Politopo regular

Un dodecaedre, un dels cinc sòlits platònics.

En matemàtiques, un politopo regular és una figura geomètrica en un alt grau de simetria.

Eixemple de politopos regulars en dos dimensions són el quadrat, el pentàgon i el hexàgon regular. En tres dimensions inclouen els sòlits platònics (poliedres regulars). Existixen eixemples també en dimensions superiors. Els círculs i les esferas, encara que altament simètrics, no són considerats politopos perque no tenen cares planes. La forta simetria dels politopos regulars els otorga una qualitat estètica que interessa als matemàtics.

Molts politopos regulars existixen en la naturalea i han segut coneguts des de la prehistòria. El més antic tractament matemàtic d'eixos objectes ve dels antics matemàtics grecs tals com Euclides. Verdaderament, Euclides va escriure un estudi sistemàtic de les matemàtiques, publicant-ho en el nom de Elements de Euclides, en el qual va construir una teoria llògica de la geometria i de la teoria dels números. El seu treball va concloure en descripcions matemàtiques dels cinc sòlits Platònics.

La definició dels politopos regulars va permanéixer estàtica per molts sigles despuix de Euclides. L'història de l'estudi dels politopos regulars ha segut una a on la definició va ser ampliada, permetent més i més diferents objectes a ser considerats entre el seu conjunt. Els cinc sòlits Platònics varen ser units, cap a la mitat del segon mileni, pels poliedres de Kepler-Poinsot. Al final de el XIX els matemàtics havien escomençat a considerar politopos regulars en quatre i més dimensions, tal com el teseracto o hipercubo i el 24cell. L'últim és difícil de visualisar, pero encara reté el plaer estètic simètric dels seus cosins de menors dimensions. Més difícils encara d'imaginar són els més moderns politopos regulars abstractes tal com el 57cell o el 11cell. Els matemàtics que estudien tals objectes insistixen, no obstant, que les qualitats estètiques d'eixos objectes permaneixen.

Evolució del concepte

Prehistòria

Als antics matemàtics grecs se'ls atribuïx normalment el descobriment dels poliedres regulars. Els primers registres escrits vénen d'autors grecs, els qui també varen formular la primera descripció matemàtica.

En la mar Mediterrànea va haver una atra civilisació, l'etrusca, que sembla haver precedit als grecs en el coneiximent d'a lo manco un d'eixos poliedres regulars, com es va evidenciar despuix del descobriment propenc a Pàdua (en el nort d'Itàlia) a finals del 1800 d'un dodecaedre fet de pedra sabó que data de fa més de 2500 anys (Lindemann, 1987). Es pot argumentar, no obstant, que la construcció d'esta forma va ser inspirada pel piritoedro (mencionat més alvance en este artícul), puix els minerals de pirita són relativament abundants en eixa part del món.

Prèviament encara als Etruscs, s'han trobat, en Escòcia pedres tallades en formes que mostren la simetria dels cinc sòlits platònics. Eixes pedres estan datades en uns 4,000 anys d'antiguetat. Mostren no solament la forma de cada u dels sòlits platònics sino també les relacions de dualitat entre ells (açò és, que els centres de les cares de la gaveta donen lloc als vèrtiços d'un octaedre, etc.) La pàgina de ^{[enllaç trencat]} en l'Ashmolean Museum en l'Universitat d'Oxford mostra eixemples d'estos poliedres. En tot, resulta impossible saber perqué es varen fer eixos objectes o en qué es va inspirar l'escultor.

No hi ha proves de que els Etruscs o els antics escocesos tingueren algun enteniment matemàtic dels sòlits regulars ni tampoc existix prova alguna de que no els tingueren. La raïl del descobriment humà dels politopos tridimensionals, particularment dels més simples, és segurament impossible de rastrejar. En tot cas, és el tractament que els antics matemàtics grecs varen donar als sòlits platònics lo que ha aplegat fins a nosatres i ha inspirat els nostres moderns càlculs matemàtics sobre ells.

