Sistema determinista

En matemàtiques i física, es denomina sistema determinista a aquell que l'encert no està involucrat en el desenroll dels futurs estats del sistema.
Un model determinista produirà sempre la mateixa eixida a partir de les mateixes condicions de partida o l'estat inicial.

A diferència dels estocàstics o aleatoris en els que els estats futurs no estan determinats pels previs (com la seqüència de cares i cecas d'una moneda no carregada), en els determinista, cada estat futur del sistema està determinat pel previ en tant es desprén de cóm queda afectat donades les variables d'entorn i el previst comportament davant els canvis en eixe ambient.

Els sistemes descrits adequadament per la mecànica clàssica o la mecànica relativista es comporten sempre com a sistemes determinista. Els sistemes de la mecànica clàssica que encara sent determinista són difícils de predir en la pràctica són sistemes caòtics. La mecànica quàntica assumix que certs sistemes poden presentar dos tipos d'evolució: un tipo d'evolució determinista dau per l'equació de Schrödinger i un tipo d'evolució no determinista associat al colapse de la funció d'ona quan es realisen cert tipo de mides irreversibles sobre el sistema quàntic.

Definició

El concepte de sistema determinista pot caracterisar-se si l'espai d'estats possibles $\Omega$ del sistema admet una mida de provabilitat $\text{prob}(\cdot )$. En eixe cas si es considera el conjunt de parts $𝒫(\Omega )$ del conjunt d'estats possibles, l'evolució despuix d'un temps t pot definir-se com una aplicació:

És dir si el sistema està en un dels estats d'un subconjunt $S_0\subset \Omega$, en evolucionar el sistema estarà en un dels estats del conjunt $f_t(S_0)\subset \Omega$.

El sistema és determinista si:

Sistemes físics

Mecànica clàssica

En mecànica clàssica l'estat d'un sistema en un número finito de graus lliberteu ve representat per un punt en un espai fásico de dimensió finita. I l'evolució temporal està donada per un sistema d'equacions diferencials que expressades en el formalisme hamiltoniano vénen donades per:

a on:

$\mathrm{d}$ és la derivada exterior.

$i_{𝐯}\omega =\omega (𝐯,\cdot )$ l'isomorfisme canònic definit per la forma simpléctica entre l'espai tangente a l'espai fásico i l'espai cotangente.

$\hat{H}$, el hamiltoniano clàssic definit sobre l'espai fásico.

Baixe condicions de regularitat, les teoremes d'existència i unicitat garantisen que existix un grup uniparamétrico $\{f_t\}$ de transformacions tal que:

L'òrbita d'un punt l'espai fásico és el conjunt:

L'espai d'estats pot ser foliado en un fes d'òrbites, de tal manera que cada estat pertany a una i només una de les òrbita, en la qual cosa conegut l'estat present el seu estat futur serà un únic punt sobre dita òrbita. Per a sistemes en un número no finito de graus de llibertat el formalisme pot estendre's de manera similar, per lo que l'espai d'estats pot dividir-se en òrbites tals que cada estat pertany a una i només una de dites trayectòries, la qual cosa equival a que el sistema és determinista.

Mecànica quàntica

En mecànica quàntica el conjunt d'estats pot construir-se a partir d'una relació d'equivalència $ℛ$ definida en l'espai de Hilbert ${\mathscr{H}}_{sys}$ usat per a descriure el sistema:

D'acort en el postulat V de la mecànica quàntica quan el sistema evoluciona sense que siga pertorbat l'estat evoluciona de manera determinista segons l'equació de Schrödinger:

No obstant, en certes situacions com quan es realisa un cert tipo de mida o es produïx una decoherencia quàntica l'estat evoluciona de manera no determinsta segons el postulat IV. Baixe eixe postulat si es medix, per eixemple, una magnitut física associada a un observable (en espectre purament puntual) l'estat final serà un dels possibles estats que matemàticament siga un autovector de l'observable, si dit observable té varis estats propis es té una evolució no determinista: