Grup triangular

Archiu:Spherical triangle 3d.png Triàngul esfèric

Archiu:Triangolo iperbolico.svg Triàngul hiperbòlic

En matemàtiques, un grup triangular és un tipo de grup que es pot caracterisar geomètricament per mig de seqüències de reflexions respecte als costats d'un triàngul. El triàngul pot ser un triàngul euclídeo ordinari, un triàngul esfèric o un triàngul hiperbòlic. Cada grup de triànguls és el grup de simetria d'un teselado de l'espai bidimensional, d'una esfera, o del pla hiperbòlic per congruència dels cridats triànguls de Möbius, cada u un domini fonamental per a l'operació.

Definició

Siguen l, m, i n número entero majors o iguals a 2. Un grup triangular Δ(l, m, n) és un grup dels moviments del pla euclídeo, l'esfera bidimensional, el pla proyectivo real o el pla hiperbòlic, generats per les reflexions respecte als costats d'un triàngul en ànguls π /l, π /m i π /n (medits en radianes). El producte de les reflexions en dos costats adjacents és una rotació segons un àngul que és el doble de l'àngul entre eixos dos costats, 2π/l, 2π/m i 2π /n. Per lo tant, si les reflexions generadores estan etiquetades com a, b, c i els ànguls entre ells en l'orde cíclico són els indicats anteriorment, llavors es mantenen les següents relacions:

1. $a^2=b^2=c^2=1$
2. $(ab{)}^l=(bc{)}^n=(ca{)}^m=1.$

És una teorema que totes les demés relacions entre a, b, c són conseqüències d'estes relacions i que Δ (l, m, n) és un grup discret de moviments de l'espai corresponent. Per lo tant, un grup de triànguls és un grup de reflexió que admet una presentació de grup

$\Delta (l,m,n)=⟨a,b,c\mid a^2=b^2=c^2=(ab{)}^l=(bc{)}^n=(ca{)}^m=1⟩.$

Un grup abstracte en esta presentació és un grup de Coxeter en tres generadors.

Classificació

Donat qualsevol número natural l, m, n > 1, exactament una de les geometria bidimensionales clàssiques (euclidiana, esfèrica o hiperbòlica) admet una triàngul en els ànguls (π/l, π/m, π/n), i l'espai està emmanisat per reflexos del triàngul. La suma dels ànguls del triàngul determina el tipo de geometria del teorema de Gauss-Bonnet: és euclidiana si la suma dels ànguls és exactament π, esfèrica si excedix de π; i hiperbòlica si és estrictament menor que π. Ademés, qualsevol dels dos triànguls en els ànguls donats són congruents. Cada grup de triànguls determina un mosaic, que es colorea convencionalment en dos colors, de modo que qualsevol dels dos mosaics adjacents tinga colors oposts.

Sobre els números l, m, n > 1, existixen les següents possibilitats.

El cas euclídeo

$\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1.$

El grup triangular és el grup de simetria infinit d'una determinada teselación (o mosaic) del pla euclídeo per mig de triànguls els ànguls dels quals sumen π (o 180°). Sense considerar permutació, el triplet (l, m, n) és un dels triplets (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Els grups de triànguls corresponents són elements dels grups del paper pintat.

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)
Archiu:Tiling Dual Semiregular caps block 0 Bisected Hexagonal.svg	Archiu:1-uniform 2 dual.svg	Archiu:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg
Teselado hexagonal bisecado	Teselado tetraquis quadrat	Teselado triangular
Diagrames més detallats, etiquetant els vèrtiços i mostrant cóm funciona la reflexió:
Archiu:Wallpaper group diagram p6m.svg	Archiu:Wallpaper group diagram p4m square.svg	Archiu:Wallpaper group diagram p3m1.svg

El cas esfèric

$\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}>1.$

El grup de triànguls és el grup de simetria finita d'un teselado d'una esfera unitària per mig de triànguls esfèrics, o triànguls de Möbius, els ànguls dels quals sumen un número major que π. Sense considerar permutació, el triplet (l, m, n) té la forma (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5 ), o (2,2, n), n > 1. Els grups de triànguls esfèrics es poden identificar en els grups de simetria dels poliedres regulars en l'espai euclidiano tridimensional: Δ(2,3,3) correspon a un tetraedre; Δ (2,3,4) tant a un gaveta com a un octaedre (que tenen el mateix grup de simetria); (2,3,5) tant a un dodecaedre com a un icosaedre. Els grups Δ(2,2,n), n > 1 del grup diedral es poden interpretar com els grups de simetria de la família de diedros, que són els sòlits degenerados formats per dos n-ágonos regulars idèntics units entre sí, o els seus hosoedros duals, que es formen en unir n digonos junt a dos vèrtiços.

