Matriu de Gram

En àlgebra llineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectorés $v_1,\dots ,v_n$ en un espai prehilbertiano, és la matriu que definix el producte escalar, les entrades del qual vénen donades per $G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$. Deu el seu nom al matemàtic danés Jørgen Pedersen Gram.

Propietats

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada que complix les següents propietats:

• És hermítica o hermitiana, segons lo que postula Charles Hermite

$g_{ij}=g_{ji}^{*}$

En cas que els vectores siguen reals, la matriu de Gram és simètrica.

$g_{ij}=g_{ji}$

• És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinidas positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectores. Dit conjunt de vectores generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia de dimensió infinita d'esta teorema és el Teorema de Mercer.
• Els determinants dels menors principals són tots positius. És dir:

$|G_i|>0i=1,\dots ,n;\text{ siendo }{G}_i=\left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& \cdots & g_{1i}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ g_{i1}& \cdots & g_{ii}\end{array}\right)$

Aplicacions

Una de les aplicacions més importants de dita matriu és la comprovació de l'independència llineal: un conjunt de vectores serà linealmente independent si i només si el determinant de Gram no és nul.