Teorema de Bayes

La teorema de Bayes, en la teoria de la provabilitat, és una proposició plantejada pel matemàtic anglés Thomas Bayes (1702-1761) i publicada pòstumament en 1763, que expressa la provabilitat condicional d'un event aleatori $A$ dau $B$ en térmens de la distribució de provabilitat condicional de l'event $B$ dau $A$ i la distribució de provabilitat marginal de sol $A$.

En térmens més generals i menys matemàtics, la teorema de Bayes és d'enorme rellevància posat que vincula la provabilitat de $A$ dau $B$ en la provabilitat de $B$ dau $A$. És dir, per eixemple, que sabent la provabilitat de tindre un mal de cap ya que es té grip, es podria saber (si es té alguna senya més), la provabilitat de tindre grip si es té un mal de cap. Mostra este senzill eixemple l'alta rellevància de la teorema en qüestió per a la ciència en totes les seues branques, ya que té vinculació íntima en la comprensió de la provabilitat d'aspectes causals donats els efectes observats.

Una de les moltes aplicacions de la teorema de Bayes és l'inferència bayesiana, un enfocament particular de l'inferència estadística. Quan s'apliquen, les provabilitats implicades en la teorema poden tindre diferents interpretacions de provabilitat. En l'interpretació provabilitat bayesiana, la teorema expressa cóm un grau de creència, expressat com una provabilitat, deuria canviar racionalmente per a tindre en conte la disponibilitat de proves relacionades. L'inferència bayesiana és fonamental per a l'estadística bayesiana, sent considerada per una autoritat com; "a la teoria de la provabilitat lo que el teorema de Pitágoras és a la geometria."

Història

La teorema de Bayes deu el seu nom al reverent Thomas Bayes (Plantilla:IPAc-en), també estadístic i filòsof. Bayes va utilisar la provabilitat condicional per a proporcionar un algoritme (la seua Proposició 9) que utilisa l'evidència per a calcular els llímits d'un paràmetro desconegut. El seu treball es va publicar en 1763 en el títul Un ensaig per a resoldre un problema de la doctrina de les provabilitats. Bayes va estudiar cóm calcular una distribució per al paràmetro de provabilitat d'una distribució binomial (en terminologia moderna). A la mort de Bayes, la seua família va transferir els seus documents a un amic, el ministre, filòsof i matemàtic Richard Price.

Durant dos anys, Richard Price va editar significativament el manuscrit inèdit, abans d'enviar-li-ho a un amic que ho va llegir en veu alta en la Royal Society el 23 de decembre de 1763. Price va editar L'obra principal de Bayes "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763), que va aparéixer en Philosophical Transactions, i conté la teorema de Bayes. Price va escriure una introducció al document que proporciona algunes de les bases filosòfiques de l'estadística bayesiana i va elegir una de les dos solucions oferides per Bayes. En 1765, Price va ser elegit membre de la Royal Society en reconeiximent al seu treball sobre el llegat de Bayes. El 27 d'abril es va llegir en la Royal Society, i posteriorment es va publicar, una carta enviada al seu amic Benjamin Franklin en la que Price aplica este treball a la població i al càlcul de les "pensions vitalícies".

Independentment de Bayes, Pierre-Simon Laplace en 1774, i més tart en la seua Théorie analytique dones probabilités de 1812, va utilisar la provabilitat condicional per a formular la relació d'una provabilitat posterior actualisada a partir d'una provabilitat prèvia, donada una evidència. Va reproduir i va ampliar els resultats de Bayes en 1774, aparentment sense conéixer el treball de Bayes. Laplace va refinar la teorema de Bayes a lo llarc de vàries décades:

• Laplace va anunciar el seu descobriment independent de la teorema de Bayes en: Laplace (1774) "Mémoire sur la probabilité dones causes parell els événements", "Mémoires de l'Académie royale dones Sciences de LA MEUA (Savants étrangers)", 4: 621-656. Reimpreso en: Laplace, "Oeuvres complètes" (París, França: Gauthier-Villars et fils, 1841), vol. 8, pp. 27-65. Disponible en llínea en: Gallica. La teorema de Bayes apareix en la p. 29.
• Laplace va presentar un refinament de la teorema de Bayes en: Laplace (llegit: 1783 / publicat: 1785) "Mémoire sur els approximations dones formules qui sont fonctions de très grands noms", "Mémoires de l'Académie royale dones Sciences de Paris", 423-467. Reimpreso en: Laplace, "Oeuvres complètes" (París, França: Gauthier-Villars et fils, 1844), vol. 10, pp. 295-338. Disponible en llínea en: Gallica. La teorema de Bayes figura en la pàgina 301.