El teselado esfèric corresponent a un poliedre regular s'obté formant la subdivisió baricéntrica del poliedre i proyectant els punts i llínees resultants sobre l'esfera circumscrita. En el cas del tetraedre, hi ha quatre cares, i cada cara és un triàngul equilátero que es subdivide en 6 trossos més menuts per les mijanes que es intersecan en el centre. La teselación resultant té 4 × 6 = 24 triànguls esfèrics (és el tetraquishexaedro esfèric).

Estos grups són finitos, lo que correspon a la compacidad de l'esfera: les àrees dels discs en l'esfera creixen inicialment en térmens de radi, pero finalment cobrixen tota l'esfera.

Els teselados triangulars es representen a continuació:

(2,2,2)	(2,2,3)	(2,2,4)	(2,2,5)	(2,2,6)	(2,2,n)
Archiu:Spherical square bipyramid2.svg	Archiu:Spherical hexagonal bipyramid2.svg	Archiu:Spherical octagonal bipyramid2.svg	Archiu:Spherical decagonal bipyramid2.svg	Archiu:Spherical dodecagonal bipyramid2.svg
(2,3,3)		(2,3,4)		(2,3,5)
Archiu:Tetrahedral reflection domains.png		Archiu:Octahedral reflection domains.png		Archiu:Icosahedral reflection domains.png

Les teselas esfèriques corresponents a l'octaedre i a l'icosaedre i als teselados esfèrics diédricos en n parell presenten simetria central. Per lo tant, cada u d'ells determina un mosaic del pla proyectivo real, un teselado elíptic. El seu grup de simetria és el cocient del grup de triànguls esfèrics respecte a la simetria central (-I), que és un element central d'orde 2. Ya que el pla proyectivo és un model de geometria elíptica, estos grups es denominen grups triangulars elíptics.

El cas hiperbòlic

$\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1.$

El grup de triànguls és el grup de simetria infinita d'un teselado del pla hiperbòlic per triànguls hiperbòlics els ànguls dels quals sumen un número menor que π. Tots els triplets que no figuren en la llista representen teselados del pla hiperbòlic. Per eixemple, el triple (2,3,7) produïx el grup triangular (2,3,7). Hi ha infinits grups d'este tipo. Els teselados associats en alguns valors menuts són:

Pla hiperbòlic

Disc de Poincaré de triànguls del domini fonamental

Eixemple en triànguls rectànguls (2 p q)
Archiu:H2checkers 237.png (2 3 7)	Archiu:H2checkers 238.png (2 3 8)	Archiu:Hyperbolic domains 932 black.png (2 3 9)	Archiu:H2checkers 23i.png (2 3 ∞)
Archiu:H2checkers 245.png (2 4 5)	Archiu:H2checkers 246.png (2 4 6)	Archiu:H2checkers 247.png (2 4 7)	Archiu:H2checkers 248.png (2 4 8)	Archiu:H2checkers 24i.png (2 4 ∞)
Archiu:H2checkers 255.png (2 5 5)	Archiu:H2checkers 256.png (2 5 6)	Archiu:H2checkers 257.png (2 5 7)	Archiu:H2checkers 266.png (2 6 6)	Archiu:H2checkers 2ii.png (2 ∞ ∞)
Eixemple en triànguls generals (p q r)
Archiu:H2checkers 334.png (3 3 4)	Archiu:H2checkers 335.png (3 3 5)	Archiu:H2checkers 336.png (3 3 6)	Archiu:H2checkers 337.png (3 3 7)	Archiu:H2checkers 33i.png (3 3 ∞)
Archiu:H2checkers 344.png (3 4 4)	Archiu:H2checkers 366.png (3 6 6)	Archiu:H2checkers 3ii.png (3 ∞ ∞)	Archiu:H2checkers 666.png (6 6 6)	Archiu:Infinite-order triangular tiling.svg (∞ ∞ ∞)

Els grups de triànguls hiperbòlics són eixemples d'un grup cristalográfico no euclideo, i s'han generalisat en la teoria de Gromov sobre grups hiperbòlics.

Vore també

• Triàngul de Schwarz
• Funció hipergeométrica, una aplicació de triànguls sobre el semiplano superior.
• Teoria geomètrica de grups

Bibliografia

• (2001).«The Monster is a Hurwitz group».Journal of Group Theory.4(4)

367–374.doi:10.1515/jgth.2001.027.Consultat el 10 de setembre de 2019.