Identitat de Parseval

En àlgebra, la identitat de Parseval, també coneguda com la igualtat de Parseval, és una generalisació del teorema de Pitágoras aplicat als espais de Hilbert separables. Si B és una base ortonormal en un espai vectorial producte intern de dimensió finita $q$, llavors

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩=\sum _{i=1}^q{|⟨v_i,x⟩|}^2$

El nom procedix de la relació de Parseval per a les séries de Fourier, que és un cas especial.

L'identitat de Parseval es pot demostrar per mig del teorema de Riesz-Fischer.

Demostració

Siga $B=\{v_1,v_2,\mathrm{...},v_q\}$ una base ortogonal d'un espai producte intern ${\mathrm{V}}_{𝕂}$ de cos $𝕂$, $(𝕂=ℝ$ o $𝕂=ℂ)$

Es demostra que $\mathrm{\forall }x\in {\mathrm{V}}_{𝕂}$:

$x=\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{v}_i$

llavors ${\alpha }_i=\frac{⟨x,v_i⟩}{||v_i|{|}^2}$ , en $i=1,2,\mathrm{...},q$

a on ${\alpha }_i$ són les coordenades en base $B$ del vector $x$. Llavors

$x=\sum _{i=1}^q\frac{⟨x,v_i⟩}{||v_i|{|}^2}{v}_i$

Si la base $B$ és ortonormal, $||v_i||=1$, llavors resulta:

$x\doteq \sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i$

Per a este cas, pot calcular-se:

$\begin{array}{cc}||x|{|}^2& =⟨x,x⟩\\ & =⟨\sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i,\sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i⟩\\ & =⟨⟨v_1,x⟩v_1,⟨v_1,x⟩v_1⟩+⟨⟨v_2,x⟩v_2,⟨v_2,x⟩v_2⟩+\cdots +⟨⟨v_q,x⟩v_q,⟨v_q,x⟩v_q⟩\end{array}$

Per dos dels axioma del producte intern, $(x,zy)=\overline{z}(x,y)$, en $z\in 𝕂$ i $(x,y)=\overline{(y,x)}$

resulta $(z^{\prime }x,zy)=\overline{z^{\prime }\overline{z}(y,x)}=z\overline{z^{\prime }}\overline{(y,x)}$ en $z$ i $z^{\prime }\in 𝕂$ , llavors:

$||x|{|}^2=(\overline{(v_1,x)}(v_1,x)(v_1,v_1))+(\overline{(v_2,x)}(v_2,x)(v_2,v_2))+\mathrm{...}+(\overline{(v_q,x)}(v_q,x)(v_q,v_q))$

Com $(v_i,v_i)=||v_i|{|}^2$, i la base $B$ és ortonormal $\Rightarrow ||v_i||=1$.

Ademés, usant la propietat dels número complexos, $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$, en $z\in 𝕂$ llavors:

$||x|{|}^2=|(v_1,x){|}^2+|(v_2,x){|}^2+\cdots +|(v_q,x){|}^2$

quedant llavors l'expressió

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^q{|(v_i,x)|}^2$

Relació en séries de Fourier

Informalment podem expressar l'identitat de Parseval aplicada a les séries de Fourier, tant en forma complexa com a real.

Forma complexa (o exponencial):

$\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{|f(x)|}^2\mathrm{d}x=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$

Forma real (o trigonométrica):

$\frac{2}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{|f(x)|}^2\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$

Sent $T$ el periodo i $c_n$, $a_n$, $b_n$ els coeficients de Fourier complexos i reals respectivament. (Ací s'utilisa la convenció de que $a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm{d}x$, en un atre cas el coeficient de $a_0^2$ serà diferent).

Vore també

• Série de Fourier
• Desigualtat de Bessel

Referències

Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apunts teòrics personals d'Àlgebra II - Facultat d'Ingenieria de l'Universitat de Buenos Aires, Argentina