Conjunt de nivell

Archiu:Trybin.png

Conjunt de nivell

Siga $H$ un conjunt i $f:H\to ℝ$ un camp escalar sobre $H$. El conjunt de nivell $C_k$ per a la funció $f$ és el subconjunt de punts $x$ en $H$ per als quals $f(x)=k$.

En símbols:

$C_k=\{x\in H|f(x)=k\}.$

Un conjunt de nivell pot coincidir en el conjunt buit.

• Si $H={ℝ}^2$ els conjunts de nivell són en general curves i li les crida curves de nivell.
• Si $H={ℝ}^3$ els conjunts de nivell solen ser superfícies i se'ls crida superfícies de nivell.
• Per a dimensions majors, no es conta en una representació gràfica d'estos conjunts.

Aplicacions

• En cartografia, les curves de nivell unixen els punts d'un mapa que es troben a la mateixa altura (cota). Quan representen els punts d'igual profunditat en l'oceà i en la mar, aixina com en llac de grans dimensions, es denominen isóbatas
• En meteorologia, les curves de nivell se solen usar per a unir punts que tenen la mateixa pressió (isobara).
• En electromagnetisme, les curves o superfícies de nivell poden representar conjunts que tenen un mateix potencial.

Conjunts de nivell i gradient

Un eixemple de curves de nivell (blau) i curves integrals (roig)

Un eixemple de curves de nivell (blau) i curves integrals (roig)

Si el conjunt $H$ coincidix en ${ℝ}^n$ i el camp escalar $f$ és de classe $C^1$ llavors els vectores gradient del camp escalar són ortogonals als conjunts de nivell en el següent sentit: Siga $C_k$ un conjunt de nivell i $c:I\subset ℝ\to C_k$ una curva diferenciable. Els vectores gradient del camp $f$ sobre la curva, són ortogonals als vectores velocitat de la curva.

En efecte, per a tot $t$ en $I$,

$f(c(t))=k.$

Derivant respecte de $t$ s'obté (usant la derivada d'una composició de funcions)

$\mathrm{\nabla }f(c(t))\cdot c^{\prime }(t)=0$

En particular, les curves integrals associades al camp vectorial generat pel gradient de $f$ són "ortogonals" als conjunts de nivell associades a dita funció.

En física, estes curves integrals li les sol cridar llínees de camp o llínees de força, segons el context.