Geometria conforme

Archiu:Conformal map.svg

Eixemple de transformació conforme

En matemàtiques, la geometria conforme és l'estudi de les transformacions conformes (aquelles que preserven ànguls) en un espai. En dos dimensions reals, la geometria conforme és precisament la geometria de les superfícies de Riemann. En més de dos dimensions, la geometria conforme pot referir-se tant a l'estudi de les transformacions conformes en els espais "plans" (com per eixemple els espais euclídeos o les esferas), o més comunament, per a l'estudi de les varietats conformes que són varietats de Riemann dotades d'una classe de mètrica definida a falta d'escala. L'estudi d'eixes estructures es diu a voltes geometria de Möbius, i és un tipo de geometria de Klein (disciplina anomenada aixina en referència al matemàtic alemà Felix Klein).

Varietats conformes

Una varietat conforme és una varietat pseudoriemanniana equipada en una classe d'equivalència de tensors mètrics, en la que dos mètriques g i h són equivalents si i solament si es complix que:

$h={\lambda }^{2}g,$

a on λ és una funció infinitament diferenciable de valor real definida en la varietat i es denomina factor conforme. Una classe d'equivalència de tals mètriques es coneix com a mètrica conforme o classe conforme. Per lo tant, una mètrica conforme pot considerar-se com una mètrica que solament es definix prescindint de l'escala. A sovint, les mètriques conformes es tracten seleccionant una mètrica de la classe conforme i aplicant solament construccions conformemente invariantes a la mètrica elegida.

Una mètrica conforme és conformemente plana si existix una mètrica que la representa i que és plana, en el sentit habitual de que el tensor de curvatura s'anula. Potser solament siga possible trobar una mètrica en la classe conforme que siga plana en un entorn obert de cada punt. Quan és necessari distinguir estos casos, a este últim cas se li crida localment conformemente pla, encara que a sovint en la bibliografia no es manté cap distinció. La n-esfera és una varietat localment conforme plana que no és globalment conformemente plana en este sentit, mentres que un espai euclídeo, un toroide o qualsevol varietat conforme que estiga recoberta per un subconjunt obert de l'espai euclídeo és (globalment) conformemente plana en este sentit. Una varietat localment conforme plana és localment conforme a una geometria de Möbius, lo que significa que existix un àngul que preserva un difeomorfismo local de la varietat en una geometria de Möbius. En dos dimensions, cada mètrica conforme és localment conformemente plana. Per a dimensions n > 3, una mètrica conforme és localment conformemente plana si i solament si la seua tensor de Weyl desapareix; i en la dimensió n= 3, si i solament si el tensor de Cotton s'anula.

La geometria conforme té una série de característiques que la distinguixen de la geometria (pseudo)riemanniana. La primera és que encara que en la geometria (pseudo)riemanniana es té una mètrica ben definida en cada punt, en la geometria conforme solament es té una classe de mètriques. Per lo tant, la llongitut d'un vector tangente no es pot definir, pero l'àngul entre dos vectores sí es pot definir. Una atra característica és que no existix la conexió de Levi-Civita, perque si g i λ²g són dos representants de l'estructura conforme, llavors els símbols de Christoffel de g i de λ ²g no serien concordants. Els associats en λ²g implicarien derivades de la funció λ, mentres que els associats en g no.

A pesar d'estes diferències, la geometria conforme encara és manejable. La conexió de Levi-Civita i el tensor de curvatura, encara que solament es definixen una volta que s'ha seleccionat un representant particular de l'estructura conforme, satisfan certes lleis de transformació que involucren a λ i a les seues derivades quan s'elegix un representant diferent. En particular, (en dimensions superiors a 3) el tensor de Weyl resulta no dependre de λ, per lo que és un invariante conforme. Ademés, encara que no existix una conexió de Levi-Civita en una varietat conforme, es pot treballar en una conexió conforme, que pot manejar-se com un tipo de conexió de Cartan modelada segons la geometria de Möbius associada, o com una conexió de Weyl. Açò permet definir la curvatura conforme i atres invariantes de l'estructura conforme.

Geometria de Möbius

La geometria de Möbius és l'estudi del espai euclídeo en un punt afegit en l'infinit, o d'un "espai de Minkowski (o pseudoeuclídeo) en un con nul afegit en l'infinit". És dir, l'escenari és una compactación d'un espai familiar, i la geometria s'ocupa de les implicacions de preservar els ànguls.

A nivell abstracte, els espais euclídeo i pseudoeuclídeo poden manejar-se pràcticament de la mateixa manera, llevat en el cas de la dimensió dos. El pla de Minkowski bidimensional compactar exhibix simetria conforme extensiva. Formalment, el seu grup de transformacions conformes és de dimensió infinita. Pel contrari, el grup de transformacions conformes del pla euclídeo compactar és solament de sis dimensions.

