Gaveta

Per a atres usos d'este terme vore Gaveta (desambiguació).

La gaveta o hexaedro regular és un poliedre llimitat per sis cares quadrades congruents. És un dels denominats sòlits platònics.

Una gaveta, ademés de ser un hexaedro, pot ser classificat també com un paralelepípede recte i rectangular, (breument ortoedro)^[1] puix totes les seues cares són quadrades i paraleles dos a dos. Inclús, es pot entendre com un prisma recte, la base del qual és un quadrat i la seua altura equivalent al costat de la base.

El hexaedro regular, de la mateixa manera que el restant dels sòlits platònics, complix el teorema de Euler per a poliedres, resumit en la fòrmula $C + V = A + 2$ , puix té sis cares, huit vèrtiços i dotze arestes (6+8 = 12+2).

La gaveta és el dual del octaedre. Té simetria cúbica o octaèdrica.

La gaveta és l'únic poliedre convexo que les seues cares són totes quadrades.

Proyeccions ortogonals

La gaveta té quatre proyeccions ortogonals especials, centrades, en un vèrtiç, arestes, cara i normal a la seua figura de vèrtiç. La primera i la tercera corresponen al pla de Coxeter $A_{2}$ i $B_{2}$ .

Proyeccions ortogonals
Centrat en	Cara	Vèrtiç
Plans de Coxeter	B₂	A₂
Proyectiva simetria	[4]	[6]
Vistes inclinades

Gaveta esfèrica

La gaveta també pot representar-se com un poliedre esfèric, i proyectar-se sobre el pla per mig d'una proyecció estereográfica. Esta proyecció és conforme, preservant els ànguls pero no les àrees ni les llongituts. Les rectes de l'esfera es proyecten com a arcs de círcul en el pla.

Proyecció ortogràfica	Proyecció estereográfica

Coordenades cartesianas

Per a una gaveta centrada en l'orige, en arestes paraleles als eixos i en una llongitut d'aresta de 2, les coordenades cartesianas dels vèrtiços són

(\pm 1, \pm 1, \pm 1)

mentres que l'interior està format per tots els punts $(x_{0}, x_{1}, x_{2})$ en $- 1 < x_{i} < 1$ para tot $i$ .

Equació en l'espai tridimensional

En geometria analítica, la superfície d'una gaveta en centre $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ i llongitut d'aresta de $2 a$ és el lloc geomètric de tots els punts $(x, y, z)$ tals que

\max {| x - x_{0} |, | y - y_{0} |, | z - z_{0} |} = a .

Una gaveta també pot considerar-se el cas llímit d'un superelipsoide 3D a mida que els tres exponents s'aproximen a l'infinit.

Duplicació de la gaveta

El duplicació de la gaveta, o el problema de Deliano, era el problema plantejat per matemàtics de l'antiga Grècia d'utilisar només un regla i compàs per a partir de la llongitut de l'aresta d'una gaveta donada i construir la llongitut de l'aresta d'una gaveta en el doble del volum de la gaveta original. No varen poder resoldre este problema, que en 1837 Pierre Wantzel va demostrar que era impossible perque la raïl cúbica de 2 no és un número construible.

Coloració uniformes i simetria

Erro al crear miniatura:

Arbre de simetria octaèdrica

La gaveta té tres coloració uniformes, denominades pels colors únics de les cares quadrades al voltant de cada vèrtiç: 111, 112, 123.

La gaveta té quatre classes de simetria, que poden representar-se coloreando les cares vèrtiç-transitivo. La simetria octaèdrica més alta O_h té totes les cares del mateix color. La simetria diédrica D_4h prové de que la gaveta és un sòlit, en les sis cares de distint color. El subconjunt prismàtic D_2d té la mateixa coloració que l'anterior i D_2h té colors alterns per a les seues cares per a un total de tres colors, emparellats per cares opostes. Cada forma de simetria té un símbol de Wythoff diferent.

