Coordenades toroidales

Erro al crear miniatura:

Ilustració d'un sistema de coordenades toroidales, que s'obtenen girant un sistema de coordenades bipolars bidimensional al voltant de l'eix que separa els seus dos focs. Els focs estan situats a una distància 1 de l'eix vertical z. La porció de l'esfera roja que es troba sobre el pla $xy$ és la isosuperficie σ = 30°, el bou blau és la isosuperficie τ = 0.5 i el semiplano groc és la φ =  Isosuperficie de 60°. El semiplano vert marca el pla x-z, des del qual es medix φ. El punt negre està ubicat en l'intersecció de les isosuperficies roja, blava i groga, aproximadament en coordenades cartesianas (0,996, -1,725, 1,911)

Les coordenades toroidales són un sistema de coordenades tridimensionals ortogonals que resulta de girar l'un sistema de coordenades bipolars bidimensional al voltant de l'eix que separa els seus dos focs. Per lo tant, els dos focs, $F_1$ i $F_2$ en coordenades bipolars es convertixen en un anell de radi $a$ en el pla $xy$ del sistema de coordenades toroidales; sent l'eix $z$ l'eix de rotació. L'anell focal també es coneix com a círcul de referència.

Definició

La definició més comuna de les coordenades toroidales $(\tau ,\sigma ,\varphi )$ és

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\cos \varphi$

$y=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\sin \varphi$

$z=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

junt en $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(z$). La coordenada $\sigma$ d'un punt $P$ és igual a l'àngul $F_{1}P{F}_2$ i la coordenada $\tau$ és igual al logaritmo de la relació de les distàncies $d_1$ i $d_2$ a costats oposts de l'anell focal.

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}.$

Els rancs de coordenades són $-\pi <\sigma \le \pi$, $\tau \ge 0$ i $0\le \varphi <2\pi .$.

Superfícies de coordenades

Erro al crear miniatura:

En girar el sistema de coordenades bipolars bidimensional al voltant de l'eix vertical es produïx el sistema de coordenades toroidales tridimensional de dalt. Un círcul en l'eix vertical es convertix en una esfera (color roig), mentres que un círcul en l'eix horisontal es convertix en un bou (color blau)

Superfícies de $\sigma$ constant corresponen a esferes de diferents ràdios

$(x^2+y^2)+{(z-a\cot \sigma )}^2=\frac{a^2}{{\sin }^2\sigma }$

de manera que totes passen a través de l'anell focal, pero no són concèntriques. Les superfícies de $\tau$ constant són bous que no es creuen i de diferents ràdios

$z^2+{(\sqrt{x^2+y^2}-a\coth \tau )}^2=\frac{a^2}{{\sinh }^2\tau }$

de manera que rodegen l'anell focal. Els centres de les esferes $\sigma$ constant es troben en l'eix $z$, mentres que els bous de $\tau$ constant estan centrats en el pla $xy$.

Transformació inversa

Les coordenades $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ es poden calcular a partir de les coordenades cartesianas (x, i, z) de la següent manera. L'àngul assimutal $\varphi$ ve dau per la fòrmula

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$

El radi cilíndric $\rho$ del punt P ve dau per

${\rho }^2=x^2+y^2={\left(a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\right)}^2$

i les seues distàncies als focs en el pla definit per $\varphi$ estan donades per

$d_1^2=(\rho +a{)}^2+z^2$

$d_2^2=(\rho -a{)}^2+z^2$

Erro al crear miniatura:

Interpretació geomètrica de les coordenades σ i τ d'un punt P. Observades en el pla d'àngul assimutal constant $\varphi$, les coordenades toroidales són equivalents a unes coordenades bipolars. L'àngul $\sigma$ està format pels dos focs en este pla i P, mentres que $\tau$ és el logaritmo de la relació de distàncies als focs. Els círculs corresponents de les constants $\sigma$ i $\tau$ es mostren en roig i en blau, respectivament, i es troben en àngul recte (quadre magenta). Són ortogonals entre sí

