Orde cíclico

Archiu:Months circle svg es.svg

Els mesos de l'any formen un orde cíclico

En matemàtiques, un orde cíclico és una forma d'organisar un conjunt d'objectes disposts sobre una circumferència. A diferència de la majoria de les estructures en teoria de l'orde, un orde cíclico no es modela com una relació binaria habitual del tipo "a < b". Per eixemple, no es diu que el nort estiga situat "més en el sentit de les agulles del rellonge" que el sur. En canvi, un orde cíclico es definix com una relació ternaria [a, b, c], lo que significa que "despuix de a, s'aplega a b abans de passar per c". Per eixemple, d'acort en l'image de la dreta, la terna de mesos de l'any [juny, octubre, febrer] respon a esta definició, pero en canvi la terna formada per [juny, febrer, octubre] no ho fa. Una relació ternaria es denomina orde cíclico si és cíclica, asimètrica, transitiva i conectada. Descartar el requisit de "conectada" dona com resultat un orde cíclico parcial.

Un conjunt en un orde cíclico es denomina conjunt ordenat cíclicamente o simplement cicle. Alguns cicles familiars són discrets i solament tenen un número finito d'elements: hi ha sèt dies de la semana, quatre punts cardinals, dotze notes en l'escala cromàtica musical i tres jugades en pedra, paper o tijera. En un cicle finito, cada element té un "element següent" i un "element anterior". També hi ha cicles contínuament variables en infinits elements, com una circumferència goniométrica orientada en un pla.

Els órdens cíclicos estan estretament relacionats en els órdens totals més familiars, que organisen objectes en una recta. Qualsevol orde llineal es pot doblar en un círcul i qualsevol orde cíclico es pot tallar en un punt, lo que dona com resultat un orde llineal. Estes operacions, junt en les construccions relacionades d'intervals i mapes de cobertura, signifiquen que les preguntes sobre órdens cíclicos a sovint es poden transformar en preguntes sobre órdens llineals. Els cicles tenen més simetria que els órdens llineals i, a sovint, apareixen naturalment com a residus d'estructures llineals, com en el cas dels grup cíclicos o de la recta proyectiva real.

Cicles finitos

Archiu:Orientovaná kružnice.svg

Un cicle de 5 elements

Un orde cíclico en un conjunt X en n elements és com una disposició de X en l'esfera d'un rellonge, per a un rellonge de n hores. Cada element x en X té un "element següent" i un "element anterior", i prenent els cicles successors o predecessors exactament una volta a través dels elements, com x(1), x(2), ..., x(n).

Hi ha algunes formes equivalents d'enunciar esta definició. Un orde cíclico en X és lo mateix que una permutació que convertix tot X en un sol cicle. Un cicle en n elements és també un Z_n-torsor: un conjunt en una acció transitiva lliure sobre un grup cíclico. Una atra formulació és convertir X en el grafo cicle estàndar en els n vèrtiços, per mig de l'emparellat dels elements en els vèrtiços.

Pot ser instintivo usar órdens cíclicos per a la funció simètrica, com per eixemple en

xy + yz + zx

a on escriure el monomi final com xz distrauria l'atenció del procés.

Un us substancial dels órdens cíclicos és la determinació dels classes de conjugació dels grups lliures. Dos elements g i h del grup lliure F en un conjunt I són conjugats si i solament si, quan s'escriuen com a productes dels elements i i i⁻¹ en i en I, i després eixos productes es posen en orde cíclico, els órdens cíclicos són equivalents baixe les regles de reescritura que permeten eliminar o agregar i i i⁻¹ adjacents.

Un orde cíclico sobre un conjunt X pot ser determinat per un orde llineal sobre X, pero no de forma única. Elegir un orde llineal és equivalent a elegir un primer element, per lo que existixen exactament n órdens llineals que induïxen un orde cíclico dau. Ya que hi ha n! órdens llineals possibles, hi ha (n − 1)! órdens cíclicos possibles.

Definicions

Un conjunt infinit també es pot ordenar cíclicament. Eixemples importants de cicles infinits inclouen la circumferència goniométrica, S¹ i els número racional, Q. L'idea bàsica és la mateixa: s'ordenen els elements del conjunt al voltant d'un círcul. No obstant, en el cas infinit no es pot confiar en una relació de successor immediat, perque els punts poden no tindre successors. Per eixemple, donat un punt en la circumferència unitària, no hi ha un "pròxim punt". Tampoc es pot confiar en una relació binaria per a determinar quin dels dos punts ve "primer". Viajant en el sentit de les agulles del rellonge en un círcul, ni l'est ni l'oest vénen primer, sino que cada u seguix a l'atre.

En canvi, s'usa una relació ternaria que denota que els elements a, b, c apareixen un despuix de l'atre (no necessàriament immediatament) a mida que s'alvança al voltant de la circumferència. Per eixemple, en el sentit de les agulles del rellonge, [est, sur, oest]. Per currificación els arguments de la relació ternaria [a, b, c], es pot pensar en un orde cíclico com una família d'un paràmetro de relacions binarias d'orde, cridades corts, o com una família de dos paràmetros de subconjunts de K, cridada intervals.

