Empaquetament d'esferes
En matemàtiques, els problemes de empaquetamiento d'esferes concernixen en la disposició d'esferas d'idèntic tamany reblint un espai. Normalment l'espai és l'euclideo tridimensional. No obstant el problema pot generalisar-se a dos dimensions (a on les esferes són círculs), a espais n-dimensionals (a on són hiperesferas) o a espais no euclidianos com l'espai hiperbòlic.
Un problema típic de empaquetamiento és trobar la disposició en que les esferes reblixquen la major proporció possible de l'espai. La proporció de l'espai reblit per les esferes és cridada densitat del empaquetamiento. Com la densitat de empaquetamiento pot dependre del volum en que es medixca, el problema tracta normalment de la densitat mija major o asintòtica, mida en un volum lo suficientment ampli.
Un empaquetamiento habitual també cridat periòdic o reticular és aquell en que les esferes formen un patró molt simètric cridat retícul, els empaquetamientos en els que les esferes no estan dispostes en patrons simètrics es diuen irregulars o aperiódicos. Les disposicions periòdiques són més senzilles d'analisar, classificar i de medir la seua densitat que les aperiódicas.
Empaquetamiento de círculs
[editar | editar còdic]
- Artícul principal → Empaquetamiento de círculs.
Carl Friedrich Gauss va demostrar que, en espai euclideo de dos dimensions, la disposició regular de círculs en major densitat és el empaquetamiento hexagonal, en el qual els centres dels círculs es disponen en una cela hexagonal (dispostes com en un panal de colmena) i en la que cada círcul està rodejat d'atres sis. La densitat d'este empaquetamiento és:
En 1940 el matemàtic hongarés László Fejes Tóth va demostrar que la cela hexagonal és el més dens de tots els empaquetamientos de círculs, tant regulars com a irregulars.
La branca de les matemàtiques coneguda com "empaquetamiento de círculs" no es referix, no obstant, al càlcul de la densitat en empaquetamiento de círculs iguals, sino a problemes de geometria i combinatoria de círculs de tamany arbitrari, donant lloc a anàlecs discrets de la cartografia conforme, les superfícies de Riemann i similars.
Empaquetamiento d'esferes
[editar | editar còdic]Empaquetamiento periòdic
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Empaquetamiento compacte.
Estudiem en un espai tridimensional un pla en una disposició compacta d'esferes sobre el mateix. Si considerem tres esferes veïnes, podrem colocar una quarta en el buit que deixen les tres esferes d'avall. Si repetim açò "en tots els llocs" en un segon nivell per damunt del primer, haurem creat una nova disposició compacta. La tercera capa es pot superpondre a la primera, o les esferes poden estar damunt dels buits de la primera capa. Per lo tant, existixen tres tipos de nivells, cridats A, B i C.
Gauss va demostrar que estes disposicions posseïxen la densitat més alta entre totes les disposicions regulars.
Les dos disposicions més comunes són cridades empaquetamiento cúbic centrat en cares – alternança ABCABC...- i empaquetamiento hexagonal – alternança ABAB...-. Pero totes les combinacions són possibles (ABAC, ABCBA, ABCBAC, etc.) En totes estes disposicions cada esfera està rodejada per atres 12, i abdós disposicions tenen una densitat mija de
En 1611 Johannes Kepler hi havia conjeturado que esta és la densitat màxima de les disposicions tant regular com a irregular – açò va ser conegut com la conjectura de Kepler. En 1998 Thomas Hales, seguint l'enfocament que havia propost László Fejes Tóth en 1953, va anunciar la confirmació de la conjectura de Kepler. La confirmació de Hales és una Prova per exhaución ensajant molts casos individuals i usant complexos càlculs d'ordenador. Els àrbits han confirmat l'exactitut de la prova de Hales en un marge de el "99% de seguritat", per lo que la conjectura de Kepler ha segut demostrada casi en absoluta certea.
Empaquetamiento aperiódico
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Empaquetamiento aleatori.
Si intentem construir un grup densament empaquetat d'esferes, sempre caurem en la tentació de colocar la següent esfera en un buit format entre tres esferes en contacte. Si cinc esferes s'han reunit en este modo, estarà en consonancia con un dels envasaments de disposició regular descrits en anterioritat. No obstant, la sexta esfera colocada d'esta manera, fa que l'estructura siga incompatible en qualsevol disposició regular. (Chaikin, 2007). Açò es traduïx en la possibilitat d'un empaquetamiento aleatori de les esferes que es torna estable contra la compactación.
Quan es tiren esferes a l'encert en un contenidor i després s'compactar, generalment formen lo que es coneix com empaquetamiento "irregular" o "atollat", quan no es pot comprimir més. Este empaquetamiento irregular tindrà normalment una densitat d'aproximadament el 64% de la densitat de les esferes. Esta situació és diferent al cas d'una o dos dimensions, a on la compactación d'un grup d'esferes unidimensionals o bidimensionales (és dir segments de llínea o discs) produirà un empaquetamiento regular.
Referències
[editar | editar còdic]- Este artícul conté una traducció derivada de «Empaquetamiento de esferas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.