxeter graphs.png
B_n	A_2n	(I,s_n)
B_n	D_n+1, A_2n-1	(A₃,+/-ε)
F₄	I₆	(A₃,±ε)
H₄	I₈	(A₄,±ε)
H₃	D₆
H₂	A₄
G₂	A₅	(A₅,±ε)
G₂	D₄	(D₄,±ε)
φ: A_Γ⁺ --> A_Γ'⁺ per a tipos afins
${\tilde{A}}_{n - 1}$	${\tilde{A}}_{k n - 1}$	Locally trivial	Archiu:Geometric folding Coxeter graphs affine.png
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{2 n + 1}$	(I,s_n)
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n + 1}$ , ${\tilde{D}}_{2 n}$	(A₃,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{B}}_{n + 1}$ , ${\tilde{C}}_{2 n}$	(A₃,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{C}}_{2 n + 1}$	(I,s_n)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{A}}_{2 n + 1}$	(I,s_n) & (I,s₀)
	${\tilde{A}}_{2 n}$	(A₃,ε) & (I,s₀)
	${\tilde{A}}_{2 n - 1}$	(A₃,ε) & (A₃,ε')
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n + 2}$	(A₃,-ε) & (A₃,-ε')
${\tilde{C}}_{2}$	${\tilde{D}}_{5}$	(I,s₁)
${\tilde{F}}_{4}$	${\tilde{E}}_{6}$ , ${\tilde{E}}_{7}$	(A₃,±ε)
${\tilde{G}}_{2}$	${\tilde{D}}_{6}$ , ${\tilde{E}}_{7}$	(A₅,±ε)
	${\tilde{B}}_{3}$ , ${\tilde{F}}_{4}$	(B₃,±ε)
	${\tilde{D}}_{4}$ , ${\tilde{E}}_{6}$	(D₄,±ε)

Un diagrama de Coxeter-Dynkin (simple) (finito, afí o hiperbòlic) que té una simetria (que satisfà una condició, segons es detalla a continuació) pot ser cimentat per la simetria, produint un nou diagrama generalment de múltiples rectes, per mig del procés cridat "plegat".^[29]^[30]

Per eixemple, en D₄ plegat a G₂, la vora en G₂ apunta des de la classe dels 3 nodos externs (valència 1) a la classe del nodo central (valència 3). I I₈ es plega en 2 còpies d'H₄, la segona còpia escalada per τ.^[31]

Geomètricament, açò correspon a la proyecció de politopos uniformes i teselaciones. cal destacar que qualsevol diagrama finito de Coxeter-Dynkin en un simple enllaç es pot plegar a I₂(h), a on h és el número de Coxeter, que correspon geomètricament a una proyecció al pla de Coxeter.

Archiu:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png Alguns plegats hiperbòlics

Reflexions complexes

Els diagrames de Coxeter-Dynkin s'han estés al espai complex, Cⁿ a on els nodos són reflexions unitàries de periodo major que 2. Els nodos estan etiquetats en un índex, que se supon que és 2 per a la reflexió real ordinària si s'omet. Coxeter denota el grup complex, p[q]r, com el diagrama Plantilla:DCD.^[32]

Un politopo complex regular unidimensional en $ℂ^{1}$ es representa com Plantilla:DCD, en p vèrtiços. La seua representació real és un polígon regular, {p}. La seua simetria és _p[] o Plantilla:DCD, orde p. Un operador unitari generador per a Plantilla:DCD és vist com una rotació en $ℝ^{2}$ per 2π/p radianes sentit del rellonge, i una vora Plantilla:DCD és creat per aplicacions seqüencials d'una sola reflexió unitària. Un generador de reflexió unitària per a un politopo 1 en p vèrtiços és $i 2π i / p = cos(2π/ p) + i sense(2π/ p)$ . Quan p = 2, el generador és i^πi = –1, lo mateix que una simetria central en el pla real.

En un politopo superior, _p {} o Plantilla:DCD representa un element de p arestes, en una aresta de 2, {} o Plantilla:DCD, que representa un costat real ordinari entre dos vèrtiços.