Nom	Hexaedro regular	Prisma quadrat	Trapezoprisma rectangular	Cuboide rectangular	Prisma ròmbic	Trapezoedro trigonal
Símbol de Schläfli	{4,3}	{4}×{ } rr{4,2}	s₂{2,4}	{ }³ tr{2,2}	{ }×2{ }
Símbol de Wythoff	3 &#; 4 2	4 2 &#; 2		2 2 2 &#;
Simetria	O_h [4,3] (*432)	D_4h [4,2] (*422)	D_2d [4,2⁺] (2*2)	D_2h [2,2] (*222)		D_3d [6,2⁺] (2*3)
Orde de simetria	24	16	8	8		12
Image (colors uniformes)	Archiu:Hexahedron.png (111)	Archiu:Tetragonal prism.png (112)	Archiu:Cube rotorotational symmetry.png (112)	Archiu:Uniform polyhedron 222-t012.png (123)	Archiu:Cube rhombic symmetry.png (112)	Archiu:Trigonal trapezohedron.png (111), (112)

Relacions geomètriques

Archiu:The 11 cubic nets.svg

Els 11 desenrolls de la gaveta

Archiu:Stone Dice 17. caps block 22

Estos coneguts daus de sis cares tenen forma de gaveta

Archiu:El cubo con sus esquinas, aristas y diagonales es.png

La gaveta en les seues vèrtiçs, arestes i diagonals

Una gaveta té onze rets (una es mostra dalt): és dir, hi ha onze maneres de aplanar una gaveta buit tallant sèt arestes.Erro en la cita: Element <ref> no vàlit; les referencies sense nom deuen de tindre contingut Per a colorear la gaveta de manera que cap cara adjacent tinga el mateix color, es necessitarien a lo manco tres colors.

La gaveta és la cela de l'únic mosaic regular del espai euclídeo tridimensional. També és únic entre els sòlits platònics per tindre cares en un número par de costats i, en conseqüència, és l'únic membre d'eixe grup que és un zonoedro (cada cara té simetria puntual).

La gaveta pot tallar-se en sis piràmides quadrades idèntiques. Si estes piràmides quadrades s'unixen a les cares d'una segona gaveta, s'obté un dodecaedre ròmbic (en parells de triànguls coplanares combinats en cares ròmbiques).

Elements

Archiu:Hexahedron.stl

Modele 3D d'una gaveta

Archiu:Cubo (Matemateca - caps block 23 caps block 24 ).jpg

Gaveta (Matemateca Ime-Usp)

Cara és cada una de les regions quadrades que llimiten la gaveta. En total són 6. Cada parell de cares tenen un costat comú. Cada cara té atres 4 cares adjacents, en costats comuns, llevat en una que es diu cara oposta. Hi ha tres parells de cares opostes. Hi ha cares consecutives de modo que algunes de les seues arestes són costats consecutius d'un mateix quadrat cara; les cares consecutives, que vénen en joc de 4, estan tancades entre 2 cares paraleles; imaginant una sala les cares consecutives serien les parets de la sala.
Aresta és un costat comú a 2 cares. En total hi ha 12 arestes de la gaveta. Per a cada aresta hi ha atres arestes que són concurrents, paraleles o que es creuen.
Vèrtiç. 3 cares (respectivament tres arestes) té un punt comú que es diu vèrtiç de la gaveta. Per tot, hi ha 8 vèrtiços.
Diagonal o diagonal espacial. Sean dos cares opostes que permeten definir una correspondència biyectiva. Del vèrtiç de la primera cara es traça un segment al vèrtiç opost del seu homòlec en la cara oposta. Dit segment es diu diagonal de la gaveta. En total hi ha quatre diagonals de la gaveta. Es tallen en un punt únic.
Centre és l'intersecció de les diagonals de la gaveta. També és el baricentre de la distribució de càrrega superficial és uniforme. És centre de simetria.

Mides i simetria

Volum

Archiu:Revolução de um cubo ( caps block 26 ).webm

Revolució d'una gaveta

D'una gaveta d'aresta a, podem calcular el volum $V$ per mig de la següent fòrmula:

V = a \cdot a \cdot a = a^{3}

Àrea

El àrea total $A_{T}$ (que és 6 voltes l'àrea d'una de les seues cares $A_{c}$ ) pot ser calculada per mig de la fòrmula:

A_{T} = 6 a^{2}

Considerat com a prisma, té àrea lateral:

A_{L} = 4 \cdot A_{c} = 4 a^{2}

Llongitut de la diagonal

D'una gaveta en llongitut d'aresta $a$ :

Es pot calcular la llongitut de la seua diagonal facial (la distància entre vèrtiços oposts d'una mateixa cara) $d$ , usant el teorema de Pitágoras:

d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2}} = \sqrt{2} a

.

