Pla de Möbius

Archiu:Moebius-touching-circles.svg

Pla de Möbius: relació de tangència

En matemàtiques, el pla de Möbius clàssic (cridat aixina en referència al matemàtic alemà August Möbius (1790-1868)) és un pla complementat en un únic punt de l'infinit. També se li crida pla invers perque està tancat baix inversió sobre qualsevol círcul generalisat i, per lo tant, és l'entorn natural per al pla en geometria inversiva.

Una inversió del pla de Möbius sobre qualsevol circumferència és una involució que deixa fixos els punts del seu perímetro i intercanvia els punts de l'interior i de l'exterior, fent correspondre el centre de la circumferència en el punt de l'infinit. En geometria inversa, es considera que una llínea recta és una circumferència generalisada que conté el punt situat en l'infinit. L'inversió del pla sobre una recta és una reflexió euclídea.

De manera més general, un pla de Möbius és una estructura d'incidència en les mateixes relacions d'incidència que el pla de Möbius clàssic. És un dels tres tipos de plans de Benz: el pla de Möbius, el pla de Laguerre i el pla de Minkowski.

Relació en plans afins

Els plans afins són sistemes de punts i rectes que satisfan, entre unes atres, la propietat de que dos punts determinen exactament una recta. Este concepte es pot generalisar a sistemes de punts i circumferències, estant cada circumferència determinada per tres punts no colineales. No obstant, tres punts colineales determinen una recta, no una circumferència. Este inconvenient es pot eliminar agregant un punt de l'infinit a cada recta. Si es denominen "cicles" tant a les circumferències com a les llínees rectes completes, s'obté una estructura d'incidència en la que cada tres punts determinen exactament un cicle.

En un pla afí la relació de paralelisme entre llínees és essencial. En la geometria dels cicles, esta relació es generalisa a la relació de tangència. Dos cicles es toquen si tenen un sol punt en comú. Açò és cert per a dos circumferències tangentes o una recta que siga tangente a una circumferència. Dos rectes completes es toquen si solament tenen en comuna el punt en l'infinit, per lo que són paraleles. La relació de tangència té la propietat següent:

• Per a qualsevol cicle $z$, un punt $P$ de $z$ i qualsevol punt $Q$ que no estiga en $z$, existix exactament un cicle $z^{\prime }$ que conté els punts $P,Q$ i és tangente a $z$ (en el punt $P$).

Esta propietat definix essencialment un pla axiomàtic de Möbius. Pero el pla de Möbius clàssic no és l'única estructura geomètrica que satisfà les propietats d'un pla de Möbius axiomàtic. Es pot conseguir un eixemple adicional simple d'un pla de Möbius si es reemplacen els número real per número racional. L'us de número complejo (en lloc d'número real) no conduïx a un pla de Möbius, perque en el pla afí complex la curva $x^2+y^2=1$ no és una curva semblant a una circumferència, sino una curva semblant a una hipérbola. Afortunadament, hi ha molts cossos (números) junt en formes quadràtiques adequats que conduïxen a plans de Möbius (vore més avall). Estos eixemples es denominen miquelianos perque complixen el teorema de Miquel. Tots estos plans miquelianos de Möbius poden descriure's per mig de models espacials. El pla real clàssic de Möbius pot considerar-se com la geometria de les circumferències en una esfera unitària. La ventaja essencial del model espacial és que qualsevol cicle és simplement una circumferència (en una esfera).

Pla de Möbius clàssic real

Archiu:Moebius-2d3d-model.svg

Pla de Möbius clàssic: modele 2d/3d

Es partix del pla afí real $𝔄(ℝ)$ en la forma quadràtica $\rho (x,y)=x^2+y^2$ i s'obté el pla real: ${ℝ}^2$ és el conjunt de punts, les llínees rectes estan descrites per les equacions $y=mx+b$ o $x=c$ i una circumferència és un conjunt de punts que complix una equació del tipo

$\rho (x-x_0,y-y_0)=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2,r>0$.

La geometria de rectes i circumferències del pla euclídeo es pot homogeneizar (similar a la finalisació proyectiva d'un pla afí) incrustant-la en l'estructura d'incidència

$(𝒫,𝒵,\in )$

en

$𝒫:={ℝ}^2\cup \{\mathrm{\infty }\},\mathrm{\infty }\notin ℝ$, el conjunt de punts, i

$𝒵:=\{g\cup \{\mathrm{\infty }\}\mid g\text{line of }𝔄(ℝ)\}\cup \{k\mid k\text{circle of }𝔄(ℝ)\}$ el conjunt de circumferències.

$(𝒫,𝒵,\in )$ es diu pla de Möbius clàssic real.

