Regles de derivació

Est és un resum de regles de diferenciació, açò és, regles per a calcular la derivat d'una funció en càlcul.

Regles elementals de diferenciació

A menos que es diga lo contrari, totes les funcions són funcions de número real ($ℝ$) que retornen valors reals, és dir, $f:ℝ\to ℝ$.

La diferenciació és llineal

Per a qualssevol funcions $f$ i $g$, i qualssevol número real $a$ i $b$, la derivada de la funció $h(x)=af(x)+bg(x)$ sobre $x$ és

$h^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x).$

en la notació de Leibniz açò s'escriu com:

$\frac{d(af+bg)}{dx}=a\frac{df}{dx}+b\frac{dg}{dx}.$

Casos especials inclouen:

• La regla del producte per una constant

$(af{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }$

• La regla de suma

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

• La regla de la resta

$(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }.$

La regla de producte

Per a les funcions $f$ i $g$, la derivada de la funció $h(x)=f(x)g(x)$ sobre $x$ és

$h^{\prime }(x)=(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$

En la notació de Leibniz açò s'escriu com

$\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx}.$

La regla de cadena

La derivada de la funció $h(x)=f(g(x))$ és

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

En la notació de Leibniz açò s'escriu com:

$\frac{d}{dx}h(x)=\frac{d}{dz}f(z){|}_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),$

a sovint abreviat a

$\frac{dh(x)}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot \frac{dg(x)}{dx}.$

La regla de la funció inversa

Si la funció $f$ té com funció inversa $g$, açò és, $g(f(x))=x$ i $f(g(y))=y$ llavors

$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ g}.$

En Leibniz notació açò s'escriu com

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.$

Lleis de potències, polinomis, cocients i reciproco

La regla de la potència

Si $f(x)=x^r$, per a qualsevol número real $r\ne 0,$ llavors

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}.$

quan $r=1,$ açò es convertix en el cas especial que si $f(x)=x$ llavors $f^{\prime }(x)=1.$

Combinar la regla de la potència en la suma i la regla del producte per una constant permet el càlcul de la derivada de qualsevol polinomi.

La regla recíproca

La derivada de $h(x)=\frac{1}{f(x)}$ per a qualsevol funció $f$ és:

$h^{\prime }(x)=-\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}$

sempre que $f(x)\ne 0$ per a tota $x\in ℝ$.

En la notació de Leibniz açò s'escriu com

$\frac{d(1/f)}{dx}=-\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.$

La regla recíproca pot ser obtinguda a partir de la regla de cocient o de la combinació de regla d'una potència i la regla de cadena.

La regla de cocient

Si $f$ i $g$ són funcions llavors:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$

sempre que $g\ne 0$.

Esta pot ser obtinguda a partir de la regla de producte i la regla recíproca.

Regla de la potència generalisada

La regla elemental de la potència generalisada canvia considerablement. La regla de la potència més general és la regla de la potència a una funció: per a qualssevol funcions $f$ i $g$

$(f^g{)}^{\prime }=\left(e^{g\ln f}\right)=f^g(f^{\prime }\frac{g}{f}+g^{\prime }\ln f),$

com a casos especials es té

• Si $f(x)=x^a$ llavors $f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$ quan $a\ne 0$ és un número real qualsevol i $x$ és positiu.
• La regla recíproca pot ser obtinguda com el cas especial quan $g(x)=-1$.

Vore també

• Funció diferenciable
• Diferencial d'una funció
• Llista de funcions matemàtiques
• Funcions trigonométricas
• Funcions trigonométricas inverses
• Funcions hiperbòliques
• Funcions hiperbòliques inverses