Camí (topología)

Punts d'un camí de $A$ a $B$ en ${ℝ}^2$.

En matemàtiques i, en particular, en anàlisis complex i topología, un camí és, intuitivament, una successió contínua de punts des d'un punt inicial cap a un punt final. També parlem de camine orientat per a distinguir, per a la mateixa representació geomètrica d'un camí (vore el dibuix de dalt, per eixemple), el camí que la recorre des de $A$ fins a $B$ del que ho fa des de $B$ fins a $A$.

Definicions

Siga $X$ un espai topològic. Cridem camí o arc en $X$ a qualsevol $\gamma :[0,1]\to X$ contínua. Una manera intuïtiva d'imaginar-se un camí és entendre $[0,1]$ com un interval de temps (un minut, per eixemple) i que $\gamma$ dona les posicions que seguix un punt de $X$ en eixe temps. El camí seria la trayectòria que ha recorregut eixe punt.

El punt inicial del camí és $\gamma (0)$ (el punt de partida del recorregut en $X$) i el punt final és $\gamma (1)$ (el punt al que aplega passat el temps). Estos dos punts es diuen indistintament els extrems del camí. Quan $A$ designa el punt inicial i $B$ el punt final del camí (vore figura dalt), parlem de "camí que conecta $A$ en $B$" o "camí de $A$ a $B$".

cal recalcar que un camí no és només un subconjunt de $X$ "semblat a una curva", sino que també inclou una "parametrización". Açò és, un camí no és només la representació geomètrica del camí sino cóm ho recorre. Dos camins que recórreguen la mateixa trayectòria pero a velocitats distintes es consideren camins distints, per eixemple. Per donar un eixemple concret, les aplicacions $f(x)=x$ i $g(x)=x^2$ representen dos camins diferents en la recta real $ℝ$, encara que abdós vagen des del 0 fins a l'1: el primer ho fa a velocitat constant i el segon accelerant. De la mateixa manera, si considerem una lemniscata de Bernoulli, esta pot ser "recorreguda" (des del centre fins al centre) de dos maneres diferents anant abdós a velocitat constant, una que escomença pel costat esquerre i una atra pel dret, mentres que la lemniscata com a conjunt de punts recorregut és igual en abdós casos.Si $n\in \mathbb{Z},{\epsilon }_n:[0,1]\to ℂ,t\mapsto e^{2\pi int}$, recorre el círcul unitari complet, pero cada punt d'este círcul s'obté per a $|n|$ valors distints de $t$, és dir, ${\epsilon }_n$ "recorre el círcul unitari $n$ voltes” (les voltes es conten en positiu si es recorre en el sentit contrari de les agulles del rellonge i negatiu en cas contrari).

El conjunt de tots els camins en $X$ forma un espai topològic en una fibración en $X$.

Un camí tancat en $X$ és un camí que els seus dos extrems són idèntics (acaba a on va escomençar). En particular, si $\gamma$ és constant, $\gamma ([0,1])$ és un camí tancat que es reduïx a un sol punt (ho cridem el camí constant en $p=\gamma (0)$).

Un espai topològic en $X$ en el que qualsevol parell de punts $A,B$ es poden conectar per un camí (existix un camí en punt inicial $A$ i punt final $B$) es denomina conexo per camins. Qualsevol espai es pot descompondre en un conjunt de components conexas per camins (les classes d'equivalència per la relació $A\sim B\iff \mathrm{\exists }$ camí de $A$ a $B$). El conjunt de components conexas per camins d'un espai $X$ se sol denotar ${\pi }_0(X)$ .

Homotopía de camins

Una homotopía entre dos camins.

Els camins són un tema central d'estudi per a la branca de topología algebraica cridada teoria de la homotopía. Una homotopía de camins és, a grans traces, una transformació contínua d'un camí en un atre sense moure els extrems.

Formalment, una homotopía de camins en $X$ és una família de camins $f_t:[0,1]\to X$ indexats per $[0,1]$ tal que

• $f_t(0)=x_0$ i $f_t(1)=x_1$ són fixos;
• l'aplicació $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ definida per $F(s,t)=f_t(s)$ és contínua.

Podem entendre una homotopía com una aplicació que transforma un camí $f_0$ en un camí $f_1$ contínuament sense canviar els seus extrems en l'interval de temps $[0,1]$. Açò justifica que l'aplicació $F$ anterior es denomine homotopía de $f_0$ a $f_1$. Cada u dels camins $f_t$ és el camí en el $f_0$ s'ha transformat en el temps $t$ a mida que es transforma en $f_1$.

Els dos camins $f_0$ i $f_1$ conectats per una homotopía es diuen homótopos. També podem definir una homotopía de camins tancats deixant fix el punt base (el punt inicial i final, que són el mateix).

La relació de homotopía (dos camins estan relacionats si són homótopos) és una relació d'equivalència entre els camins d'un espai topològic. La classe d'equivalència del camí $f$ per esta relació es diu classe de homotopía de $f$ i a sovint es denota $[f]$.

Bibliografia

• Ronald Brown (2006). Topology and Groupoids (en en), Booksurge PLC.
• J. Peter May (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (en en), University of Chicago Press.
• James Munkres (2000). Topology (en en), Prentice Hall, pp. 537. ISBN 978-0-13-181629-9.