Transformada integral

Una transformada integral és qualsevol transformació $T$ aplicada sobre una funció $f(t)$ de la forma següent:

L'entrada d'esta funció $T$ és una funció $f(t)$, i l'eixida una atra funció $F(u)$. Una transformada és un tipo especial d'operador matemàtic. En ella $t_1$ i $t_2$ són dos valors que depenen de la seua definició, i poden variar des de $-\mathrm{\infty }$ fins a $+\mathrm{\infty }$.

Hi ha numeroses transformades integrals útils. Cada una depén de la funció $K$de dos variables triada, cridada la funció núcleu o kernel de la transformació. Alguns núcleus tenen una funció $K$ inversa associada, $K^{-1}(u,t)$ , que (més o menys) dona una transformada inversa:

Un núcleu simètric és el que és inalterado quan les dos variables són permutades.

Motivació

La motivació darrere de les transformacions integrals és fàcil d'entendre. Hi ha moltes classes de problemes que són difícils de solucionar - o a lo manco algebraicamente poc grats - en les seues representacions originals. Una transformada integral "mapea" una equació del seu domini original a un atre domini adequat (per eixemple,una funció senoidal "en el domini del temps" pot ser representada com un fasor "en el domini de la freqüència"). La manipulació i la solució de l'equació en el domini objectiu són, quan el método està ben triat, molt més fàcils que la manipulació i la solució en el domini original. La solució llavors és re-mapeada al domini original en la transformada inversa.

La transformada integral funciona perque està basada en el concepte de la "factorización espectral" sobre bases ortonormals. Lo que açò significa és que, en algunes excepcions a voltes prou artificials, funcions arbitrariamente complicades poden ser representades com les sumes de funcions molt més simples.

Història

Precursores de les transformades són les séries de Fourier, que expressen funcions en intervals finitos. Més vesprada va ser desenrollada la transformada de Fourier per a llevar l'exigència dels intervals finitos.

Usant la série de Fourier, més o menys qualsevol funció pràctica de temps (p. eix. el voltage a través dels terminals d'un dispositiu electrònic) pot ser representada com una suma de sens i cosenos, cada u convenientment escalat (multiplicat per un valor constant), desplaçat (alvanç o retart en el temps) o comprimit/expandit (increment o decremento de freqüència). Els sens i cosenos en la série Fourier són un eixemple d'una base ortonormal.

L'aplicació de les transformades integrals per a resoldre problemes pràctics va ser introduïda per l'ingenier anglés Oliver Heaviside, quí no es va preocupar de demostrar escrupulosament els seus descobriments matemàtics, els que varen ser despreciats per la comunitat matemàtica fins al cap de la seua mort. Hui el seu aportes matemàtics es consideren dins dels més importants de el XIX.

Bibliografia

• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.