Dos dimensions

Pla de Minkowski

El grup conforme per a la forma quadràtica de Minkowski q(x, i)= 2xy en el pla és el grup de Lie abeliano

$\mathrm{CSO}(1,1)=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^a& 0\\ 0& e^b\end{array}\right)|a,b\in ℝ\},$

en àlgebra de Lie cso(1, 1) que consta de totes les matrius diagonals reals d'orde 2 × 2.

Considere's ara el pla de Minkowski, ${ℝ}^2$, equipat en el sistema mètric

$g=2dxdy.$

Un grup de transformacions conformes d'un paràmetro dona lloc a un camp vectorial X en la propietat de que la derivada de Lie de g en X és proporcional a g. Simbòlicament,

L_X g= λg   per a alguns λ.

En particular, utilisant la descripció anterior de l'àlgebra de Lie cso(1, 1), açò implica que

1. L_X  dx= a(x) dx
2. L_X  dy= b(i) dy

per a algunes funcions de valor real a i b que depenen, respectivament, de x i i.

A l'inversa, donat qualsevol parell de funcions en valors reals, existix un camp vectorial X que satisfà les condicions 1 i 2. Per lo tant, l'àlgebra de Lie de simetria infinitesimals de l'estructura conforme, l'àlgebra de Witt, és de dimensió infinita.

La compactación conforme del pla de Minkowski és un producte cartesiano de dos circumferències S¹ × S¹. En l'espai recubridor, no hi ha cap obstàcul per a integrar les simetria infinitesimals, per lo que el grup de transformacions conformes és el grup de Lie de dimensió infinita.

$(\mathbb{Z}⋊\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(S^1))\times (\mathbb{Z}⋊\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(S^1)),$

a on Diff(S¹) és el difeomorfismo de la circumferència.

El grup conforme CSO(1, 1) i la seua àlgebra de Lie són d'interés en la teoria de camps conforme bidimensional.

Vore també: Àlgebra de Virasoro

Espai euclídeo

Archiu:Conformal grid before Möbius transformation.svg

Una cuadrícula de coordenades abans d'una transformació de Möbius

Archiu:Conformal grid after Möbius transformation.svg

La mateixa cuadrícula despuix d'una transformació de Möbius

El grup de simetria conformes de la forma quadràtica

$q(z,\overline{z})=z\overline{z}$

és el grup GL₁(C)= C^×, el grup multiplicativo dels número complejo. La seua àlgebra de Lie és gl₁(C)= C.

Considere's el pla complex (euclídeo) equipat en la mètrica

$g=dzd\overline{z}.$

Les simetria conformes infinitesimals satisfan que

1. ${𝐋}_{X}dz=f(z)dz$
2. ${𝐋}_{X}d\overline{z}=f(\overline{z})d\overline{z},$

a on f verifica les equacions de Cauchy-Riemann i és holomorfa en el seu domini (vore àlgebra de Witt).

Per tant, les isometría conformes d'un domini consistixen en autoaplicaciones holomórficas. En particular, sobre la compactación conforme (l'esfera de Riemann) les transformacions conformes estan donades per les transformacions de Möbius

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

a on ad − bc és distint de zero.

Dimensions superiors

En dos dimensions, el grup d'automorfismes conformes d'un espai pot ser prou gran (com en el cas de la signatura lorentziana) o variable (com en el cas de la signatura euclídea). La relativa falta de rigidea del cas bidimensional en el de dimensions superiors es deu al fet analític de que els desenrolls asintòtics dels automorfismes infinitesimals de l'estructura estan relativament lliures. En la signatura lorentziana, la condició de llibertat es basa en un parell de funcions reals valorades. En el cas euclidiano, la condició de llibertat està basada en una única funció holomorfa.

En el cas de dimensions superiors, els desenrolls asintòtics de simetria infinitesimals són, com a màxim, polinomis quadràtics. En particular, formen un àlgebra de Lie de dimensió finita. Les simetria conformes infinitesimals puntuals d'una varietat es poden integrar precisament quan la varietat és un cert model d'espai conformemente pla (llevat prenent cobertes universals i cocients de grups discrets).

La teoria general de la geometria conforme és similar, encara que en algunes diferències, en els casos de signatura euclídea i pseudoeuclídea. En qualsevol cas, hi ha vàries formes d'introduir l'espai modele de geometria conformemente plana. A menos que es desprenga lo contrari del context, este artícul tracta el cas de la geometria conforme euclidiana en l'entés de que també s'aplica, mutatis mutandis, a la situació pseudoeuclidiana.

