Relació de Parseval

En matemàtiques, la Relació de Parseval demostra que la Transformada de Fourier és unitària; és dir, que la suma (o l'integral) del quadrat d'una funció és igual a la suma (o a l'integral) del quadrat del seu transformada. Esta relació procedix d'una teorema de 1799 sobre séries, el creador de les quals va ser Marc Antoine Parseval. Esta relació es va aplicar més vesprada a les Séries de Fourier.

Encara que la Relació de Parseval se sol usar per a indicar l'unicitat de qualsevol transformada de Fourier, sobretot en física i ingenieria, la forma generalisada d'esta teorema és la Relació de Plancherel.

Definició

En física i ingenieria, la Relació de Parseval se sol escriure com:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t){|}^{2}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|ℱ[f(t)](\alpha ){|}^{2}d\alpha$

a on $ℱ[f(t)](\alpha )$ representa la transformada contínua de Fourier de $f(t)$ i $\alpha$ representa la freqüència (en hercios) de $f$.

L'interpretació d'esta fòrmula és que l'energia total de la senyal $f(t)$ és igual a l'energia total de la seua transformada de Fourier $ℱ[f(t)]$ a lo llarc de totes les seues components frecuenciales.

Per a senyals de temps discret, la relació és la següent:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x[n]{|}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}|X(e^{i\varphi }){|}^{2}d\varphi$

a on $X$ és la transformada de Fourier de temps discret (DTFT) de $x$ i $\varphi$ representa la freqüència angular (en radianes) de $x$.

Per un atre costat, per a la transformada discreta de Fourier (DFT), la relació és:

$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2$

a on $X[k]$ és la DFT de $x[n]$, abdós de llongitut $N$.

Vore també

• Desigualtat de Bessel
• Identitat de Parseval

Referències

• Plantilla:Obra citada/núcleo.
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: Sant Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: Sant Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Clave Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.