Operador unitari

En anàlisis funcional un operador unitari és un operador llineal O : H → H en un espai de Hilbert que satisfà:

$U^{*}U=U{U}^{*}=I$

a on O^∗ és l'operador adjunt de O, i I : H → H és l'operador identitat. És equivalent a lo següent:

1. El ranc de O és un conjunt dens, i
2. O conserva el producte escalar 〈  ,  〉 en l'espai de Hilbert , i.i. para tot vector x i i en l'espai de Hilbert,

$⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩.$

Per a comprendre açò cal tindre en conte que el fet de que O conserve el producte escalar implica que O és una isometría. El fet de que O tinga un ranc dens assegura que tinga invers O⁻¹. Està clar que O⁻¹ = O^∗.

Ademés, els operadors unitaris són automorfismes de l'espai de Hilbert i.i. preserven la seua estructura (en este cas, l'estructura llineal de l'espai, el producte escalar i per tant la topología de l'espai en el que actuen. El grup de tots els operadors unitaris d'un espai de Hilbert donat H es denomina grup de Hilbert de H, denotat Hilb(H)

La condició O^∗O = I definix la isometría. Una atra condició O O^∗ = I definix la coisometría

Un element unitari és una generalisació d'un operador unitari. En una àlgebra unitària, un element O de l'àlgebra es denomina unitari si:

$U^{*}U=U{U}^{*}=I$

a on I és l'element identitat.

Eixemples

La funció identitat és trivialmente un operador unitari

Rotacions en R² són els eixemples més simples no trivials d'operadors unitaris. Les rotacions no canvien la llongitut d'un vector o l'àngul entre dos vectores. Este eixemple es pot generalisar a Rⁿ.

En l'espai vectorial C dels número complejo, la multiplicació per un número de norma 1, és dir, un número de la forma i^{i θ} per a θ ∈ R, és un operador unitari. θ es denomina la fase i a esta multiplicació es denomina multiplicació per una fase. Note's que el valor de θ mòdul 2π no afecta al resultat de la multiplicació, de modo que els operadors unitaris en C estan parametrizados en una circumferència. El grup corresponent es denomina O(1).

En general, les matrius unitàries són precisament els operadors unitaris en espais de Hilbert de dimensió finita, de modo que la noció d'operador unitari és la generalisació de matriu unitària. Les matrius ortogonals són un cas particular de matrius unitàries en les quals totes les entrades són reals (són els operadors unitaris en Rⁿ).

l'operador de Fourier és un operador unitari, i.i. l'operador que efectua la transformada de Fourier (en la normalisació adequada). Açò se seguix de l'identitat de Parseval.

Els operador unitaris són amprats en representacions unitàries.

Valors propis

Com a conseqüència de la seua definició, els valors propis d'un operador unitari són fases, és dir, número complejo de mòdul unitat.

Demostració

Siga $|a⟩$ un vector propi d'en valor propi $\lambda$. Considerem que hem construït una base ortonormal de manera que $⟨a_i|a_j⟩={\delta }_{ij}$ . Llavors tenim que:

$⟨a|a⟩=1$; podem introduir l'identitat $A^{†}A=I$

$⟨a|A^{†}Aa⟩=1$; passem al bra l'operador de l'esquerra complex-conjugat

$⟨Aa|Aa⟩=1$; apliquem que $A|a⟩=\lambda |a⟩$

$⟨\lambda a|\lambda a⟩=1$; traem els valors propis tenint en conte que el de l'esquerra ix complex-conjugat

${\lambda }^{*}\lambda ⟨a|a⟩=1$; com són ortonormals

$⟨a|a⟩=1$

Llavors $|\lambda {|}^2=1$; d'a on deduïm que el valor propi deu ser una fase: $\lambda =e^{i\varphi }$