Pla de Minkowski

En matemàtiques, un pla de Minkowski (cridat aixina pel matemàtic alemà Hermann Minkowski (1864-1909)) és un dels plans de Benz (els atres dos són el pla de Möbius i el pla de Laguerre).

Pla de Minkowski real clàssic

Pla de Minkowski clàssic: modele 2d/3d

Aplicant la distància pseudoeuclídea $d(P_1,P_2)=(x{\text{'}}_1-x{\text{'}}_2{)}^2-(y{\text{'}}_1-y{\text{'}}_2{)}^2$ a dos punts $P_i=(x{\text{'}}_i,y{\text{'}}_i)$ (en lloc de la distància euclídea), s'obté la geometria de les hipérboles, perque una circumferència pseudoeuclídea $\{P\in {ℝ}^2\mid d(P,M)=r\}$ és una hipérbola en punt mig $M$.

Per mig d'una transformació de coordenades $x_i=x{\text{'}}_i+y{\text{'}}_i$, $y_i=x{\text{'}}_i-y{\text{'}}_i$, la distància pseudoeuclídea es pot reescriure com $d(P_1,P_2)=(x_1-x_2)(y_1-y_2)$. Les hipérboles tenen llavors asíntotas paraleles als eixos de coordenades denotats sense comilla (és dir, a x i i; i no a x' i i' ).

La següent completación (vore pla de Möbius i pla de Laguerre) homogeneiza la geometria de les hipérboles:

• El conjunt de punts:

$𝒫:={(ℝ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\})}^2={ℝ}^2\cup (\left\{\mathrm{\infty }\right\}\times ℝ)\cup (ℝ\times \left\{\mathrm{\infty }\right\})\cup \left\{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\right\},\mathrm{\infty }\notin ℝ,$

• El conjunt de cicles:

$\begin{array}{cc}𝒵:=& \{\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y=ax+b\}\cup \left\{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\right\}\mid a,b\in ℝ,a\ne 0\}\\ & \cup \{\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y=\frac{a}{x-b}+c,x\ne b\}\cup \{(b,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },c)\}\mid a,b,c\in ℝ,a\ne 0\}.\end{array}$

l'estructura d'incidència $(𝒫,𝒵,\in )$ es diu pla de Minkowski real clàssic.

El conjunt de punts consta de ${ℝ}^2$, dos còpies de $ℝ$ i el punt $(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Qualsevol llínea recta $y=ax+b,a\ne 0$ es completa en el punt $(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$; i qualsevol hipérbola $y=\frac{a}{x-b}+c,a\ne 0$ es completa en els dos punts $(b,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },c)$ (vore la figura).

Dos punts $(x_1,y_1)\ne (x_2,y_2)$ no poden conectar-se per mig d'un cicle si i solament si $x_1=x_2$ o $y_1=y_2$.

Es definix llavors:

• Dos punts $P_1,P_2$ són (+)-paralels ($P_1{\parallel }_{+}{P}_2$) si $x_1=x_2$ i (-)-paralels ($P_1{\parallel }_{-}{P}_2$) si $y_1=y_2$.

Abdós són relaciones d'equivalència en el conjunt de punts.

• Dos punts $P_1,P_2$ es diuen paralels ($P_1\parallel P_2$) si $P_1{\parallel }_{+}{P}_2$ o $P_1{\parallel }_{-}{P}_2$.

De la definició anterior, es deduïx que:

Lema: Per a qualsevol parell de punts no paralels $A,B$ existix exactament un punt $C$ en $A{\parallel }_{+}C{\parallel }_{-}B$. Per a qualsevol punt $P$ i qualsevol cicle $z$ hi ha exactament dos punts $A,B\in z$ en $A{\parallel }_{+}P{\parallel }_{-}B$. Per a tres punts qualssevol $A$, $B$, $C$, no paralels dos a dos, hi ha exactament un cicle $z$ que conté $A,B,C$. Per a qualsevol cicle $z$, qualsevol punt $P\in z$ i qualsevol punt $Q,P\parallel ̸Q$ i $Q\notin z$ existix exactament un cicle $z^{\prime }$ tal que $z\cap z^{\prime }=\{P\}$, és dir, $z$ toca a $z^{\prime }$ en el punt P.

De la mateixa manera que els plans clàssics de Möbius i Laguerre, els plans de Minkowski poden descriure's com la geometria de seccions planes d'una cuádrica adequada. Pero en este cas, la cuádrica es definix en un espai tridimensional 'proyectivo: el pla real clàssic de Minkowski és isomorfo a la geometria de les seccions planes d'un hiperboloide (cuádrica no degenerada d'índex 2).

Axioma d'un pla de Minkowski

Siga $(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ una estructura d'incidència en el conjunt $𝒫$ de punts, el conjunt $𝒵$ de cicles i dos relacions d'equivalència ${\parallel }_{+}$ ((+)-paralela) i ${\parallel }_{-}$ ((-)-paralela) en el conjunt $𝒫$. Per a $P\in 𝒫$, es definix:

${\bar{P}}_{+}:=\{Q\in 𝒫\mid Q{\parallel }_{+}P\}$ i ${\bar{P}}_{-}:=\{Q\in 𝒫\mid Q{\parallel }_{-}P\}$.