Dins de la nova estructura, les rectes completes ya no eixerciten cap paper especial. Òbviament $(𝒫,𝒵,\in )$ té les següents propietats:

Per a qualsevol conjunt de tres punts $A,B,C$ hi ha exactament un cicle $z$ que conté a $A,B,C$. Per a qualsevol cicle $z$, qualsevol punt $P\in z$ i $Q\notin z$ existix exactament un cicle $z^{\prime }$ tal que: $P,Q\in z^{\prime }$ i $z\cap z^{\prime }=\{P\}$, és dir, $z$ i $z^{\prime }$ es toquen entre sí en el punt $P$.

$(𝒫,𝒵,\in )$ es pot descriure usant els número complejo. $z=x+iy$ representa el punt $(x,y)\in {ℝ}^2$:

$𝒫:=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\},\mathrm{\infty }\notin ℂ$, i

$𝒵:=\{\{z\in ℂ\mid az+\overline{az}+b=0\text{(recta)}\}\cup \{\mathrm{\infty }\}\mid 0\ne a\in ℂ,b\in ℝ\}$

$\cup \{\{z\in ℂ\mid (z-z_0)\overline{(z-z_0)}=d\text{(circunferencia)}\mid z_0\in ℂ,d\in ℝ,d>0\}.$

($\bar{z}=x-iy$ és el número conjugat de $z$).

La ventaja d'esta descripció és que es comprova fàcilment que les següents permutació de $𝒫$ fan correspondre cicles sobre cicles:

(1) $z\to rz,\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$, en $r\in ℂ$ (rotació + dilatació)

(2) $z\to z+s,\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$, en $s\in ℂ$ (translació)

(3) $z\to \frac{1}{z},z\ne 0,0\to \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\to 0$, (reflexió en $\pm 1$)

(4) $z\to \bar{z},\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$ (reflexió o inversió a través de l'eix real)

Considerant $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ com la recta proyectiva sobre $ℂ$ es reconeix que les assignació $(1)-(3)$ generen el grup $\mathrm{PGL}(2,ℂ)$ (és dir, el grup proyectivo llineal PGL(2,C), segons la transformació de Möbius). La geometria $(𝒫,𝒵,\in )$ és una estructura homogénea, és dir, la seua grup d'automorfisme és transitivo. Per lo tant, de la condició (4) es deduïx que:

Per a qualsevol cicle existix una inversió.

Per eixemple: $z\to \frac{1}{\bar{z}}$ és l'inversió que fixa la circumferència unitària $z\bar{z}=1$. Esta propietat dona lloc al nom alternatiu de pla invers.

Archiu:Stereografproj.svg

Proyecció estereográfica

Similar al model espacial d'un pla proyectivo desarguesiano, existix un model espacial per a la geometria $(𝒫,𝒵,\in )$ que omet la diferència formal entre cicles definits per rectes i cicles definits per circumferències: la geometria $(𝒫,𝒵,\in )$ és isomorfa sobre la geometria de circumferències en una esfera. L'isomorfisme es pot realisar per mig d'una proyecció estereográfica adequada:

$\Phi :(x,y)\to (\frac{x}{1+x^2+y^2},\frac{y}{1+x^2+y^2},\frac{x^2+y^2}{1+x^2+y^2})=(u,v,w).$

$\Phi$ és una proyecció en centre $(0,0,1)$ i aplicacions:

• El pla xy sobre l'esfera en equació $u^2+v^2+w^2-w=0$, en punt mig $(0,0,\frac{1}{2})$ i ràdio $r=\frac{1}{2}$.
• La circumferència en equació $x^2+y^2-ax-by-c=0$ en el pla $au+bv-(1+c)w+c=0$. Això significa que l'image d'una circumferència és una secció plana de l'esfera i, per tant, novament una circumferència (en l'esfera). Els plans corresponents no contenen el centre $(0,0,1)$.
• La llínea recta $ax+by+c=0$ en el pla $au+bv-cw+c=0$. Llavors, l'image d'una llínea recta és una circumferència (en l'esfera) dirigida cap al punt $(0,0,1)$, pero que no ho conté.

Vore també

• Geometria conforme
• Transformació de Möbius

Bibliografia

• W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Springer (1973)
• F. Buekenhout (ed.), Handbook of Incidence Geometry Manual de Geometria d'Incidència, Elsevier (1995) Plantilla:Isbn
• P. Dembowski, Finite Geometries (Geometria Finitas), Springer-Verlag (1968) Plantilla:Isbn

Enllaços externs

• Pla de Möbius en el Encyclopaedia of Mathematics
• Pla de Benz en la Enciclopèdia de Matemàtiques
• Nota de conferència Geometria planes de circumferències', una introducció als plans de Möbius, Laguerre i Minkowski