Model inversivo

El model inversivo de geometria conforme consistix en el grup de transformacions locals sobre l'espai euclídeo Iⁿ generades per inversió respecte a esferes. Pel teorema de Liouville, qualsevol transformació local (conforme) que preserve els ànguls té esta forma. Des d'esta perspectiva, les propietats de transformació de l'espai conforme pla són les de la geometria inversiva.

Model proyectivo

El model proyectivo identifica l'esfera conforme en una determinada cuádrica en un espai proyectivo. Siga q la forma quadràtica lorentziana en 'Rⁿ⁺² definida per

$q(x_0,x_1,\dots ,x_{n+1})=-2x_0{x}_{n+1}+x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2.$

En l'espai proyectivo P(Rⁿ⁺²), siga S el lloc geomètric de q= 0. Llavors S és el model proyectivo (o de Möbius) de geometria conforme. Una transformació conforme en S és una transformació llineal proyectiva de P(Rⁿ⁺²) que deixa la cuádrica invariante.

En una construcció relacionada, la cuádrica S es considera l'esfera celest, en l'infinit del con nul en l'espai de Minkowski R^n+1,1, que està equipat en la forma quadràtica q com es va indicar anteriorment. El con nul està definit per

$N=\{(x_0,\dots ,x_{n+1})\mid -2x_0{x}_{n+1}+x_1^2+\cdots +x_n^2=0\}.$

Est és el con afí sobre la cuádrica proyectiva S. Siga N⁺ la part futura del con nul (en l'orige eliminat). Llavors, la proyecció tautológica R^n+1,1 {0} → P(Rⁿ⁺²) es restringix a una proyecció N⁺ → S. Açò li dona a N⁺ l'estructura d'un fes llineal sobre S. Les transformacions conformes en S són induïdes per la transformació ortocrona de Lorentz de R^n+1,1, ya que són transformacions llineals homogénees que preserven el futur con nul.

Esfera euclídea

Intuitivament, la geometria conformemente plana d'una esfera és menys rígida que la geometria de Riemann d'una esfera. Les simetria conformes d'una esfera es generen per l'inversió de totes les seues n-esferas. Per un atre costat, les isometría riemannianas d'una esfera es generen per mig d'inversions en hiperesferas geodèsiques (vore el teorema de Cartan-Dieudonné). L'esfera euclídea es pot assignar a l'esfera conforme de manera canònica, pero no al revés.

L'esfera unitària euclídea és el lloc geomètric en 'Rⁿ⁺¹ tal que

$z^2+x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1.$

Açò es pot assignar a l'espai de Minkowski R^n+1,1 deixant

$x_0=\frac{z+1}{\sqrt{2}},x_1=x_1,\dots ,x_n=x_n,x_{n+1}=\frac{z-1}{\sqrt{2}}.$

Es veu fàcilment que l'image de l'esfera baixe esta transformació és nula en l'espai de Minkowski, per lo que es troba en el con N⁺. Per tant, determina una secció travessera del fes de llínees N⁺ → S.

No obstant, es va realisar una elecció arbitrària. Si κ(x) és qualsevol funció positiva de x= (z, x₀, ..., x_n), llavors l'assignació

$x_0=\frac{z+1}{\kappa (x)\sqrt{2}},x_1=x_1,\dots ,x_n=x_n,x_{n+1}=\frac{(z-1)\kappa (x)}{\sqrt{2}}$

també proporciona una aplicació en N⁺. La funció κ és una elecció arbitrària de escala conforme.

Mètriques representatives

Un varietat de Riemann representativa en l'esfera és una mètrica que és proporcional a la mètrica de l'esfera estàndar. Açò dona una realisació de l'esfera com a varietat conforme. La mètrica de l'esfera estàndar és la restricció de la mètrica euclídea en 'Rⁿ⁺¹

$g=d{z}^2+d{x}_1^2+d{x}_2^2+\cdots +d{x}_n^2$

a l'esfera

$z^2+x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1.$

Un representant conforme de g és una mètrica de la forma λ²g, a on λ és una funció positiva en l'esfera. La classe conforme de g, denotada [g], és la colecció de tots eixos representants:

$[g]=\{{\lambda }^{2}g\mid \lambda >0\}.$

Una incrustación de l'esfera euclídea en N⁺, com en la secció anterior, determina una escala conforme en S. Pel contrari, qualsevol escala conforme en S ve donada per dita incorporació. Aixina, el fes de llínees N⁺ → S s'identifica en el fes d'escales conformes en S: donar una secció d'este paquet equival a especificar una mètrica en la classe conforme [g].