Grècia antiga

Alguns autors (Sanford, 1930) atribuïxen a Pitágoras (550 a. C.) la caracterisació dels sòlits platònics, mentres que uns atres indiquen que solament va tindre coneiximent del tetraedre, el gaveta i el dodecaedre, corresponent el descobriment dels atres dos a Teateto, quí va formular una descripció matemàtica dels cinc (Van der Waerden, 1954), (Euclides, llibre XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, secció 1.9) afirma que Platón (400 a. C.) hauria fet ya models d'ells, i menciona que un dels primers pitagórico va usar els cinc sòlits donant una correspondència entre els poliedres i la naturalea de l'univers tal i com era percebut. És de Platón d'a on es deriva el terme de sòlits Platònics.

Poliedres estrela

Per casi 2000 anys, el concepte d'un politopo regular va permanéixer tal i com ho varen desenrollar els antics matemàtics grecs. Es pot caracterisar la definició grega com seguix: Un polígon regular és una figura plana convexa els costats de la qual i cantons són iguals. Un poliedre regular és una figura sòlida convexa que les seues cares són polígons regulars iguals els vèrtiços dels quals es toquen en el mateix número de polígons.

Esta definició descarta, per eixemple, a la piràmide quadrada en la qual encara que totes les cares són regulars, la base quadrada no és congruent als costats triangulars, o en la figura formada en unir dos tetraedres per una de les seues cares on encara que totes les cares són triànguls equiláteros regulars i iguals entre sí, alguns vèrtiços unixen tres triànguls i atres quatre.

Finalment, a principis de el XV, la següent generació de politopos regulars va escomençar a emergir. Els poliedres estrelats regulars són cridats sòlits de Kepler-Poinsot en honor a Johannes Kepler i Louis Poinsot. Estes figures contenen polígons regulars no-convexos, cridats pentagrames, formant cares que rodegen els vèrtiços. Els dos poliedres de Kepler varen ser construïts per uns atres abans d'ell pero Kepler va ser el primer en vore que es podien considerar com "regulars" si no es tenia en conte la restricció de que els politopos regulars han de ser convexos. Més vesprada, Poinsot va descobrir els dos que faltaven. Cayley els va donar noms anglesos que varen ser acceptats. Els de Kepler es varen cridar menut dodecaedre estrelat i gran dodecaedre estrelat, i els de Poinsot gran icosaedre i gran dodecaedre.

Els poliedres de Kepler-Poinsot es poden construïr a partir dels sòlits platònics per mig d'un procés cridat estrellamiento. Moltes estrellaciones no són regulars. L'estudi de les estrellaciones dels sòlits platònics va prendre fort impuls per gràcies H.S.M. Coxeter i uns atres en 1938, en l'ara famós artícul L'icosaedre 59. Este treball ha segut recentment republicado (Coxeter, 1999).

El procés reciproco del estrellamiento és el facetado. Cada estrellamiento d'un politopo és dual, o recíproca, a algun facetado del politopo dual. Els poliedres regulars estrelats poden també ser obtinguts al facetar els sòlits platònics. N.J. Bridge (1974) va classificar els facetados més simples del dodecaedre, i en buscar els seus recíprocs va descobrir un estrellamiento de l'icosaedre que no apareixia en el famós artícul L'icosaedre 59. S'han descobert més poliedres estrelats des de llavors, i l'història encara continua.

Politopos de més dimensions

No va ser fins a el XIX quan un matemàtic suís, Ludwig Schläfli, va examinar i va caracterisar els politopos regulars de més dimensions. Els seus esforços varen ser publicats por entero sis anys despuix de la seua mort (Schläfli, 1901), encara que parts de la seua investigació ya havien segut publicades en 1855 i 1858 (Schläfli, 1855), (Schläfli, 1858). Entre 1880 i 1900, els resultats de Schläfli varen ser redescubiertos independentment per a lo manco atres nou matemàtics (vore (Coxeter, 1948, pp. 143-144) para més detalls).

L'última referència és, provablement, el tractament imprés més clar dels resultats de Schläfli i uns atres fins a la data. Schläfli va mostrar que hi ha sis politopos regulars convexos en quatre dimensions, i solament tres quan les dimensions són cinc o més (les generalisacions del tetraedre, gaveta i octaedre). Poden trobar-se descripcions d'estos en la llista de politopos regulars. També són d'interés els politopos estrelats de quatre dimensions, no descoberts per Schläfli, i també estan descrits en la llista mencionada.