La llongitut de la diagonal espacial (la distància entre vèrtiços oposts en la gaveta) $D$ es pot calcular de la mateixa manera, usant la fòrmula anterior, ya que la diagonal espacial és igual a la diagonal d'un rectàngul de llongituts $d$ i $a$ respectivament:

D = \sqrt{d^{2} + a^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = \sqrt{3 a^{2}} = \sqrt{3} a

.

Optimisació

Entre els ortoedros d'àrea total constant la gaveta és el que té major volum. Si es coneix l'àrea total $k$ , llavors l'aresta $a$ de la gaveta és:^[2] $\sqrt{\frac{k}{6}}$

Simetria

Un hexaedro regular (o gaveta) té 3 eixos de simetria d'orde quatre: les rectes perpendicular a cada parell de cares paraleles pel seu punt mig; quatre eixos de simetria d'orde tres: les rectes que unixen els centres dels vèrtiços oposts; 6 eixos de simetria d'orde 2 que unixen els centres de les arestes oposts; 9 plans de simetria; 3 paralels a cada parell de cares paraleles pel punt mig de les arestes que les unixen, i 6 formats pels parells d'arestes opostes; i un centre de simetria. Açò fa que este cos tinga un orde de simetria total de 48: 2x(3x4+6x2).

Els elements de simetria anteriors definixen un dels grups de simetria octaèdrics de segona base, el denominat O_h segons la notació de Schöenflies.

Poliedre conjugat

El poliedre conjugat d'un hexaedro regular d'aresta $a$ és un octaedre regular d'aresta $b$ , tal que: $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$

Resum de fòrmules

Per a una gaveta de llongitut d'aresta $a$ :

Àrea de la superfície	$6 a^{2}$	Volum	$a^{3}$
Diagonal facial	$\sqrt{2} a$	Diagonal espacial	$\sqrt{3} a$
Radi de la esfera circumscrita	$\frac{\sqrt{3}}{2} a$	Radi de l'esfera tangente al centre de les arestes	$\frac{a}{\sqrt{2}}$
Radi de la esfera inscrita	$\frac{a}{2}$	Ànguls entre cares (en radianés)	$\frac{π}{2}$

Com el volum d'una gaveta és la tercera potència dels seus costats $a \times a \times a$ , les terceres potències es diuen "gaveta", per analogia en quadrats i segones potències.

Una gaveta té el major volum entre els cuboides (caixes rectangulars) en una superfície donada. Ademés, una gaveta té el major volum entre cuboides en el mateix tamany llineal total (llarc + ample + alt).

Punt en l'espai

Per a una gaveta l'esfera de la qual circunscripta té ràdio $R$ , i per a un punt donat en el seu espai tridimensional en distàncies $d_{i}$ des dels 8 vèrtiços de la gaveta, tenim:^[3]

\frac{\sum_{i = 1}^{8} d_{i}^{4}}{8} + \frac{16 R^{4}}{9} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{8} d_{i}^{2}}{8} + \frac{2 R^{2}}{3})}^{2}

.

Relació en l'esfera i l'octaedre

Esfera inscrita

En qualsevol gaveta es pot inscriure una esfera, el centre de la qual coincidix en el de la gaveta i la seua ràdio és igual a la mitat de l'aresta de la gaveta.

El radi de l'esferes inscrita és

r = \frac{a}{2}

; i el volum d'esta esfera és

V_{e} = π \frac{a^{3}}{6}

,

a

= aresta de la gaveta.

Esfera circumscrita

Qualsevol gaveta pot inscriure's en una esfera, de modo que els centres dels sòlits siguen el mateix punt. En este cas a l'esfera es nomena esfera circumscrita a la gaveta.

El radi de l'esfera circumscrita és

R = \frac{d}{2}

, i el volum és

V_{e} = π \frac{d^{3}}{6}

,

d

= diagonal de la gaveta inscrita.

Octaedre inscrit

En una gaveta es pot inscriure un octaedre regular que els seus quatre vèrtiços estan en quatre cares consecutives i els atres dos en cares opostes i perpendicular a les anteriors.

