Símbol de Schläfli

El dodecaedre és un poliedre regular en el símbol de Schläfli {5,3}, perque té cares pentagonals (representades pel número 5), i tres d'elles coincidixen en cada vèrtiç (situació indicada pel número 3)

En geometria, el símbol de Schläfli és una notació simple de la forma $\{p,q,r,\mathrm{...},w\},$ que proporciona un sumari d'algunes propietats importants d'un politopo regular o d'una teselación (teselado o emmanisat) regular. Deu el seu nom al matemàtic suís Ludwig Schläfli, qui va fer importants contribucions a la geometria i a atres àrees de la matemàtica.

Descripció

El símbol de Schläfli és una descripció recursiva. Començant en un polígon regular de $p$ costats en el símbol $p$. Per eixemple, $\{3\}$ és el triàngul equilátero, $\{4\}$ és el quadrat, $\{5\}$ és el pentàgon regular, etc.

Un poliedre regular, el qual té cares regulars de $p$ costats, $q$ en torno de cada vèrtiç, es representa per $\{p,q\}$. Per eixemple, la gaveta té $6$ quadrats $\{4\}$, $3$ en torno de cada vèrtiç i es representa per $\{4,3\}$.

Un $4$–politopo (de quatre dimensions) en celes polièdriques $\{p,q\}$, $r$ en torno de cada vèrtiç es representa per $\{p,q,r\}$. El hipercubo de quatre dimensions, per ej. és $\{4,3,3\}$.

En general, un politopo $n$–dimensional està format de facetes $n$–dimensionals, $\{p,q,r,\mathrm{...},v\}$, $w$ en torno de cada vèrtiç, d'esta manera el seu símbol és $\{p,q,r,\mathrm{...},v,w\}$.

Per a certs fins, el símbol d'un segment de recta unitari és $\{\}$.

Els politopos regulars poden tindre elements que siguen polígons estrelats (també denominats en ocasions estelados), el símbol de les quals és $\left\{\frac{p}{s}\right\}$. La fracció $\frac{p}{s}$ deu ser irreductible, açò és, $p$ i $q$ deuen ser cosins relatius. Aixina, per ej. $\left\{\frac{8}{3}\right\}$ representa una estrela de $8$ vèrtiços, presos de $3$ en $3$. Un atre ej. és el gran dodecaedre estrelat $\{\frac{5}{2},3\}$ està format per $12$ pentagrames $\left\{\frac{5}{2}\right\}$, $3$ en torno de cada vèrtiç.

Un politopo regular té un politopo dual, representat pels elements de símbol de Schläfli en orde invers. Un politopo regular auto dual tindrà un símbol de Schläfli simètric.

La faceta d'un politopo regular $\{p,q,r,\mathrm{...},v,w\}$ és $\{p,q,r,\mathrm{...},v\}$.

Cada politopo regular $\{p,q,r,\mathrm{...},w\}$ té una figura de vèrtiç regular $\{q,r,\mathrm{...},w\}$. Comunament, se supon que la figura de vèrtiç és un politopo finito, pero en ocasions pot considerar-se com un teselado mateix.

Un símbol de Schläfli pot representar a un poliedre convexo finito, un teselado infinit en l'espai euclidiano o un teselado infinit en l'espai hiperbòlic, depenent del defecte (angular) de la construcció. Un defecte positiu permet que la figura de vèrtiç es doble a una atra dimensió forma un llaç fins a trobar-se en si mateixa per a formar un politopo. Un defecte igual a zero omplirà l'espai de la mateixa dimensió que les facetes. Un defecte negatiu no pot existir en l'espai ordinari, pero pot construir-se en l'espai hiperbòlic.

Grups de simetria

Un símbol de Schläfli $\{p,q,r,\mathrm{...},w\}$ està estretament relacionat en els grups de simetria de reflexió, també cridats grups de Coxeter, format en els mateixos índexs, pero en lloc de claus, corchetes: $[p,q,r,\mathrm{...},w]$. A sovint es diuen tals grups com els politopos regulars que generen. Per ej. $[3,4]$ és el grup de Coxeter per a la simetria octaèdrica (O_h).

Vore també

• Estrela màgica
• Fractal (especialment cope de neu i anticopo de neu)
• Número

Notes

En geometria, el símbol de Schläfli és una notació simple de la forma

que proporciona un sumari d'algunes propietats importants d'un politopo regular o d'una teselación (teselado o emmanisat) regular. Deu el seu nom al matemàtic suís Ludwig Schläfli, qui va fer importants contribucions a la geometria i a atres àrees de la matemàtica.

Referències

• (1973) Regular polytopes, 3.ª edició (en anglés), Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.