Subdivisió baricéntrica

Iteraciones des de la 1ª a la 4ª subdivisió baricéntrica de 2-símplices

En matemàtiques, la subdivisió baricéntrica és una forma estàndar de subdividir un símplex determinat en uns atres més menuts. La seua extensió a complexos simpliciales és un método canònic per a refinar-los. Per lo tant, la subdivisió baricéntrica és una ferramenta important en topología algebraica.^[1]

Motivació

La subdivisió baricéntrica és una operació sobre complexos simpliciales. En topología algebraica a voltes és útil reemplaçar els espais originals per complexos simpliciales per mig de triangulacions: la substitució permet assignar invariantes combinatoris com la característica de Euler als espais. Es pot preguntar si existix una forma anàloga de reemplaçar les funcions contínues definides en els espais topològics per funcions que siguen llineals en els símplices i que siguen homotópicas a les aplicacions originals (vore també aproximació simplicial). En general, tal assignació requerix un refinament del complex dau, és dir, es reemplacen els símplices més grans per una unió de símplices més menuts. Una forma estàndar d'efectuar tal refinament és la subdivisió baricéntrica. Ademés, la subdivisió baricéntrica induïx aplicacions en grups d'homologia i és útil per a qüestions computacionals (vore Escissió i Seqüència de Mayer-Vietoris).

Definició

Subdivisió de complexos simpliciales

Siga $𝒮 \subset ℝ^{n}$ un complex geomètric simplicial. Es diu que un complex $𝒮^{'}$ és una subdivisió de $𝒮$ si

Cada símplex de $𝒮^{'}$ està contingut en un símplex de $𝒮$
Cada símplex de $𝒮$ és una unió finita de símplex de $𝒮^{'}$

Estes condicions impliquen que $𝒮$ i $𝒮^{'}$ són iguals com a conjunts i com a espais topològics, i solament canvia la seua estructura simplicial.

Archiu:Barycentric subdivision of 2simplex.png

Subdivisió baricéntrica d'un 2-símplex. Els punts coloreados agregats a la dreta són els baricentre dels símplex de l'esquerra

Subdivisió baricéntrica d'un símplex

Per a un símplex $Δ$ comprés per $p_{0}, ..., p_{n}$ punts, el baricentre es definix com el punt $b_{Δ} = \frac{1}{n + 1} (p_{0} + p_{1} + ... + p_{n})$ . Per a definir la subdivisió, es considera un símplex com un complex simplicial que conté solament un símplex de dimensió màxima, és dir, el símplex mateix. La subdivisió baricéntrica d'un símplex es pot definir inductivamente per la seua dimensió.

Per a punts, és dir, símplices de dimensió 0, la subdivisió baricéntrica es definix com el punt mateix.

Suponga's llavors per a un símplex $Δ$ de dimensió $n$ que les seues $Δ_{i}$ cares de dimensió $n - 1$ ya estan dividides. Per lo tant, existixen $Δ_{i, 1}, Δ_{i, 2} ..., Δ_{i, n!}$ símplices que cobrixen $Δ_{i}$ . La subdivisió baricéntrica es definix llavors com el complex simplicial geomètric que els seus símplices màxims de dimensió $n$ són cada u d'ells envolventes convexas de $Δ_{i, j} \cup b_{Δ}$ per a un parell $i, j$ tal que algun $i \in 0, ..., n, j \in 1, ..., n!$ , per lo que hi haurà $(n + 1)!$ símplices que recobrixquen $Δ$ .

Es pot generalisar la subdivisió per a complexos simpliciales que els seus símplices no estan tots continguts en un únic símplex de dimensió màxima, és dir, complexos simpliciales que no corresponen geomètricament a un símplex. Açò es pot fer realisant els passos descrits anteriorment simultàneament per a cada símplex de dimensió màxima. L'inducció es basarà llavors en el $n$ -ésimo esquelet del complex simplicial. El procediment permet efectuar la subdivisió més d'una volta.

Subdivisió baricéntrica d'un politopo convexo

Vore també: Ortoesquema de Schläfli

Archiu:Modell, Kristallform Hexakisoktaeders -Krantz 421-.jpg

El hexaquisoctaedro, la subdivisió baricéntrica d'una gaveta

L'operació de subdivisió baricéntrica es pot aplicar a qualsevol politopo convexo de qualsevol dimensió, produint un atre politopo convexo de la mateixa dimensió. En esta versió de subdivisió baricéntrica, no és necessari que el politopo forme un complex simplicial: pot tindre cares que no siguen simples. Est és el dual operation a omnitruncamiento.^[2] Els vèrtiços de la subdivisió baricéntrica corresponen a les cares de totes les dimensions del politopo original. Dos vèrtiços són adjacents en la subdivisió baricéntrica quan corresponen a dos cares de diferents dimensions en la cara de dimensions inferiors inclosa en la cara de dimensions superiors. Les facetes de la subdivisió baricéntrica són símplices, corresponents a les banderes del politopo original.

Per eixemple, la subdivisió baricéntrica d'un gaveta, o d'un octaedre, és el hexaquisoctaedro. Els vèrtiços de grau 6, grau 4 i grau 8 del disdiaquis dodecaedre corresponen als vèrtiços, arestes i facetes quadrades de la gaveta, respectivament.

Referències

↑ (2004) Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition, CRC Press, pp. 722 de 1560. ISBN 9781420035315.
↑ ( 2015).«Convex Polytopes and Tilings with Few Flag Orbits». Northeastern University. See p. 22, where the omnitruncation is described as a "flag graph".

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Subdivisión baricéntrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[HOD-1] (2004) Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition, CRC Press, pp. 722 de 1560. ISBN 9781420035315.

[2] ( 2015).«Convex Polytopes and Tilings with Few Flag Orbits». Northeastern University. See p. 22, where the omnitruncation is described as a "flag graph".

[1]

[2]