Pla de Laguerre

Pla de Laguerre clàssic: modele 2d/3d

En matemàtiques, un pla de Laguerre és un dels tres tipos de pla de Benz, que són el pla de Möbius, el propi pla de Laguerre i el pla de Minkowski. Els plans de Laguerre duen el nom del matemàtic francés Edmond Laguerre (1834-1886).

El pla de Laguerre clàssic és una estructura d'incidència que descriu el comportament d'incidència de les curves $y = a x^{2} + b x + c$ , és dir, paràboles i rectes, en el pla afí real. Per a simplificar l'estructura, a qualsevol curva $y = a x^{2} + b x + c$ se li suma el punt $(\infty, a)$ . Una ventaja adicional d'esta terminació és que la geometria plana de les paràboles/rectes completades és isomòrfica sobre la geometria de les seccions d'un cilindre (vore més avall).

El pla de Laguerre real clàssic

Originalment, el pla de Laguerre clàssic es va definir com la geometria de les llínees rectes i de les circumferències orientades en el pla euclídeo real.^[1] El present artícul s'ha centrat en el model de paràbola del pla de Laguerre clàssic.

Es definix:

𝒫 : = ℝ^{2} \cup ({\infty} \times ℝ), \infty \notin ℝ,

el conjunt de punts,

𝒵 : = {{(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y = a x^{2} + b x + c} \cup {(\infty, a)} ∣ a, b, c \in ℝ}

el conjunt de cicles.

L'estructura d'incidència $(𝒫, 𝒵, \in)$ es denomina pla de Laguerre clàssic.

El conjunt de punts és $ℝ^{2}$ més una còpia de $ℝ$ (vore la figura). Qualsevol paràbola/llínea recta $y = a x^{2} + b x + c$ es considera que posseïx el punt adicional $(\infty, a)$ .

Els punts en la mateixa coordenada x no poden conectar-se per mig de curves de la forma $y = a x^{2} + b x + c$ . Per això, es definix que:

Dos punts $A, B$ són paralels ( $A ∥ B$ ) si $A = B$ o no hi ha cap cicle que continga a $A$ i a $B$ .

Per a la descripció del pla de Laguerre real clàssic, dos punts $(a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2})$ són paralels si i solament si $a_{1} = b_{1}$ . $∥$ és un relació d'equivalència, similar al paralelisme entre llínees rectes.

L'estructura d'incidència $(𝒫, 𝒵, \in)$ té les següents propietats:

Lema:

Per a tres punts qualssevol $A, B, C$ , no paralels dos a dos, hi ha exactament un cicle $z$ que conté a $A, B, C$ .
Per a qualsevol punt $P$ i qualsevol cicle $z$ existix exactament un punt $P^{'} \in z$ tal que $P ∥ P^{'}$ .
Per a qualsevol cicle $z$ , qualsevol punt $P \in z$ i qualsevol punt $Q \notin z$ que no siga paralel a $P$ hi ha exactament un cicle $z^{'}$ a $P, Q$ en $z \cap z^{'} = {P}$ , és dir, $z$ i $z^{'}$ es toquen entre sí en $P$ .

Archiu:Laguerre-stereogr-proj.svg

Pla de Laguerre: proyecció estereográfica del pla xz sobre un cilindre

Similar al model d'esfera del pla de Möbius clàssic, existix un model de cilindre per al pla de Laguerre clàssic:

(𝒫, 𝒵, \in)

és isomorfo a la geometria de seccions planes d'un cilindre circular en

ℝ^{3}

.

L'aplicació $Φ$ és una proyecció en centre $(0, 1, 0)$ que fa correspondre el pla x-z en el cilindre en l'equació $u^{2} + v^{2} - v = 0$ , eix $(0, \frac{1}{2}, ..)$ i ràdio $r = \frac{1}{2} :$ .

Φ : (x, z) \to (\frac{x}{1 + x^{2}}, \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}, \frac{z}{1 + x^{2}}) = (u, v, w) .

Els punts $(0, 1, a)$ (llínees rectes del cilindre que passen pel centre) no apareixen com a imàgens.

$Φ$ proyecta la paràbola/recta en equació $z = a x^{2} + b x + c$ en el pla $w - a = b u + (a - c) (v - 1)$ . Llavors, l'image de la paràbola/recta és la secció plana del cilindre en un pla no perpendicular i per lo tant un círcul/elipse sense punt $(0, 1, a)$ . Les paràboles/rectes de la forma $z = a x^{2} + a$ s'assignen a circumferències (horisontals).

S'assigna una llínea recta (a=0) a un círcul/elipse que passa pel centre $(0, 1, 0)$ i una paràbola ( $a \neq 0$ ) a una

circumferència/elipse que no conté a $(0, 1, 0)$ .

Axioma d'un pla de Laguerre

El lema anterior dona lloc a la següent definició:

Siga $ℒ : = (𝒫, 𝒵, \in)$ una estructura d'incidència en el conjunt de punts $𝒫$ i el conjunt de cicles $𝒵$ .

Dos punts $A, B$ són paralels ( $A ∥ B$ ) si $A = B$ o no hi ha cap cicle que continga $A$ i $B$ .

$ℒ$ es denomina pla de Laguerre si es complixen els següents axioma:

Archiu:Laguerre-axiome.svg

Axioma del pla de Laguerre

B1: Per a tres punts qualssevol

A, B, C

, no paralels dos a dos, hi ha exactament un cicle

z

que conté

A, B, C

.

B2: Per a qualsevol punt

P

i qualsevol cicle

z

existix exactament un punt

P^{'} \in z

tal que

P ∥ P^{'}

.

