Teselado hexagonal
En geometria, un teselado hexagonal és un tipo de teselado regular del pla Euclídeo format exclusivament per hexàgons. Té un símbol de Schläfli de {6,3} o t{3,6} (vist com un teselado triangular truncat).[1][2]
Coloquialmente, és denominada com a estructura de panal d'abella. El matemàtic John Horton Conway va falcar la denominació de hextille (traducible com hextesela) per a referir-se a este teselado concret.[3]
És un dels tres únics tipos de teselado que pot realisar-se en polígons regulars. Cada vèrtiç de la tesela és compartit per tres hexàgons regulars, i ya que l'àngul intern d'un hexàgon és de 120 graus, la confluència cobrix un àngul total de 360 graus. També és possible realisar teselas amprant hexàgons que no siguen regulars.[1][4]
Propietats i aparició en la naturalea
[editar | editar còdic]- La forma més densa de conseguir un empaquetamiento de círculs en dos dimensions, consistix en colocar els centres dels círculs sobre els centres dels hexàgons d'un teselado hexagonal regular.
- A nivell molecular, l'hexàgon es presenta com una estructura d'ordenació molt estable, com la del benceno, plana i indeformable, carent de tensions d'anell (transanulares), en els vèrtiços del qual es troben els àtoms de carbono, en tres dobles enllaços i tres enllaços simples en posicions alternes.
- En astronomia, l'hexàgon es fa palés en els cridats Punts de Lagrange, o punts de libración, que són posicions especials dins d'un sistema orbital, en les que les forces d'atracció es compensen.
- La forma més densa de conseguir un empaquetamiento d'esferes és apilant capes de teselas hexagonals, desplaçant cada capa per a que els vèrtiços coincidixquen en el centre dels hexàgons de la capa superior i inferior.
- La conjectura del panal d'abella afirma que este teselado és la millor manera de dividir una superfície en regions d'igual àrea i en el mínim perímetro total. La conjectura es coneix des de l'antiguetat, encara que no va ser provada fins a 1999.[5]
- Com a conseqüència de lo anterior, esta estructura apareix en molta freqüència en la naturalea. El panal d'abella és una estructura que minimisa la cantitat de cera necessària per a la seua construcció. Vàries plantes i foncs creen estructures hexagonals com a forma de cobrir el màxim àrea possible reduint la cantitat material dedicat a això. En el món industrial, una forma eficient de fabricar una alambrada és molejant una tesela d'hexàgons, ya que reduïx la cantitat d'aram necessari per a fabricar un determinat àrea d'alambrada.
- El teselado hexágonal apareix en l'estructura de molts cristalés, per lo que té una gran importància en cristalografia. Per eixemple, esta estructura apareix de forma natural en l'estructura del grafit, a on cada capa de grafeno està formada per una ret d'àtoms de carbono units per mig d'enllaços covalente.
- Multitut de jocs de tauler i d'ordenador ampren taulers en un disseny basat en teselado hexagonal. Alguns eixemples són La batalla per Wesnoth, l'Escacs hexagonal, Els Colon de Catán i Heroes of Might and Magic.
-
-
Panalés d'abella -
Alambrada de gallinero -
Representació del grafeno
-
Tauler d'escacs hexagonal
Coloració uniformes
[editar | editar còdic]Hi ha tres coloració uniformes distintes d'un mosaic hexagonal, totes generades a partir de la simetria especular de la construcció de Wythoff. Els parells (h, k) representen la repetició periòdica d'un mosaic de color, contant les teselas hexagonals que es deuen recórrer per a alcançar des d'una tesela d'un color donat una atra tesela del mateix color, en h passos en una primera direcció, i en el seu cas, k passos en una segona direcció.
| k-uniformitat | 1-uniforme | 2-uniforme | 3-uniforme | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetria | p6m, (*632) | p3m1, (*333) | p6m, (*632) | p6, (632) | |||
| Image | Archiu:Uniform tiling 63-t0.svg | Archiu:Uniform tiling 63-t12.svg | Archiu:Uniform tiling 333-t012.svg | Archiu:Truncated rhombille tiling.svg | Archiu:Hexagonal tiling 4-colors.svg | Archiu:Hexagonal tiling 2-1.svg | Archiu:Hexagonal tiling 7-colors.svg |
| Colors | 1 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 7 |
| (h,k) | (1,0) | (1,1) | (2,0) | (2,1) | |||
| Schläfli | {6,3} | t{3,6} | t{3[3]} | ||||
| Wythoff | 3 &#; 6 2 | 2 6 &#; 3 | 3 3 3 &#; | ||||
| Coxeter | Plantilla:DCD | Plantilla:DCD | Plantilla:DCD | ||||
| Conway | H | tΔ | cH | ||||
El mosaic de 3 colors és un teselado generat per permutoedros d'orde 3.
Teselado hexagonal achaflanado
[editar | editar còdic]En un mosaic hexagonal achaflanado es reemplacen les vores per nous hexàgons, aplegant a transformar-se en un atre mosaic hexagonal. En el llímit, les cares originals desapareixen, i els nous hexàgons degeneran en rombos, convertint-se en un teselado ròmbic.
| Hexàgons (H) | Hexàgons achaflanados (cH) | Rombos (daH) | ||
|---|---|---|---|---|
| Archiu:Uniform tiling 63-t0.svg | Archiu:Chamfered hexagonal tiling.svg | Archiu:Truncated rhombille tiling.svg | Archiu:Chamfered hexagonal tiling2.svg | Archiu:Rhombic star tiling.svg |
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 «Hexagon Tiling» (en anglés). MathWorld. Consultat el 15 de decembre de 2014.
- ↑ Gardner, Martin (1988). «"13. Tilings with Convex Polygons."», W. H. Freeman (ed.). Clave Travel and Other Mathematical Bewilderments (en anglés), New York, pp. 162-176.
- ↑ Conway; Burgiel, {{{nom2}}} (2008). «"21: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and Tilings"», The Symmetries of Things (en anglés). ISBN 978-1-56881-220-5.
- ↑ 9.3 Teselaciones regulars i semiregulares. En: Matemàtiques. Volum II. I-book. MAD-Eduforma. ISBN 8466512632. Pág. 361
- ↑ Discrete and Computational Geometry.25
- 1–22 (2001).
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Teselado hexagonal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.