A l'inici de el XX, la definició d'un politopo regular es va establir com seguix: Un polígon regular és un polígon en tots els costats iguals i en tots els ànguls iguals. Un poliedre regular és un poliedre que les seues cares són polígons regulars congruents, i en tots les figures de vèrtiç congruents i regulars. De la mateixa manera, un n-politopo regular és un politopo n-dimensional en el qual totes les cares (n−1)-dimensionals són regulars i congruents, i en el qual els vèrtiços figurats són tots regulars i congruents.

L'última és una definició "recursiva". Definix la regularitat de figures de dimensions superiors en térmens de figures regulars d'una dimensió inferior. Hi ha una definició equivalent (no-recursiva), que establix que un politopo és regular si té un suficient grau de simetria.

Un n-politopo és regular si qualsevol llista consistent d'un vèrtiç, un costat que ho conté, una cara bidimensional que cntiene a abdós, i aixina fins a n − 1 dimensions poden ser proyectat a qualsevol un atre per una simetria del politopo.

Aixina, per eixemple, el gaveta és regular perque si triem un vèrtiç de la gaveta, un dels tres costats adjacents i una de les dos cares contenint el costat, llavors esta tripleta (vèrtiç, costat, cara) pot ser proyectada a qualsevol atra tripleta per una simetria adequada de la gaveta.

Politopos regulars abstractes

Artícul principal → Politopo abstracte.

En el XX, es varen realisar alguns desenrolls importants. Els grups de simetria dels politopos regulars clàssics es varen generalisar en lo que ara es denominen grups de Coxeter. Els grups de Coxeter també inclouen els grups simètrics de teselaciones de l'espai o del pla. Per eixemple, el grup de simetria d'un tauler d'escacs infinit seria un grup de Coxeter.

En els anys 1960 Branko Grünbaum va fer una crida a la comunitat matemàtica per a que es consideraren més tipos de politopos regulars abstractes, als que va denominar polistrómatas. Va desenrollar la teoria dels polistrómatas, mostrant eixemples de nous objectes que va nomenar apeirotopos regulars, açò és, politopos regulars en una infinitat de cares. Un eixemple senzill d'un apeirógono poguera ser un zig-zag. Sembla satisfer la definició d'un polígon regular; tots els costats tenen la mateixa llongitut, i tots els ànguls són iguals. I més important encara, hi ha simetria en el zig-zag que permeten partir la figura en dos parts iguals des de qualsevol vèrtiç.

El "hemicubo" es construïx a partir de la gaveta en tractar els costats oposts (de la mateixa manera que arestes i vèrtiços) com realment el mateix costat. Té tres cares, sis arestes i quatre vèrtiços

El "hemicubo" es construïx a partir de la gaveta en tractar els costats oposts (de la mateixa manera que arestes i vèrtiços) com realment el mateix costat. Té tres cares, sis arestes i quatre vèrtiços

Grünbaum també va descobrir el 11-cell, un bell poliedre tetradimensional autodual. L'11-cell és un objecte que les seues cares no són icosaedres, sino hemicosaedros, és dir, tenen la forma que s'obtindria si es consideren les cares opostes de l'icosaedre com una mateixa cara (Grünbaum, 1977). El hemicosaedro té solament 10 cares triangulars i 6 vèrtiços, a diferència de l'icosaedre, que té 20 i 12.

Este concepte pot ser més fàcil de aprehender per al llector si es considera la relació de la gaveta en el hemicubo. Una gaveta ordinària té 8 vèrtiços, que pogueren ser etiquetats d'a H, en A opost a H, B a G, etc. En un hemicubo, A i H serien tractats com el mateix vèrtiç; aixina també per a B i G, i per al restant d'elements. l'aresta AB vindria a ser la mateixa que GH, i la cara ABEF la mateixa cara que CDGH. La nova forma té solament tres cares, 6 arestes i 4 vèrtiços.

Uns pocs anys despuix del descobriment de Grünbaum del 11-cell, H.S.M. Coxeter va descobrir la mateixa forma de manera independent. Abans, Coxeter havia descobert un politopo similar, el 57-cell (Coxeter, 1982, 1984).

L'estudi dels polistrómatas va ser relegat quan els matemàtics varen canviar els seus interessos per atres conceptes abstractes similars, incloent els conceptes d'edificis i geometria, politopos abstractes, conjunts de Euler i uns atres. El 11-cell i el 57-cell permaneixen com a importants eixemples de politopos abstractes regulars.