• Vore també: Laplace, "Essai philosophique sur els probabilités" (París, França: Mme. Veu. Courcier [Madame veuve (és dir, viuda) Courcier], 1814), pàgina 10. Traducció anglesa: Pierre Simon, Marqués de Laplace en F. W. Truscott i F. L. Emory, trans, "A Philosophical Essay on Probabilities" (Nova York, Nova York: John Wiley & Sons, 1902), pàgina 15.}} l'interpretació bayesiana de la provabilitat va ser desenrollada principalment per Laplace.

Uns 200 anys més tart, Sir Harold Jeffreys va posar l'algoritme de Bayes i la formulació de Laplace sobre una base axiomàtica, escrivint en un llibre de 1973 que la teorema de Bayes "és a la teoria de la provabilitat lo que el teorema de Pitágoras és a la geometria".

Stephen Stigler va utilisar un argument bayesiano per a concloure que la teorema de Bayes va ser descobert per Nicholas Saunderson, un matemàtic anglés cego, algun temps abans que Bayes; eixa interpretació, no obstant, ha segut discutida. Martyn Hooper i Sharon McGrayne han argumentat que la contribució de Richard Price va ser substancial:

En térmens moderns, deuríem referir-nos a la regla de Bayes-Price. Price va descobrir el treball de Bayes, va reconéixer la seua importància, ho va corregir, va contribuir a l'artícul i li va trobar un us. La convenció moderna d'amprar només el nom de Bayes és injusta, pero està tan arraïlada que qualsevol atra cosa té poc sentit.<

Teorema

Siga $\{A_1,A_2,\mathrm{...},A_i,\mathrm{...},A_n\}$ un conjunt de successos mútuament excloents i exhaustius tals que la provabilitat de cada u d'ells és distinta de zero $(\mathrm{P}[A_i]\ne 0$ per a $i=1,2,\dots ,n)$. Si $B$ és un succés qualsevol del que es coneixen les provabilitats condicionals $P(B|A_i)$ llavors la provabilitat $P(A_i|B)$ ve donada per l'expressió:

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}$

a on:

• $P(A_i)$ són les provabilitats a priori,
• $P(B|A_i)$ és la provabilitat de $B$ en l'hipòtesis $A_i$,
• $P(A_i|B)$ són les provabilitats a posteriori.

Fòrmula de Bayes

La teorema de Bayes es deduïx de la definició de provabilitat condicionada, la Fòrmula de Bayes, també coneguda com a Regla de Bayes:

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}\cdots [1]$

nos permet calcular la provabilitat condicional $P(A_i|B)$ de qualsevol dels events $A_i$ dau $B$. La fòrmula $[1]$ «ha originat moltes especulacions filosòfiques i #controvèrsia».

Aplicacions

La teorema de Bayes és vàlit en totes les aplicacions de la teoria de la provabilitat. No obstant, hi ha una controvèrsia sobre el tipo de provabilitats que ampra. En essència, els seguidors de l'estadística tradicional solament admeten provabilitats basades en experiments repetibles i que tinguen una confirmació empírica mentres que els cridats estadístics bayesianos permeten provabilitats subjectives. La teorema pot servir llavors per a indicar cóm devem modificar les nostres provabilitats subjectives quan rebem informació adicional d'un experiment. L'estadística bayesiana està demostrant la seua utilitat en certes estimacions basades en el coneiximent subjectiu a priori i el fet de permetre revisar eixes estimacions en funció de l'evidència empírica és lo que està obrint noves formes de fer coneiximent. Una aplicació d'açò són els classificadors bayesianos que són freqüentment usats en implementacions de filtres de correu fem o spam, que s'adapten en l'us. Una atra aplicació es troba en la fusió de senyes, combinant informació expressada en térmens de densitat de provabilitat provinent de distints sensors.

