Espai regular

Axioma de separació en espais topològics
T0
T1
T2
T2½
completament T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En matemàtiques, i més concretament en topología general, es diu que un espai topològic X és un espai regular quan és possible separar tot conjunt tancat de qualsevol dels seus punts exteriors, en el sentit de que pertanyen a veïnats separats.

La condició de regular, que es denota per T₃, és un dels denominats axioma de separació. En ocasions es reserva la denominació T₃ per als espais de Hausdorff regulars, és dir, que ademés són espais de Hausdorff.

Definició

El punt x i el conjunt tancat F (representat pel disc sòlit de la dreta) estan separats pels seus respectius entorns oberts O i V, que no es solapan. Els entorns oberts són els espai interiors a cada circumferència.

Un espai topològic X és un espai regular quan para cada conjunt tancat F de X i cada punt x que no pertany a F, existixen dos entorns oberts, O de x i V de F, que són disjuntos: $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$.

Proposició

Considerem un espai topològic (X, T) . Llavors els següents enunciats són equivalents:

1. X és un espai regular.
2. Si O és un obert de X i t ∈ O, llavors existix un obert W de X tal que t ∈ W i la adherencia de W està continguda en

O # Qualsevol punt de X té un sistema fonamental de veïnats tancats.

Aclariment i definició

En general a un espai topològic regular i $T_1$ se'ls denomina $T_3$.

És clar que si X és un espai T1 i regular llavors és de Hausdorff (ya que en els espais T1 els conjunts unipuntuales són conjunts tancats). No obstant, hi ha eixemples d'espais Hausdorff no regulars. Per al cas d'espais compactes, ser Hausdorff i ser regular són propietats equivalents.

Una caracterisació dels espais regulars (no es necessita que els punts siguen tancats) està donada per la següent proposició: un espai X és regular si i solament si para tot $z\in X$ i O entorn de z existix un entorn V de z tal que $\overline{V}\subseteq U$.

Eixemples

• L'espai topològic ℝ en la topología usual és un espai regular.
• Siga S un conjunt proveït de topología trivial. Llavors S és un espai regular
• Siga el conjunt ℝ i la topología sobre ell, T = {∅, ℚ, ℝℚ, ℝ}, llavors (ℝ, T) és un espai regular, pero no és un espai de Hausdorff
• l'espai de Sierpinski no és T₃.

Vore també

• Axioma de separació
• Espai de Kolmogórov (T₀)
• Espai de Fréchet (T₁)
• Espai de Hausdorff (T₂)
• Espai completament de Hausdorff
• Espai de Tíjonov (T_3½)
• Espai normal

Bibliografia

• (2000) «The separation axioms», Topology, segona edició (en anglés), Prentice Hall, pp. 195-197. ISBN 0-13-181629-2.