Una classe d'equivalència ${\bar{P}}_{+}$ o ${\bar{P}}_{-}$ es denomina (+)-generador i (-)-generador, respectivament (per al model espacial del pla clàssic de Minkowski, un generador és una llínea sobre l'hiperboloide).

Dos punts $A,B$ es diuen paralels ($A\parallel B$) si són $A{\parallel }_{+}B$ o $A{\parallel }_{-}B$.

Una estructura d'incidència $𝔐:=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ es denomina pla de Minkowski si es complixen els següents axioma:

Axioma de Minkowski c1-c2

Axioma de Minkowski c3-c4

• C1: Per a qualsevol parell de punts no paralels $A,B$ existix exactament un punt $C$ en $A{\parallel }_{+}C{\parallel }_{-}B$.
• C2: Per a qualsevol punt $P$ i qualsevol cicle $z$ existixen exactament dos punts $A,B\in z$ en $A{\parallel }_{+}P{\parallel }_{-}B$.
• C3: Per a tres punts qualssevol $A,B,C$, no paralels dos a dos, hi ha exactament un cicle $z$ que conté $A,B,C$.
• C4: Per a qualsevol cicle $z$, qualsevol punt $P\in z$ i qualsevol punt $Q,P\parallel ̸Q$ i $Q\notin z$ existix exactament un cicle $z^{\prime }$ tal que $z\cap z^{\prime }=\{P\}$, és dir, $z$ toca a $z^{\prime }$ en el punt $P$.
• C5: Qualsevol cicle conté a lo manco 3 punts. Existix a lo manco un cicle $z$ i un punt $P$ que no està en $z$.

També s'establixen atres declaracions sobre classes paraleles (equivalents a C1 i C2 respectivament):

• C1': Per a dos punts qualssevol $A,B$ es té que $|{\bar{A}}_{+}\cap {\bar{B}}_{-}|=1$.
• C2': Per a qualsevol punt $P$ i qualsevol cicle $z$ es té que: $|{\bar{P}}_{+}\cap z|=1=|{\bar{P}}_{-}\cap z|$.

Les primeres conseqüències dels axioma són:

De manera anàloga als plans de Möbius i Laguerre, s'obté la conexió en la geometria del pla llineal a través dels residus.

Per a un pla de Minkowski $𝔐=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ i $P\in 𝒫$ es definix l'estructura local

${𝔄}_P:=(𝒫\setminus \bar{P},\{z\setminus \{\bar{P}\}\mid P\in z\in 𝒵\}\cup \{E\setminus \bar{P}\mid E\in ℰ\setminus \{{\bar{P}}_{+},{\bar{P}}_{-}\}\},\in )$, que es denomina residu en el punt P.

Per al pla clàssic de Minkowski, ${𝔄}_{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}$ és el pla afí real ${ℝ}^2$.

Una conseqüència immediata dels axioma C1 a C4 i C1′, C2′ són les dos teoremes següents.

Per a un pla de Minkowski $𝔐=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},\parallel ,\in )$, qualsevol residu és un pla afí.

Model mínim

Pla de Minkowski: model mínim

El model mínim d'un pla de Minkowski es pot establir sobre el conjunt $\bar{K}:=\{0,1,\mathrm{\infty }\}$ de tres elements:

$𝒫:=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K}}$

$\begin{array}{cc}𝒵:& =\{\{(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\}\mid \{a_1,a_2,a_3\}=\{b_1,b_2,b_3\}=\bar{K}\}\\ & =\{\{(0,0),(1,1),(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\},\{(0,0),(1,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },1)\},\\ & \{(0,1),(1,0),(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\},\{(0,1),(1,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },0)\},\\ & \{(0,\mathrm{\infty }),(1,1),(\mathrm{\infty },0)\},\{(0,\mathrm{\infty }),(1,0),(\mathrm{\infty },1)\}\}\end{array}$

Sobre els punts paralels, es té que:

• $(x_1,y_1){\parallel }_{+}(x_2,y_2)$ si i solament si $x_1=x_2$
• $(x_1,y_1){\parallel }_{-}(x_2,y_2)$ si i solament si $y_1=y_2$.

D'ahí que $\left|𝒫\right|=9$ i $\left|𝒵\right|=6$.

Plans finitos de Minkowski

Per a plans de Minkowski finitos, s'obté de C1′ i C2′:

Açò dona lloc a la següent definició:

• Per a un pla finito de Minkowski $𝔐$ i un cicle $z$ de $𝔐$, l'número entero $n=\left|z\right|-1$ es denomina el orde de $𝔐$.

Consideracions combinatòries simples permeten deduir que:

Vore també

• Geometria conforme

Bibliografia

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Manual d'Incidence Geometry, Elsevier Plantilla:Isbn