Com a observació, s'obté la següent fòrmula $\sum _{i=1}^{n}P(A_i|B)=1$ i la seua demostració resulta trivial.

Com a aplicacions puntuals:

1. El diagnòstic de càncer.
2. Evaluació de provabilitats durant el desenroll d'un joc de bridge per Donen F. Waugh i Frederick V. Waugh.
3. Provabilitats a priori i a posteriori.
4. Un us controvertit en la Llei de successió de Laplace.
5. En el testeo d'hipòtesis en Ciència Política quan s'usa metodologia process tracing.
6. Estadística bayesiana.

Us en genètica

En genètica, la teorema de Bayes pot utilisar-se per a calcular la provabilitat de que un individu tinga un genotip específic. Moltes persones busquen aproximar les seues possibilitats d'estar afectades per una malaltia genètica o la seua provabilitat de ser portadores d'un gen recesivo d'interés. Es pot realisar un anàlisis bayesiano basat en els antecedents familiars o en les proves genètiques, en la finalitat de predir si un individu desenrollarà una malaltia o la transmetrà als seus fills. Les proves i la predicció genètiques són una pràctica habitual entre les parelles que planegen tindre fills pero que estan preocupades per la possibilitat de que abdós siguen portadors d'una malaltia, especialment en comunitats en baixa varianza genètica.

El primer pas de l'anàlisis bayesiano per a la genètica és propondre hipòtesis mútuament excloents: per a un alel específic, un individu és o no és portador. A continuació, es calculen quatre provabilitats: Provabilitat Prèvia (la provabilitat de cada hipòtesis tenint en conte informació com els antecedents familiars o les prediccions basades en l'Herència Mendeliana), Provabilitat Condicional (d'un determinat resultat), Provabilitat Conjunta (producte de les dos primeres) i Provabilitat Posterior (un producte ponderat que es calcula dividint la Provabilitat Conjunta de cada hipòtesis per la suma d'abdós provabilitats conjuntes).

Vore també

• Paradoxa del cuervo
• Inferència bayesiana
• Epistemologia bayesiana
• Estadística bayesiana

Enllaços externs

• Calculadora en internet
• Inferència estadística segons el model bayesiano, en la web de la Societat Andalusa de Malalties Infeccioses
• Enciclopèdia Stanford de filosofia
• Simulació de la Teorema de Bayes en R-Project
• Teorema de Bayes i Provabilitat Condicional A posteriori
• What Is Bayes’ Theorem & How Do You Use It? per Richard Carrier

Bibliografia adicional

• Grunau, Hans-Christoph (24 January 2014). "Preface Issue 3/4-2013". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 115 (3–4): 127–128. doi:10.1365/s13291-013-0077-z.
• Gelman, A, Carlin, JB, Stern, HS, and Rubin, DB (2003), "Bayesian Data Analysis," Second Edition, CRC Press.
• Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)," American Mathematical Society (free pdf available) [1].
• "Bayes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• McGrayne, SB (2011). The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines & Emergiu Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press. ISBN 978-0-300-18822-6.
• Laplace, Pierre Simon (1986). "Memoir on the Probability of the Causes of Events". Statistical Science. 1 (3): 364–378. doi:10.1214/ss/1177013621. JSTOR 2245476.
• Lee, Peter M (2012), "Bayesian Statistics: An Introduction," 4th edition. Wiley. ISBN 978-1-118-33257-3.
• Puga JL, Krzywinski M, Altman N (31 March 2015). "Bayes' theorem". Nature Methods. 12 (4): 277–278. doi:10.1038/nmeth.3335. PMID 26005726.
• Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN 9781862079960).
• Stigler, Stephen M. (August 1986). "Laplace's 1774 Memoir on Inverse Probability". Statistical Science. 1 (3): 359–363. doi:10.1214/ss/1177013620.
• Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
• Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
• Morris, Donen (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).

Enllaços externs

• Plantilla:Error en YouTube
• Plantilla:Error en YouTube
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B). Contains origins of "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes", and "Bayes Factor".
• A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for Oxford University psychology students
• An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky
• Bayesian Clinical Diagnostic Model