La coordenada $\tau$ és igual al logaritmo del cocient de les distàncies focals

$\tau =\ln \frac{d_1}{d_2}$

mentres que $|\sigma |$ és igual a l'àngul entre els rajos i els focs, que pot determinar-se a partir del teorema del coseno

$\cos \sigma =\frac{d_1^2+d_2^2-4a^2}{2d_1{d}_2}.$

O explícitament, inclós el signe,

$\sigma =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(z)\arccos \frac{r^2-a^2}{\sqrt{(r^2-a^2{)}^2+4a^2{z}^2}}$

a on $r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}$.

Les transformacions entre coordenades cilíndriques i toroidales es poden expressar en notació complexa com

$z+i\rho =ia\coth \frac{\tau +i\sigma }{2},$

$\tau +i\sigma =\ln \frac{z+i(\rho +a)}{z+i(\rho -a)}.$

Factors d'escala

Els factors d'escala per a les coordenades toroidales $\sigma$ i $\tau$ són iguals entre sí

$h_{\sigma }=h_{\tau }=\frac{a}{\cosh \tau -\cos \sigma }$

mentres que el factor d'escala assimutal és igual a

$h_{\varphi }=\frac{a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

Per lo tant, l'element de volum infinitesimal és igual a

$dV=\frac{a^3\sinh \tau }{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}d\sigma d\tau d\varphi$

Operadors diferencials

El laplaciano ve dau per

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi =\frac{{(\cosh \tau -\cos \sigma )}^3}{a^2\sinh \tau }& [\sinh \tau \frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\frac{1}{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \Phi }{\partial \sigma }\right)\\ & +\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }\frac{\partial \Phi }{\partial \tau }\right)+\frac{1}{\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma )}\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\varphi }^2}]\end{array}$

Per a un camp vectorial

$\overrightarrow{n}(\tau ,\sigma ,\varphi )=n_{\tau }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\tau }+n_{\sigma }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\sigma }+n_{\varphi }(\tau ,\sigma ,\varphi ){\hat{e}}_{\varphi },$

el vector laplaciano ve dau per

$\begin{array}{cc}\Delta \overrightarrow{n}(\tau ,\sigma ,\varphi )& =\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{n})-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{n})\\ & =\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\tau }\{n_{\tau }(-\frac{{\sinh }^4\tau +(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}{{\sinh }^2\tau })+n_{\sigma }(-\sinh \tau \sin \sigma )+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \tau }\left(\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }(2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sinh \tau )+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }(-2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \varphi }\left(\frac{-2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{{\sinh }^2\tau }\right)+\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \tau }^2}(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \sigma }^2}(-(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2)+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\tau }}{{\partial \varphi }^2}\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}{{\sinh }^2\tau }\}\\ & +\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\sigma }\{n_{\tau }(-\frac{({\cosh }^2\tau +1-2\cosh \tau \cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau })+n_{\sigma }(-{\sinh }^2\tau -2{\sin }^2\sigma )+\dots \\ & +\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \tau }(2\sin \sigma (\cosh \tau -\cos \sigma ))+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \sigma }(-2\sinh \tau (\cosh \tau -\cos \sigma ))+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \tau }\left(\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }\right)+\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \sigma }(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \varphi }\left(2\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau }\right)+\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \tau }^2}(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \sigma }^2}(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\sigma }}{{\partial \varphi }^2}\left(\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}{{\sinh }^2\tau }\right)\}\\ & +\frac{1}{a^2}{\overrightarrow{e}}_{\varphi }\{n_{\varphi }(-\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}{{\sinh }^2\tau })+\frac{\partial n_{\tau }}{\partial \varphi }\left(\frac{2(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{{\sinh }^2\tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\sigma }}{\partial \varphi }(-\frac{2(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma }{\sinh \tau })+\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \tau }\left(\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma )(1-\cosh \tau \cos \sigma )}{\sinh \tau }\right)+\cdots \\ & +\frac{\partial n_{\varphi }}{\partial \sigma }(-(\cosh \tau -\cos \sigma )\sin \sigma )+\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \tau }^2}(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2+\cdots \\ & +\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \sigma }^2}(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2+\frac{{\partial }^2{n}_{\varphi }}{{\partial \varphi }^2}\left(\frac{(\cosh \tau -\cos \sigma {)}^2}{{\sinh }^2\tau }\right)\}\end{array}$

