Filtre de Kalman
El filtre de Kalman és un algoritme desenrollat per Rudolf E. Kalman en 1960 que servix per a poder identificar l'estat amagat (no mesurable) d'un sistema dinàmic llineal, de la mateixa manera que l'observador de Luenberger, pero servix ademés quan el sistema està somés a soroll blanc aditiu.[1] La diferència entre abdós és que en l'observador de Luenberger, el guany K de realimentació de l'error deu ser elegida "a mà", mentres que el filtre de Kalman és capaç de triar-la de forma òptima quan es coneixen les varianza dels sorolls que afecten al sistema.
Ya que el filtre de Kalman és un algoritme recursivo, pot córrer en temps real usant únicament les medicions d'entrada actuals, l'estat calculat prèviament i la seua matriu d'incertitut, i no requerix cap atra informació adicional.
El filtre de Kalman té numeroses aplicacions en tecnologia. Una aplicació comuna és la guia, navegació i control de vehículs, especialment naus espacials. Ademés, s'utilisa àmpliament en camps com el processament de senyals i l'econometria.
Història
[editar | editar còdic]El método de filtrat rep el nom de l'emigrant hongarés Rudolf E. Kálmán, encara que Thorvald Nicolai Thiele [2][3] i Peter Swerling varen desenrollar un algoritme similar. Richard S. Bucy, del Laboratori de Física Aplicada de Johns Hopkins va contribuir a la teoria, causant que a voltes se li conega com el filtrat de Kalman–Bucy. Kalman es va inspirar en derivar el filtre de Kalman aplicant variables d'estat al problema del filtrat de Wiener.[4] Stanley F. Schmidt és generalment acreditat en el desenroll de la primera implementació del filtre de Kalman. Es va donar conte de que el filtre pot ser dividit en dos parts distintes, una per als lapsus de temps entre les eixides dels sensors i una atra per a l'incorporació de medicions.[5] Va ser durant una visita de Kalman al Centre d'Investigació Ames de la NASA que Schmidt va vore la aplicabilidad de les idees de Kalman al problema no llineal d'estimació de trayectòries per al programa Apolo, lo que va dur a la seua incorporació en la computadora de navegació de l'Apolo.[6]
Este filtre digital a voltes és denominat com el filtre de Stratonovich–Kalman–Bucy perque és un cas específic d'un filtre no llineal més general desenrollat pel matemàtic soviètic Ruslan Stratónovich. De fet, algunes de les equacions del filtre llineal varen aparéixer en artículs de Stratónovich publicats abans de l'estiu de 1961, quan Kálmán es va reunir en Stratonovich durant una conferència en Moscou.
El filtrat de Kalman va ser descrit i desenrollat de forma parcial en artículs tècnics per Swerling (1958), Kálmán (1960) i Kálmán i Bucy (1961).
Els filtres de Kalman han segut vitals en l'implementació del sistema de navegació en submarins nuclears balístics de la Marina dels Estats Units, també en els sistemes de guia i navegació de missils de travessia com el Tomahawk de la Marina d'Estats Units i el missil de travessia llançada des de l'aire de la Força Aérea d'Estats Units. També és usat en els sistemes de guia i navegació de vehículs de llançament reutilisables i el control d'actitut i navegació de naus espacials que estan en l'Estació Espacial Internacional.[7]
Descripció general del càlcul
[editar | editar còdic]El filtrat de Kalman utilisa el model dinàmic d'un sistema (ej. Lleis físiques del moviment), les entrada de control conegudes de dit sistema i múltiples medicions seqüencials (com les dels sensors) per a formar un estimat de les cantitats variables del sistema (el seu estat) que és millor que l'estimat obtingut usant únicament una medició. Per això, és un algoritme comú de fusió de sensors i de senyes.
Les senyes sorolloses dels sensors, les aproximacions en les equacions que descriuen l'evolució del sistema i els factors externs que no són contemplats llimiten la precisió en la que és possible saber l'estat del sistema. El filtre de Kalman maneja de forma efectiva l'incertitut gràcies al soroll en les senyes dels sensors i, fins a cert grau, els factors externs aleatoris. El filtre de Kalman produïx una estimació de l'estat del sistema com un promig entre l'estat predit del sistema i una nova mida, usant un promig ponderat. El propòsit dels pesos és que els valors (menors) són més "confiables". Els pesos es calculen en la covarianza, que és una mida de l'incertitut estimada en la predicció de l'estat del sistema. El resultat d'este promig ponderat és una estimació nova de l'estat que es troba entre l'estat predit i l'estat medit, i té una incertitut estimada menor que qualsevol dels dos per separat. Este procés es repetix en cada pas de temps, a on l'estimació nova i la seua covarianza informen la predicció usada en la iteración que seguix. Açò significa que el filtre de Kalman funciona de manera recursiva i solament requerix l'última “millor suposició” de l'estat del sistema, en lloc de tota l'història, per a calcular un nou estat.
La certea de les medicions i l'estimació de l'estat actual són consideracions importants. És comú discutir la resposta del filtre en térmens de guany del filtre de Kalman. Els guanys de Kalman són el pes donat a les medicions i l'estimat actual pugues "ajustar-se" per a alcançar un eixercite particular. En un guany alt, el filtre coloca més pes a les medicions més recents i s'adapta a elles més ràpit. En un guany baix, el filtre s'ajusta més de prop a les prediccions del model. En els extrems, un guany alt (prop d'un) donarà una trayectòria estimada més alta, mentres que un guany baix (prop de zero) suavisarà el soroll, pero baixarà la capacitat de resposta.
En realisar els càlculs del filtre (com es discutix més alvance), l'estimació de l'estat i les covarianza estan codificades en matrius per les múltiples dimensions involucrades en una série de càlculs. Açò permet representar relacions llineals entre diferents variables d'estat (com a posició, velocitat i acceleració) en qualsevol dels models de transició o covarianza.[8]
Vore també
[editar | editar còdic]- Filtre de Kalman Estés
- filtre adaptatiu
- filtre de Wiener
- teorema de Bayes
- Teorema de Shannon-Hartley
Notes
[editar | editar còdic]- ↑ Kalman, R. E.; A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering Vol. 82: pag. 35-45 (1960).
- ↑ International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique.49(3)
- 319.doi:10.2307/1402616.Consultat el 2025-08-21.
- ↑ Lauritzen, Steffen L.; Thiele, T. N. (2002). Thiele, pioneer in statistics, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850972-1.
- ↑ Grewal, Mohinder S.; Andrews, Angus P. (2015). Kalman filtering: theory and practice using MATLAB, 4th ed edició, Wiley. ISBN 978-1-118-98498-7.
- ↑ Grewal, Mohinder S.; Andrews, Angus P. (2002-01-02). Kalman Filtering, Wiley. ISBN 978-0-471-39254-5.
- ↑ American National Biography Online.Oxford University Press.Consultat el 2025-08-21.
- ↑ American Institute of Aeronautics and Astronautics.doi:10.2514/6.2003-5445.Consultat el 2025-08-21.
- ↑ Miscelànea Matemàtica de la Societat Matemàtica Mexicana, Societat Matematica Mexicana A.C..
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Filtro de Kalman» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.