1-Politopos complexos regulars
Archiu:Complex 1-topes as k-edges es.png Politopos complexos 1, Plantilla:DCD, representats en el Pla complex com a polígons regulars per a p = 2, 3, 4, 5 i 6, en vèrtiços negres. El centroide dels vèrtiços p es mostra en roig. Els costats dels polígons representen una aplicació del generador de simetria, assignant cada vèrtiç a la següent còpia en sentit antihorario. Estos costats poligonales no són elements de vora del politopo, ya que un politopo complex 1 no pot tindre vores (a sovint és una vora complexa) i solament conté elements de vèrtiç.

Archiu:Rank2 shephard subgroups es.png Els 12 grups de Shephard irreducibles en els índexs dels seus subgrups relacionats.^[33] L'índex 2 de subgrups es relaciona eliminant una reflexió real: _p[2q]₂ --> _p[q]_p, índex 2. _p[4]_q --> _p[q]_p, índex q.	Archiu:Rank2 shephard subgroups2 series es.png Subgrups _p[4]₂: p=2,3,4... _p[4]₂ --> [p], índex p _p[4]₂ --> _p[]×_p[], índex 2

Els polígons complexos regulars en $ℂ^{2}$ , tenen la forma _p {q} _r, equivalent al diagrama de Coxeter Plantilla:DCD. El grup de simetria d'un polígon complex regular Plantilla:DCD no es denomina grup de Coxeter, sino grup de Shephard, un tipo de grup de reflexió complex. L'orde de _p[q]_r és $8 / q \cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r - 1)^{- 2}$ .^[34]

Els grups de Shephard de ranc 2 són: ₂[q]₂, _p[4]₂, ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃[10]₂, ₅[6]₂, i ₅[4]₃; o Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, Plantilla:DCD, d'órdens 2q, 2p², 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 i 1800 respectivament.

El grup de simetria _p₁ [q] _p₂ està representat per 2 generadors R₁ i R₂, a on: R₁^p₁ = R₂^p₂ = I. Si q és parell, (R₂R₁) ^q/2 =(R₁R₂) ^q/2. Si q és impar, (R₂R₁) ^(q-1)/2R₂ = (R₁R₂) ^(q-1)/2R₁. Quan q és impar, p₁ = p₂.

El grup $ℂ^{3}$ Plantilla:DCD o [1 1 1] ^p es definix per 3 reflexions unitàries del periodo 2 {R₁, R₂, R₃}: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂) ³ = (R₂R₃) ³ = (R₃R₁) ³ = (R₁R₂R₃R₁) ^p = 1. El periodo p pot vore's com un indicador de rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional en $ℝ^{4}$ real.

Un grup $ℂ^{3}$ similar Plantilla:DCD o [1 1 1] ^(p) es definix per 3 reflexions unitàries del periodo 2 {R₁, R₂, R₃}: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂) ³ = (R₂R₃) ³ = (R₃R₁) ³ = (R₁R₂R₃R₂) ^p = 1.

