Superfície (topología)
ㅤPer a una cobertura més àmplia d'este tema, vore: Superfície (matemàtiques)
En la part de les matemàtiques denominada topología, una superfície és una varietat bidimensional. Algunes superfícies sorgixen com a llímits de sòlits tridimensionals; per eixemple, l'esfera és el llímit del sòlit bola. Atres superfícies sorgixen com a gràfics de funcions de dos variables; vore la figura de la dreta. No obstant, les superfícies també poden definir-se de forma abstracta, sense referència a cap espai ambiental. Per eixemple, la botella de Klein és una superfície que no pot incrustar-se en un espai euclidiano tridimensional.
Les superfícies topològiques estan a voltes dotades d'informació adicional, com una mètrica de Riemann o una estructura complexa, lo que les conecta en atres disciplines matemàtiques, com la geometria diferencial i l'anàlisis complex. Les distintes nocions matemàtiques de superfície poden utilisar-se per a modelizar superfícies en el món físic.
En general
[editar | editar còdic]
En matemàtiques, una superfície és una forma geomètrica que s'assembla a un pla deformat. Els eixemples més coneguts sorgixen com a llímits d'objectes sòlits en l'espai euclidiano ordinari R3, com les esferes. La definició exacta d'una superfície pot dependre del context. Normalment, en la geometria algebraica, una superfície pot creuar-se a sí mateixa (i pot tindre atres singularitats), mentres que no pot fer-ho en topología i la geometria diferencial.
Propietats i tipos de superfícies
[editar | editar còdic]Les superfícies usuals són versions curvades del pla, de fet són localment homeomorfas a ell. No és estrany per tant que varis tipos de superfícies interessants en les aplicacions, es definixquen a partir de propietats de curvatura respecte al pla euclídeo o en térmens d'isometría. Ademés atres conceptes topològics interessants com l'orientabilidad permeten expressar formalment certes propietats de les superfícies.
Superfícies tancades
[editar | editar còdic]
Intuitivamente una superfície tancada en l'espai tridimensional és qualsevol superfície que tanca un volum, dividint a dit espai en una regió "acotada" i una regió "no acotada". En 4 o més dimensions també existixen superfícies tancades pero la noció intuïtiva anterior no és vàlida, ya que les superfícies tancades en més dimensions no dividixen a l'espai d'esta forma.
- Pot comprovar-se que en tres dimensions una superfície sense vora tanca un volum, com per eixemple l'esfera i el bou o "dònut", estes superfícies són ademés superfícies orientables. De fet totes les superfícies tancades immerses en l'espai tridimensional són orientables, a diferència de lo que ocorre en més dimensions.
- Atres superfícies tancades més exòtiques són el pla proyectivo i la botella de Klein (definible en 4 dimensions).
- Un disc (en ), un cilindre d'altura finita o la banda de Möbius són eixemples de superfícies en frontera. Com l'image de la dreta.
Superfícies desarrollables, reglades i alabeadas
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Superfície desarrollable.
Algunes superfícies tenen propietats interessants que són expressables en térmens de la seua curvatura, estos tipos són les superfícies desarrollables, reglades i alabeadas:
- Intuitivamente una superfície és desarrollable si pot fabricar-se a partir d'un pla euclídeo per mig de "doblat". El con i el cilindre són desarrollables, la qual cosa es manifesta que es poden construir models apropiats a partir d'un full de paper o cartulina plana. Formalment donada una superfície desarrollable existix una isometría entre la superfície i el pla euclídeo. Una condició necessària i suficient per a que una superfície es desarrollable, es desprén del theorema egregium de Gauss, és que la curvatura gaussiana de dita superfície siga idénticamente nula.
- Una superfície és reglada quan el pla tangente per a cada punt de la mateixa conté una llínea recta completament continguda sobre la superfície. Una condició necessària és que la segona forma fonamental siga en eixe punt una forma quadràtica indefinida i per tant la curvatura gaussiana és negativa.
- Una superfície alabeada és una superfície reglada i no-desarrollable.
Superfícies orientables
[editar | editar còdic]
Una última propietat menys intuïtiva és la de orientabilidad, que permet distinguir entre superfícies orientables i no-orientables. Una superfície orientable pot definir-se simplement com una varietat orientable de dimensió dos, a on tota curva tancada simple continguda té un veïnat regular homeomorfa a un cilindre obert. Qualsevol varietat de dimensió dos que no és orientable és una superfície no-orientable. Açò és, existix a lo manco una curva tancada simple continguda que té un veïnat regular homeomorfa a una banda de Möbius.
Les superfícies orientables tancades tenen la propietat de dividir l'espai tridimensional (a on sempre poden ser encaixades) en dos regions diferents i disjuntas: una acotada per dita superfície que és de volum finito i una atra no acotada exterior a dit volum.
Este terme s'utilisa per a distinguir-les de les superfícies que no tanquen res en el seu interior, com un pla infinit en referència a l'espai tridimensional. És impossible parlar de que les superfícies no orientables dividixquen l'espai tridimensional puix estes superfícies no poden ser encaixades en ell.
Vore també
[editar | editar còdic]- Varietat diferenciable
- Varietat algebraica
- Varietat topològica
- Geometria diferencial de superfícies
- Àrea
- Cuádrica
- Este artícul conté una traducció derivada de «Superficie (topología)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.