Si

a

= aresta de la gaveta, resulta el volum de l'octaedre,^[4]

V = \frac{a^{3}}{4}

.

Topología de la gaveta

Convexidad

En principi, una gaveta és un sòlit convexo; açò significa que respecte a un pla que conté a qualsevol de les seues cares la gaveta queda en un un solament dels semiespacios que determina dit pla.

Interior

Prengam tres sengles punts en tres arestes perpendiculars a una de les cares i tracem un pla per estos punts. Dit pla al intersecar a la gaveta determina un quadrilàter. Qualsevol punt del quadrilàter es diu punt interior de la gaveta i el conjunt de tots els punts interiors es denomina Interior de la gaveta.^[5]

Frontera

Cap punt de cara qualsevol està en l'interior de la gaveta, i tots estos punts forma un conjunt cridat frontera, de tal manera que l'unió de les sis cares són la frontera de la gaveta.

Exterior

Un punt que no està en la frontera ni en l'interior de la gaveta es diu punt exterior i el conjunt de tots estos punts és el exterior de la gaveta. L'unió de l'interior, exterior i frontera de la gaveta és igual a tot l'espai. Ademés estos conjunts són disjuntos.

Obert

Un conjunt de punts de l'espai es diu obert si per a qualsevol punt d'ell es pot traçar una esfera de tal manera que l'esfera quede continguda totalment en dit conjunt. Tant l'interior i l'exterior d'una gaveta són oberts.^[6]

Conexidad

La gaveta és una figura conexa, açò és, d'una sola peça. Puix no pot haver dos oberts d'intersecció buida i la seua unió siga igual a la gaveta.

Hipercubo

Archiu:From Point to Tesseract (Looped Version).gif

Animació que mostra la formació dels primers quatre hipercubos com una extensió de cada u cap a la següent dimensió.

El hipercubo és l'anàlec de la gaveta en qualsevol número de dimensions. Este tipo de figures són totes ortotopos regulars.

Tots els hipercubos de més de zero dimensions es poden construir a través de la duplicació d'un atre hipercubo, unint tots els vèrtiços en arestes de manera que totes les noves facetes siguen regulars.

Segons el número de dimensions, els noms dels hipercubos són:

punt (0 dimensions),
segment (1 dimensió),
quadrat (2 dimensions),
gaveta (3 dimensions),
teseracto o hipercubo (4 dimensions),
penteracto (5 dimensions), etc.

També es pot usar el nom n-gaveta, per a n dimensions.

Relació en atres àrees

En la cultura popular

Archiu:Dice01.jpg

Donats típicament cúbics: estil occidental, estil asiàtic i daus usats en cassinos.

La gaveta és una figura d'apariència freqüent en joguets i atres objectes recreatius. Eixemples notables són els daus i el gaveta de Rubik.

En Teologia

Les gavetes apareixen en les religions abrahámicas. La Kaaba en La Meca és un eixemple que en àrap significa "la gaveta". També apareixen en el judaisme com Filacteria i la Nova Jerusalem en el Nou Testament també li la descriu com una Gaveta.^[7]

Vore també

Referències

↑ Diccionario de la lengua española
↑ Adaptació de Métodos de resolució i demostració de desigualtats de Valeri Pávlovich SUPRUN/ 2015, Moscou
↑ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf [1] archivat en Wayback Machine.
↑ Per a calcular l'octaedre es considera com una bipirámide quadrada.
↑ Topología de José Tola Pasquel.
↑ Milton Donaire: Formes i números, edicions de UCH, Llima
↑ «Simbolisme de la Gaveta - Eva Fora del Jardí».

Enllaços externs

Commons

Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre gaveta.
Cube: Interactive Polyhedron Model*
Volume of a cube, with interactive animation
Cube (Robert Webb's site)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cubo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Diccionario de la lengua española

[2] Adaptació de Métodos de resolució i demostració de desigualtats de Valeri Pávlovich SUPRUN/ 2015, Moscou

[3] Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf [1] archivat en Wayback Machine.

[4] Per a calcular l'octaedre es considera com una bipirámide quadrada.

[5] Topología de José Tola Pasquel.

[6] Milton Donaire: Formes i números, edicions de UCH, Llima

[7] «Simbolisme de la Gaveta - Eva Fora del Jardí».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]