Vore també

Referències

↑ (2003).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.
↑ Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, Sec 7.7. page 133, Schläfli's Criterion
↑ Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71
↑ Allcock, Daniel. “Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19”. Geometry & Topology 10 (2): 737–758. doi:10.2140/gt.2006.10.737.
↑ The Geometry and Topology of Coxeter Groups, Michael W. Davis, 2008 p. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams
↑ “TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups” . Journal of the Mathematical Society of Japan 29 (1): 91–106. Projecteuclid.org. doi:10.2969/jmsj/02910091. Recuperate le 5 de juliol de 2013.
↑ Folke Lannér, On complexes with transitive groups of automorphisms, Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 11 (1950) [1]
↑
Regular Honeycombs in hyperbolic space
- Archivat el 10 de juny de 2016 archivat en Wayback Machine., Coxeter, 1954
↑ ^9,0 ^9,1 Norman Johnson, Geometries and Transformations (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices
↑ J. L. Koszul, Lectures on hyperbolic Coxeter groups, University of Notre Dona'm (1967)
↑ M. Chein, Recherche dones graphes dones matrius de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16 (French). [2]
↑ Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras, Figure 5.1, p.13
↑ “Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups” (2002). Linear Algebra and Its Applications 345 (1–3): 119–147. doi:10.1016/S0024-3795(01)00477-3.
↑ F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets. Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229–242. [3]
↑ I. M. Kaplinskaya, Discrete groups generated by reflections in the faç of simplicial prisms in Lobachevskian spaces. Math. Notes,15 (1974), 88–91. [4]
↑ P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)
↑ Norman W. Johnson and Àsia Ivic Weiss, Quadratic Integers and Coxeter Groups, Ca. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 [5] [6] archivat en Wayback Machine.
↑ [7] A Classification of Senar-Compact Coxeter Polytopes with n+3 Facets and One Senar-Simple Vertex
↑ P. Tumarkin, Compact hyperbolic Coxeter (2004)
↑ V. O. Bugaenko, Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12 i. Moscow Univ. Math. Bull. 39 (1984), 6-14.
↑ Anna Felikson, Pavel Tumarkin, On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets, 2005 [8]
↑ Random groups, diamonds and glass, Danny Calegari of the University of Chicago, June 25, 2014 at the Bill Thurston Legacy Conference
↑ Coxeter groups and random groups, Danny Calegari, last revised 4 Apr 2015
↑ “Sphere packings and hyperbolic reflection groups” (1982). Journal of Algebra 79: 78–97. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0.
↑ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, https://arxiv.org/abs/1310.8608
↑ Kac-Moody Algebras in M-theory
↑ Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982
↑ John Crisp, 'funcions inyectivas entre grups de Artin, en Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Austràlia, 1996), Postscript [9] archivat en Wayback Machine., pp 13-14, and googlebook, Geometric group theory down under, p 131
↑ Zuber, Jean-Bernard (1998). “Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding”. Topological Field Theory: 28–30. Bibcode: 1998tftp.conf..453Z.
↑ “Affine extensions of senar-crystallographic Coxeter groups induced by projection” (2013). Journal of Mathematical Physics 54 (9): 093508. doi:10.1063/1.4820441. Bibcode: 2013JMP....54i3508D.
↑ The E8 Geometry from a Clifford Perspective Advances in Applied Clifford Algebras, March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421 Pierre-Philippe Dechant
↑ Coxeter, Complex Regular Polytopes, second edition, (1991)
↑ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III
↑ Unitary Reflection Groups, p.87

Llectures adicionals

James E. Humphreys, "Grups de reflexió i grups Coxeter", estudis de Cambridge en matemàtiques alvançades, 29 (1990)

'Caleidoscopios: Escrits seleccionats de H.S.M. Coxeter ', editat per F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 .html, Googlebooks [10]
- (Document 17) Coxeter, "L'evolució dels diagrames Coxeter-Dynkin", [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
Coxeter, La bellea de la geometria: dotze ensajos , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítul 3: Construcció de Wythoff per a politopos uniformes)
Coxeter, Polytopes regulars (1963), Macmillan Company
- Regular Polytopes, Tercera edició, (1973), edició de Dover, ISBN 0-486-61480-8 (Capítul 5: El caleidoscopio, i Secció 11.3 Representació per gràfics)
H.S.M. Coxeter i W. O. J. Moser. Generadors i relacions per a grups discrets 4a ed, Springer-Verlag. Nova York. 1980
Norman Johnson, Geometria i transformacions , capítuls 11,12,13, preimpresión 2011
N. W. Johnson, R. Kellerhals, JG Ratcliffe, ST Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex , Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 10.1007% 2FBF01238563 [11]
Norman W. Johnson i Àsia Ivic Weiss Sancers Quadràtics i Grups Coxeter
Archivat el 26 de març de 2023 archivat en Wayback Machine. PDF Ca. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Diagrama de Coxeter-Dynkin» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2003).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.

[2] Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, Sec 7.7. page 133, Schläfli's Criterion

[3] Lannér F., On complexes with transitive groups of automorphisms, Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71

[4] Allcock, Daniel. “Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19”. Geometry & Topology 10 (2): 737–758. doi:10.2140/gt.2006.10.737.

[5] The Geometry and Topology of Coxeter Groups, Michael W. Davis, 2008 p. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams

[6] “TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups” . Journal of the Mathematical Society of Japan 29 (1): 91–106. Projecteuclid.org. doi:10.2969/jmsj/02910091. Recuperate le 5 de juliol de 2013.