Model mètric soport

Vore també: Construcció soporte

Una atra forma de realisar mètriques representatives és a través d'un sistema de coordenades especial en R^{n+1, 1}. Suponga's que la n-esfera euclídea S du associat un sistema de coordenades estereográficas. Açò consistix en la següent aplicació Rⁿ → S ⊂ Rⁿ⁺¹:

$𝐲\in {𝐑}^n\mapsto (\frac{2𝐲}{{\left|𝐲\right|}^2+1},\frac{{\left|𝐲\right|}^2-1}{{\left|𝐲\right|}^2+1})\in S\subset {𝐑}^{n+1}.$

En térmens d'estes coordenades estereográficas, és possible donar un sistema de coordenades en el con nul N⁺ en l'espai de Minkowski. Usant la incrustación donada dalt, la secció mètrica representativa del con nul és

$x_0=\sqrt{2}\frac{{\left|𝐲\right|}^2}{1+{\left|𝐲\right|}^2},x_i=\frac{y_i}{{\left|𝐲\right|}^2+1},x_{n+1}=\sqrt{2}\frac{1}{{\left|𝐲\right|}^2+1}.$

Ara, s'introduïx una nova variable t corresponent a dilatació fins a N⁺, de modo que les coordenades del con nul resulten segons les expressions següents:

$x_0=t\sqrt{2}\frac{{\left|𝐲\right|}^2}{1+{\left|𝐲\right|}^2},x_i=t\frac{y_i}{{\left|𝐲\right|}^2+1},x_{n+1}=t\sqrt{2}\frac{1}{{\left|𝐲\right|}^2+1}.$

Finalment, siga ρ la següent funció definitoria de N⁺:

$\rho =\frac{-2x_0{x}_{n+1}+x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{t^2}.$

En les coordenades t, ρ, i en R^n+1,1, la mètrica de Minkowski pren la forma:

$t^2{g}_{ij}(y)d{y}^{i}d{y}^j+2\rho d{t}^2+2tdtd\rho ,$

a on g_ij és la mètrica de l'esfera.

En estos térmens, una secció del fes N⁺ consistix en una especificació del valor de la variable t= t(iⁱ) en funció de iⁱ en el con nul ρ= 0. Açò produïx la següent representació de la mètrica conforme en S:

$t(y{)}^2{g}_{ij}d{y}^{i}d{y}^j.$

Model kleiniano

Considere's primer el cas de la geometria conforme plana segons la signatura mètrica euclídea. El model n-dimensional és l'esfera celest de l'espai Lorentziano (n + 2)-dimensional R^n+1,1. Ací, el model és una geometria de Klein: un espai homogéneu G/H a on G= SO(n + 1, 1) actua sobre l'espai lorentziano de dimensió (n + 2) R^n+1,1 i H és el grup d'isotropía d'un raig fix nul en el con de llum. Per lo tant, els models conformemente plans són els espais de la geometria d'inversió. Per a l'espai pseudoeuclídeo de signatura mètrica (p, q), la geometria plana del model es definix de manera anàloga com l'espai homogéneu O(p + 1, q + 1)/H, a on H es pren novament com l'estabilisador d'una llínea nula. Deu tindre's en conte que tant l'espai modele euclídeo com el pseudoeuclídeo són compactes.

Àlgebra conformes de Lie

Per a descriure els grups i àlgebra involucrades en l'espai modele pla, deu fixar-se la següent fòrmula en R^p+1,q+1:

$Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& J& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

a on J és una forma quadràtica de signatura (p, q). Llavors G= O(p + 1, q + 1) consta de matrius d'orde (n + 2) × (n + 2) que estabilisen Q : ^tMQM= Q. L'àlgebra de Lie admet una descomposició de Cartan

$𝐠={𝐠}_{-1}\oplus {𝐠}_0\oplus {𝐠}_1$

a on

${𝐠}_{-1}=\{\left(\begin{array}{ccc}0& {}^{t}p& 0\\ 0& 0& J^{-1}p\\ 0& 0& 0\end{array}\right)|p\in {ℝ}^n\},{𝐠}_{-1}=\{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ {}^{t}q& 0& 0\\ 0& q{J}^{-1}& 0\end{array}\right)|q\in ({ℝ}^n{)}^{*}\}$

${𝐠}_0=\{\left(\begin{array}{ccc}-a& 0& 0\\ 0& A& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)|A\in 𝔰𝔬(p,q),a\in ℝ\}.$

Alternativament, esta descomposició concorda en una estructura de l'àlgebra de Lie natural definida en Rⁿ ⊕ cso(p, q) ⊕ (Rⁿ)^∗.

L'estabilisador del raig nul que apunta cap a l'últim vector de coordenades ve dau per la subálgebra de Borel

h = g₀ ⊕ g₁.

Vore també

• Àlgebra geomètrica conforme
• Gravetat conforme
• Equació de Killing conforme
• Programa de Erlangen
• Pla de Möbius

Bibliografia

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Transformation Groups in Differential Geometry, First edició, Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds, Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation).
• Sternberg, Shlomo (1983). Lectures on differential geometry, New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.