Relació ternaria

La definició general és la següent: un orde cíclico sobre un conjunt X és una relació C ⊂ X³, escrita [a, b, c], que satisfà els següents axioma:

1. Ciclicidad: Si [a, b, c] llavors [b, c, a]
2. Asimetria: Si [a, b, c] llavors no es complix que [c, b, a]
3. Transitividad: Si [a, b, c] i [a, c, d] llavors [a, b, d]
4. Conectivitat: si a, b i c són distints, llavors [a, b, c] o [c, b, a]

Els axioma es nomenen per analogia en els axioma d'asimetria, transitividad i conectivitat per a una relació binaria, que junts definixen un orde total.txt, va considerar atres possibles llistes de axioma, inclosa una llista que pretenia emfatisar la similitut entre un orde cíclico i una geometria ordenada. Una relació ternaria que satisfà els primers tres axioma, pero no necessàriament l'axioma de totalitat, és un orde cíclico parcial.

Laminación i corts

Donat un orde llineal < sobre un conjunt X, l'orde cíclico sobre X induït per < es definix com seguix:

[a, b, c] si i solament si a < b < c o b < c < a o c < a < b

Dos órdens llineals induïxen el mateix orde cíclico si poden transformar-se entre sí per mig d'un reordenamiento cíclico, com en el cort d'un mall de cartes. Es pot definir una relació d'orde cíclico com una relació ternaria induïda per un orde llineal estricte com l'anterior.

Tallar un sol punt d'un orde cíclico deixa arrere un orde llineal. Més precisament, donat un conjunt ordenat cíclicamente (K, [ ])), cada element a ∈ K definix un orde llineal natural <_a sobre el restant del conjunt, K ∖ a, per la següent regla:

x <_a i si i solament si [a, x, i].

Ademés, <_a pot estendre's agregant a com a element mínim; l'orde llineal resultant en K es denomina cort principal en l'element mínim a. Aixina mateix, adjuntar a com a element major dona com resultat un tall <^a.

Intervals

Donats dos elements a ≠ b ∈ K, l'interval de a a b, escrit (a, b), és el conjunt de tots els x ∈ K tals que [a, x, b]. El sistema d'intervals oberts definix completament l'orde cíclico i pot usar-se com una definició alternativa d'una relació d'orde cíclico.

Un interval (a, b) té un orde llineal natural dau per <_a. Es poden definir intervals semicerrados i tancats [a, b), (a, b] i [a, b] adjuntant a com element menor i/o b com element major. Com a cas especial, l'interval obert (a, a) es definix com el tall K ∖ a.

Més generalment, un subconjunt propi S de K es diu convexo si conté un interval entre cada parell de punts: per a a ≠ b ∈ S, (a, b) o (b, a) també deuen estar en S. Un conjunt convexo està ordenat linealmente pel tall <_x per a qualsevol x que no estiga en el conjunt; este orde és independent de l'elecció de x.

Automorfismes

Com una circumferència té un orde en el sentit del rellonge i un orde antihorario, qualsevol conjunt en un orde cíclico té dos sentits. Una funció biyectiva del conjunt que conserva l'orde es diu correspondència ordenada. Si es manté el sentit com abans, es tracta d'una correspondència directa, en cas contrari es denomina correspondència oposta. Coxeter usa una relació de separació per a descriure l'orde cíclico, i esta relació és lo suficientment forta com per a distinguir els dos sentits de l'orde cíclico. Els automorfismes d'un conjunt ordenat cíclicamente poden identificar-se en C₂, el grup de dos elements de les correspondències directes i les opostes.

Bibliografia

• (1996).«Cyclic renormallzatlon and automorphism groups of rooted trees».Springer.1621doi:10.1007/BFb0096321.
• «Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups».Acta Mathematica.180(2)

145–186.doi:10.1007/BF02392898.

• «Planar groups and the Seifert conjecture».Journal für die Regne und Angewandte Mathematik.2004(576)

11–62.doi:10.1515/crll.2004.084.

• «Finiteness properties of groups».Journal of Pure and Applied Algebra.44(1–3)

45–75.doi:10.1016/0022-4049(87)90015-6.

• «Circular groups, planar groups, and the Euler class».Geometry & Topology Monographs.7

431–491.doi:10.2140/gtm.2004.7.431.

• «Laminations and groups of homeomorphisms of the circle».Inventiones Mathematicae.152(1)

149–204.doi:10.1007/s00222-002-0271-6.

• «1-transitive cyclic orderings».Journal of Combinatorial Theory, Séries A.116(3)

581–594.doi:10.1016/j.jcta.2008.08.006.

• (1936).«Bodové množiny».Jednota Československých matematiků a fysiků.Prague:
• ^{[enllaç trencat]}
• (1987).«Completion of a cyclically ordered group».Czechoslovak Mathematical Journal.37(1)

157–174.doi:10.21136/CMJ.1987.102144.

• (1978).«Cuts in simple connected regions and the cyclic ordering of the system of all boundary elements».Časopis Pro Pěstování Matematiky.103(3)

259–281.doi:10.21136/CPM.1978.117983.