[7] Folke Lannér, On complexes with transitive groups of automorphisms, Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 11 (1950) [1]

[8] Regular Honeycombs in hyperbolic space
Archivat el 10 de juny de 2016 archivat en Wayback Machine., Coxeter, 1954

[9] Archivat el 10 de juny de 2016 archivat en Wayback Machine., Coxeter, 1954

[johnson2018-9] 9,0 ^9,1 Norman Johnson, Geometries and Transformations (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices

[10] J. L. Koszul, Lectures on hyperbolic Coxeter groups, University of Notre Dona'm (1967)

[11] M. Chein, Recherche dones graphes dones matrius de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10, Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16 (French). [2]

[12] Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras, Figure 5.1, p.13

[13] “Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups” (2002). Linear Algebra and Its Applications 345 (1–3): 119–147. doi:10.1016/S0024-3795(01)00477-3.

[14] F. Esselmann, The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets. Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229–242. [3]

[15] I. M. Kaplinskaya, Discrete groups generated by reflections in the faç of simplicial prisms in Lobachevskian spaces. Math. Notes,15 (1974), 88–91. [4]

[16] P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)

[17] Norman W. Johnson and Àsia Ivic Weiss, Quadratic Integers and Coxeter Groups, Ca. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336 [5] [6] archivat en Wayback Machine.

[18] [7] A Classification of Senar-Compact Coxeter Polytopes with n+3 Facets and One Senar-Simple Vertex

[19] P. Tumarkin, Compact hyperbolic Coxeter (2004)

[20] V. O. Bugaenko, Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12 i. Moscow Univ. Math. Bull. 39 (1984), 6-14.

[21] Anna Felikson, Pavel Tumarkin, On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets, 2005 [8]

[22] Random groups, diamonds and glass, Danny Calegari of the University of Chicago, June 25, 2014 at the Bill Thurston Legacy Conference

[23] Coxeter groups and random groups, Danny Calegari, last revised 4 Apr 2015

[24] “Sphere packings and hyperbolic reflection groups” (1982). Journal of Algebra 79: 78–97. doi:10.1016/0021-8693(82)90318-0.

[25] Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, https://arxiv.org/abs/1310.8608

[26] Kac-Moody Algebras in M-theory

[27] Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982

[28] John Crisp, 'funcions inyectivas entre grups de Artin, en Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Austràlia, 1996), Postscript [9] archivat en Wayback Machine., pp 13-14, and googlebook, Geometric group theory down under, p 131

[29] Zuber, Jean-Bernard (1998). “Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding”. Topological Field Theory: 28–30. Bibcode: 1998tftp.conf..453Z.

[30] “Affine extensions of senar-crystallographic Coxeter groups induced by projection” (2013). Journal of Mathematical Physics 54 (9): 093508. doi:10.1063/1.4820441. Bibcode: 2013JMP....54i3508D.

[31] The E8 Geometry from a Clifford Perspective Advances in Applied Clifford Algebras, March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421 Pierre-Philippe Dechant

[32] Coxeter, Complex Regular Polytopes, second edition, (1991)

[33] Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III

[34] Unitary Reflection Groups, p.87

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

Descripció

Matriu de Schläfli

Grups de Coxeter de ranc 2

Visualisacions geomètriques

Grups de Coxeter finitos

Aplicació en politopos uniformes

Eixemple de poliedres i teselados

Grups afins de Coxeter

Grups hiperbòlics de Coxeter

Grups hiperbòlics en H2

Grup triangular aritmètic

Polígons de Coxeter hiperbòlics sobre triànguls

Compactes (grups de símplex de Lannér)

Rancs 4–5

Paracompacto (grups de símplex de Koszul)

Símplices ideals

Rancs 4–10

Relacions dels subgrups dels grups hiperbòlics paracompactos

Grups de Coxeter hipercompactos (politopos de Vinberg)

Politopos de Vinberg en ranc n+2 per a un espai n dimensional

Politopos de Vinberg en ranc n+3 per a un espai n dimensional

Politopos de Vinberg en ranc n+4 per a un espai n dimensional

Grups lorentzianos

Diagrames de Coxeter molt estesos

Plegat geomètric

Reflexions complexes

Vore també

Referències

Llectures adicionals

Referències

Grups hiperbòlics en H²