Un politopo regular abstracte és definit com un conjunt, que se supon representa un conjunt de vèrtiços, costats i cares, etc. d'un politopo, en l'idea de quins d'eixos "cauen" en quins uns atres. S'imponen certes restriccions als conjunts, similars a les propietats que deuen satisfer els politopos regulars clàssics (incloent els sòlits platònics). Les restriccions, no obstant, són suficientment laxas per a que teselaciones regulars, hemicubos, i encara objectes estranys com l'11-cell o encara més estranys, siguen tots eixemples de politopos regulars. La teoria és, en bona mida, un desenroll de Egon Schulte i Peter McMullen (McMullen, 2002), pero atres investigadors també han realisat contribucions.

Construcció

Polígons

La forma tradicional de construir un polígon regular, o qualsevol atra figura del pla, és per mig de regla i compàs. Construir alguns polígons regulars és molt senzill (el més fàcil és possiblement el triàngul equilátero), mentres que alguns són més difícils o impossibles de construir. Els polígons regulars més simples impossibles de construir usant regla i compàs són els polígons de n costats en n igual a 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, i aixina successivament.

Poliedres

Els Elements de Euclídes (vore per eixemple Elements en espanyol) proporcionen un número de construccions en regla i compàs per als cinc sòlits platònics. No obstant, la sola pregunta pràctica de cóm es pot dibuixar una llínea recta en l'espai, encara en una regla, du a preguntar-se qué significa exactament "construir" un poliedre regular (per supost, la mateixa pregunta podria formular-se respecte dels polígons).

La paraula "construcció", tal com li l'ampra en geometria, té la connotació de seguir un procedmiento sistemàtic per a crear la cosa a construir. La forma més comuna de construir un poliedre regular és per mig de desplegament o desdoblament. Per a obtindre el desdoblament d'un poliedre, es pren la superfície del poliedre i es fan corts a lo llarc del número d'arestes suficient per a que la superfície puga yacer plana. Açò dona un pla del poliedre desplegat. Ya que les cares dels sòlits platònics són sol triànguls, quadrats i pentàgons, i tots eixos polígons poden ser construïts en regla i compàs, existixen métodos de regla i compàs per dibuixar eixos desdoblament. Lo mateixa s'aplica als poliedres de Kepler.

Si el desdoblament es dibuixa en cartó, o en un material que es puga doblar (per eixemple, fulls de metal), podria després ser tallat, doblat a lo llarc dels costats no tallats, unint a lo llarc dels costats tallats apropiats, i aixina formar el poliedre per al qual es va dissenyar el desdoblament. Per a un poliedre donat pugues haver molts desdoblament. Per eixemple, hi ha 11 per a la gaveta, i més de 40000 per al dodecaedre. Alguns desdoblament interessants de la gaveta, l'octaedre, el dodecaedre i l'icosaedre poden vore's en ací.

Numerosos joguets per a chiquets, generalment dirigits a la franja de preadolescentes i adolescents, permeten l'experimentació en polígons i poliedres regulars. Per eixemple, klikko proveïx conjunts de triànguls, quadrats, pentàgons i hexàgons plàstics que poden unir-se costat a costat en un gran número de formes diferents. Estos joguets permeten als chiquets redescrubrir els sòlits platònics (o els sòlits arquimedeanos), especialment si conten en ajuda d'un adult en coneiximents per a guiar-los.

En teoria, poden construir-se poliedres regulars en casi qualsevol material. ^{[enllaç trencat]} i ací, per eixemple, hi ha instruccions per a construir models amprant tècniques d'origami. Li'ls pot llaurar en fusta, modelar en aram, formar en cristal emplomado. L'imaginació és el llímit.

Dimensions superiors

Quan progressem cap a dimensions majors es torna més difícil dir qué s'entén per "construir" els objectes. Clarament, en un univers tridimensional, és impossible construir un model físic d'un objecte tetradimensional. Hi ha vàries aproximacions que s'usen normalment per a bregar en este problema.