• «Problems in Finite Model Theory».

• (1949).«The Real Projective Plane».
• (1997).«Model theory of groups and automorphism groups: Blaubeuren, August 1995».Cambridge University Press.244

1–72.

• (1973).«Mathematics as an educational task».D. Reidel.
• (1974).«Fundamentals of mathematics».MIT Press.2

3–28.

• (1983).«Didactical phenomenology of mathematical structures».D. Reidel.
• ^{[enllaç trencat]} (Enllaç trencat: setembre de 2017)
• «A Set of Independent Postulates for Cyclic Order».Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.2(11)

630–631.doi:10.1073/pnas.2.11.630.

• «Sets of Completely Independent Postulates for Cyclic Order».Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.10(2)

74–78.doi:10.1073/pnas.10.2.74.

• «Inter-Relations Among the Four Principal Types of Order».Transactions of the American Mathematical Society.38(1)

1–9.doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1.

• (1998).«AAAI '98/IAAI '98 Proceedings of the fifteenth national/tenth conference on Artificial intelligence/Innovative applications of artificial intelligence».
• (1992).«Axioms and Hulls».Springer-Verlag.Heidelberg:606

ix+109.doi:10.1007/3-540-55611-7.

• (1973).«Connected orderable spaces».Mathematisch Centrum.Amsterdam:

• «Cyclic 2-structures and spaces of orderings of power séries fields in two variables».Journal of Algebra.335(1)

36–48.doi:10.1016/j.jalgebra.2011.02.026.

• «On ℵ₀-categorical weakly circularly minimal structures».Mathematical Logic Quarterly.52(6)

555–574.doi:10.1002/malq.200610014.

• «Definable functions in the ℵ₀-categorical weakly circularly minimal structures».Siberian Mathematical Journal.50(2)

282–301.doi:10.1007/s11202-009-0034-3.

• Traducció de (2009).«Определимые функции в ℵ₀-категоричных слабо циклически минимальных структурах».Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal.50(2)

356–379.

• «Minimality conditions on circularly ordered structures».Mathematical Logic Quarterly.51(4)

377–399.doi:10.1002/malq.200410040.

• (2011).«A survey of homogeneous structures».Discrete Mathematics.311(15)

1599–1634.doi:10.1016/j.disc.2011.01.024.

• (2009).«Ribbon R-trees and holomorphic dynamics on the unit disk».Journal of Topology.2(1)

23–76.doi:10.1112/jtopol/jtn032.

• «Partial and complete cyclic orders».Bulletin of the American Mathematical Society.82(2)

274–276.doi:10.1090/S0002-9904-1976-14020-7.

• «The Cyclohedron Test for Finding Periodic Gens in Clave Course Expression Studies».Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology.6(1)

Article 21.doi:10.2202/1544-6115.1286.

• (1996).«Geometric and computational perspectives on infinite groups».AMS Bookstore.25

101–174.

• (1982).«Cyclically ordered sets».Czechoslovak Mathematical Journal.32(3)

460–473.doi:10.21136/CMJ.1982.101821.

• (1984).«Cuts in cyclically ordered sets».Czechoslovak Mathematical Journal.34(2)

322–333.doi:10.21136/CMJ.1984.101955.

• (1987).«On completion of cyclically ordered sets».Czechoslovak Mathematical Journal.37(3)

407–414.doi:10.21136/CMJ.1987.102168.

• (2005).«WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I».Matfyzpress.Prague:

190–197.

• (2008).«Ladislav Svante Rieger (1916–1963)».Matfyzpress.Prague:36
• (1947).«О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (On ordered and cyclically ordered groups II)».Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná (Journal of the Royal Czech Society of Sciences, Mathematics and Natural History).(1)

1–33.

• (1993).«Locally partially ordered groups».Czechoslovak Mathematical Journal.43(3)

467–481.doi:10.21136/CMJ.1993.128411.

• (1997).«Operads: Proceedings of Reneassance Conferences».AMS Bookstore.202

53–82.

• (1959a).«On cyclically ordered groups».Fonamenta Mathematicae.47(2)

161–166.doi:10.4064/fm-47-2-161-166.

• (2001).«On Automorphism Groups of Cyclically Ordered Sets».Siberian Mathematical Journal.42(1)

190–204.doi:10.1023/A:1004866131580.

• Traducció de (2001).«ru:О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств».Sibirskii Matematicheskii Zhurnal.42(1)

212–230.

• (2002).«On c-3-Transitive Automorphism Groups of Cyclically Ordered Sets».Mathematical Notes.71(1)

110–117.doi:10.1023/A:1013934509265.

• Traducció de (2002).«О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств».Matematicheskie Zametki.71(1)

122–129.doi:10.4213/mzm333.

• (2009).«On the automorphism group of the countable donen-se circular order».Fonamenta Mathematicae.204(2)

97–111.doi:10.4064/fm204-2-1.

• (2008).«Elementary topology: problem textbook».AMS Bookstore.

42–44.

• «An introduction to Lorentz surfaces».Walter de Gruyter.22