Atres operadors diferencials com $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ i $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ es pot expressar en les coordenades $(\sigma ,\tau ,\varphi )$ substituint els factors d'escala en les fòrmules generals per a les coordenades ortogonals.

Harmònics toroidales

Separació estàndar

l'equació de Laplace en tres variables

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi =0$

admet solució per mig del método de separació de variables en coordenades toroidales. Fent la substitució

$\Phi =U\sqrt{\cosh \tau -\cos \sigma }$

s'obté una equació separable. Una solució particular obtinguda pel método de separació de variables és:

$\Phi =\sqrt{\cosh \tau -\cos \sigma }{S}_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\varphi )$

a on cada funció és una combinació llineal de:

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{e}^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{Q}_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )$

$V_{\mu }(\varphi )=e^{i\mu \varphi }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{e}^{-i\mu \varphi }$

a on P i Q són les funcions de Legendre associades del primer i segon tipo. Estes funcions de Legendre a sovint es denominen harmònics toroidales.

Els harmònics toroidales tenen moltes propietats interessants. Si es realisa una substitució de variable $z=\cosh \tau >1$ llavors, per eixemple, anulant l'orde $\mu =0$ (la convenció és no escriure l'orde quan desapareix) i $\nu =0$

$Q_{-\frac{1}{2}}(z)=\sqrt{\frac{2}{1+z}}K\left(\sqrt{\frac{2}{1+z}}\right)$

i

$P_{-\frac{1}{2}}(z)=\frac{2}{\pi }\sqrt{\frac{2}{1+z}}K\left(\sqrt{\frac{z-1}{z+1}}\right)$

a on $K$ i $E$ són les integrals elíptiques completes de primer tipo i de segon tipo respectivament. El restant dels harmònics toroidales es poden obtindre, per eixemple, en térmens d'integrals elíptiques completes, utilisant relacions de recurrencia per a les funcions de Legendre associades.

Les aplicacions clàssiques de les coordenades toroidales són la resolució d'equacions en derivades parcials, com per eixemple, l'equació de Laplace para la que les coordenades toroidales permeten dispondre d'un método de separació de variables o l'equació de Helmholtz, per a la que les coordenades toroidales no permeten una separació de variables. Eixemples típics serien el potencial elèctric i el camp elèctric d'un bou conductor o, en el cas degenerado, un anell de corrent elèctrica (Hulme 1982).

Separació alternativa

Alternativament, es pot fer una substitució diferent (Andrews 2006)

$\Phi =\frac{U}{\sqrt{\rho }}$

a on

$\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\frac{a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }.$

Novament s'obté una equació separable. Una solució particular obtinguda pel método de separació de variables és llavors

$\Phi =\frac{a}{\sqrt{\rho }}{S}_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\varphi )$

a on cada funció és una combinació llineal de

$S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{e}^{-i\nu \sigma }$

$T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{Q}_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )$

$V_{\mu }(\varphi )=e^{i\mu \varphi }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{e}^{-i\mu \varphi }.$

Tinga's en conte que encara que els harmònics toroidales s'utilisen novament per a la funció T , l'argument és $\coth \tau$ en lloc de $\cosh \tau$ i els índexs $\mu$ i $\nu$ s'intercanvien. Este método és útil per a situacions en les que les condicions de contorn són independents de l'àngul esfèric $\theta$, com l'anell carregat, un semiplano infinit o dos plans paralels. Per a identitats que relacionen els harmònics toroidales en l'argument del coseno hiperbòlic en els de l'argument de la cotangente hiperbòlica, vegen-se les fòrmules de Whipple.