El primer método és representar l'objecte de dimensions superiors en l'espai tridimensional, usant métodos anàlecs als empleats per a representar en el pla els objectes tridimensionals. Per eixemple, els desdoblament mencionats en la secció prèvia tenen equivalents en dimensions superiors. Podria imaginar-se encara construir un model d'este desdoblament tal com es dibuixa el desdoblament d'un poliedre en el paper. Desafortunadament, no serà possible fer el doblat de l'estructura necessari per a obtindre un politopo tetradimiensional, donades les restriccions de l'univers físic. Una atra forma de "dibuixar" les formes de dimensions superiors en tres dimensions és per mig d'alguna classe de proyecció, per eixemple, els anàlecs de la proyecció ortogràfica o de la perspectiva gràfica. El famós llibre de Coxeter sobre politopos (Coxeter, 1948) conté alguns eixemples de tals proyeccions ortogràfiques. Poden trobar-se atres eixemples en la web (per eixemple, ací). Note's que representar els objectes tetradimensionales directament en dos dimensions és molt confús. Els models tridimensionals de les proyeccions són més fàcils d'entendre; ocasionalment poden trobar-se estos models en museus de ciència o departaments de matemàtiques de les universitats (com en l'Université Lliure de Bruxelles).

Una animació del tall d'una secció travessera del 24-cell.

L'intersecció d'un politopo regular tetradimensional en un hiperplano tridimensional serà un politopo (no necessàriament regular). Movent el hiperplano a través de la forma, les "rebanadas" tridimensionals poden combinar-se i animar-se en una sòrt d'objecte tetradimensional, a on la quarta dimensió vindria a ser el temps. D'esta manera, per mig d'estos corts seccionales, podem vore (encara que no entendre completament) l'estructura completa en quatre dimensions d'un politopo tetradimensional regular. Este método és anàlec a la forma en que un tomógrafo axial computat reensambla imàgens bidimensionales per a formar una representació dels òrguens visualisats. L'ideal seria un holograma animat de qualsevol tipo; no obstant, encara una simple animació tal com la que es mostra pot oferir alguna apreciació llimitada de l'estructura del politopo.

Una atra forma en que un espectador tridimensional pot comprehender l'estructura d'un objecte cuatridimensional és a través de la "immersió" en l'objecte, possiblement via alguna forma de tecnologia de realitat virtual. Per a entendre com treballaria este método, imagine lo que voria si l'espai estiguera ple en gavetes. L'espectador estaria estar dins d'un de les gavetes, i seria capaç de vore gavetes enfronte, darrere, dalt, avall, l'esquerra i a la dreta de sí mateixa. Si es poguera viajar en eixes direccions, es podria explorar l'apany de gavetes i entendre la seua estructura geomètrica. Un apany infinit de gavetes no és un politopo en el sentit tradicional. De fet, és una dissecció del espai euclidiano tridimensional. No obstant, un politopo tetradimensional pot ser considerat una teselación d'un espai no euclidiano tridimensional, és dir, una teselación de la superfície d'una esfera tetradimensional. Localment, este espai es vorà com aquell en el que estem familiarizados, i per lo tant, es podria en principi programar un sistema de realitat virtual per a permetre l'exploració d'eixes "teselaciones", açò és, dels politopos regulars cuatridimensionales. El departament de matemàtiques de l'UIUC té un número d'imàgens de lo que es voria si l'observador estiguera en una teselación d'un espai hiperbòlic en dodecaedres. Tal teselación forma un eixemple d'un politopo regular abstracte infinit. Un eixemple pot vore's en ^{[enllaç trencat]}.

Normalment, per als politopos regulars abstractes, un matemàtic considera l'objecte com "construït" si es coneix l'estructura de la seua grup de simetria. Açò és aixina perque una important teorema en l'estudi dels politopos regulars abstractes proveïx una tècnica que permet construir el politopo regular abstracte del seu grup de simetria d'una manera directa i estàndar.

Vore també

Referències

(Bridge, 1974) Bridge, N. J.; Facetting the Dodecahedron Acta Crystallographica A30 pp548–552.
(Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
(Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Tingues Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
(Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
(Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
(Curl, 1991) Curl, R. F.; Smalley, R. E.; Fullerenes, Scientific American 265 4 (1991) pp32–41.
(Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
(Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, in Problèmes Combinatoires et Théorie dones Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
(Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
(Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
(McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)

(Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
(Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Unix Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
(Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ⁿdxdy...dz, Whose Limits Llaure $p_{1}$ =a₁x+b₁i+... +h₁z>0, $p_{2} > 0, ..., p_{n} > 0$ and $x^{2} + y^{2} + ... + z^{2} < 1$ Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
(Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
(Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
(Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.

Este artícul conté una traducció derivada de «Politopo regular» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.