B3: Per a qualsevol cicle

z

, qualsevol punt

P \in z

i qualsevol punt

Q \notin z

que no siga paralel a

P

hi ha exactament un cicle

z^{'}

a

P, Q

en

z \cap z^{'} = {P}

,

és dir,

z

i

z^{'}

es toquen entre sí en

P

.

B4: Qualsevol cicle conté a lo manco tres punts. Existix a lo manco un cicle. Hi ha a lo manco quatre punts que no estan en un cicle.

Quatre punts $A, B, C, D$ són concíclicos si hi ha un cicle $z$ que conté a $A, B, C, D \in z$ .

De la definició de la relació $∥$ i l'axioma B2 s'obté que

Lema:

La relació

∥

és una relació d'equivalència.

Seguint el model cilíndric del pla de Laguerre clàssic, s'introduïxen els térmens següents:

a) Para

P \in 𝒫

es configura

\overline{P} : = {Q \in 𝒫 ‖ P ∥ Q}

.

b) Una classe d'equivalència

\overline{P}

es denomina generador.

Per al pla clàssic de Laguerre, un generador és una llínea paralela a l'eix (model pla) o una llínea en el cilindre (model espacial).

La conexió en la geometria llineal ve donada per la següent definició:

Per a un pla de Laguerre $ℒ : = (𝒫, 𝒵, \in)$ es definix l'estructura local

𝒜_{P} : = (𝒫 ∖ {\overline{P}}, {z ∖ {\overline{P}} ‖ P \in z \in 𝒵} \cup {\overline{Q} ‖ Q \in 𝒫 ∖ {\overline{P}}, \in)

valor denominat residu en el punt P.

En el model pla del pla clàssic de Laguerre, $𝒜_{\infty}$ és el pla afí real $ℝ^{2}$ .

En general, s'obté que

Teorema:

Qualsevol residu d'un pla de Laguerre és un pla afí.

I la definició equivalent de pla de Laguerre:

Teorema:

Una estructura d'incidència junt en una relació d'equivalència $∥$ sobre $𝒫$ és un pla de Laguerre si i solament si per a qualsevol punt $P$ el residu $𝒜_{P}$ és un pla afí.

Plans finitos de Laguerre

Archiu:Laguerre-min-model.svg

Model mínim d'un pla de Laguerre (solament es mostren 4 dels 8 cicles)

La següent estructura d'incidència és un model mínim d'un pla de Laguerre:

𝒫 : = {A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}},

𝒵 : = {{A_{i}, B_{j}, C_{k}} ‖ i, j, k = 1, 2},

A_{1} ∥ A_{2}, B_{1} ∥ B_{2}, C_{1} ∥ C_{2} .

Per això

| 𝒫 | = 6

i

| 𝒵 | = 8 .

Per a plans de Laguerre finitos, és dir $| 𝒫 | < \infty$ , s'obté:

Lema:

Per a qualsevol cicle $z_{1}, z_{2}$ i qualsevol generador $\overline{P}$ d'un pla de Laguerre finito $ℒ : = (𝒫, 𝒵, \in)$ , es té que:

| z_{1} | = | z_{2} | = | \overline{P} | + 1

.

Per a un pla de Laguerre finito $ℒ : = (𝒫, 𝒵, \in)$ i un cicle $z \in 𝒵$ , l'número entero $n : = | z | - 1$ es denomina orde de $ℒ$ .

De la combinatoria s'obté que

Lema:

Siga

ℒ : = (𝒫, 𝒵, \in)

un pla d'orde de Laguerre

n

. Llavors

a) Qualsevol residu

𝒜_{P}

és un pla afí d'orde

n

b)

| 𝒫 | = n^{2} + n,

c)

| 𝒵 | = n^{3} .

Plans de Laguerre miquelianos

A diferència dels plans de Möbius, la generalisació formal del model d'un pla de Laguerre clàssic, és dir, reemplaçar $ℝ$ per un camp arbitrari $K$ , sempre conduïx a un eixemple de pla de Laguerre.

Teorema:

Per a un cos

K

i

𝒫 : = K^{2} \cup

({\infty} \times K), \infty \notin K

,

𝒵 : = {{(x, y) \in K^{2} ‖ y = a x^{2} + b x + c} \cup {(\infty, a)} ‖ a, b, c \in K}

l'estructura d'incidència

ℒ (K) : = (𝒫, 𝒵, \in)

és un pla de Laguerre en la següent relació paralela:

(a_{1}, a_{2}) ∥ (b_{1}, b_{2})

si i solament si

a_{1} = b_{1}

.

De manera similar a un pla de Möbius, la versió de Laguerre de la Teorema de Miquel sosté que:

Archiu:Theorem-of-miquel.svg

Teorema de Miquel (para major claritat, s'han dibuixat circumferències en lloc de paràboles)

Teorema de Miquel:

Per al pla de Laguerre

ℒ (K)

es complix lo següent:

Si 8 punts

P_{1}, \dots, P_{8}

no paralels dos a dos es poden assignar als vèrtiços d'una gaveta, de modo que els punts en 5 cares corresponguen a cuádrupletes concíclicos, llavors el sext cuádruplete de punts també és concíclico (per a dispondre d'una millor visió general de la figura, s'han dibuixat circumferències en lloc de paràboles).

L'importància de la Teorema de Miquel es demostra en la següent teorema, que es deu a Waerden, Smid i Chen:

Teorema:

Solament un pla de Laguerre

ℒ (K)

satisfà la teorema de Miquel.

Per esta última teorema, $ℒ (K)$ es denomina pla de Laguerre miqueliano.

El model mínim d'un pla de Laguerre és miqueliano. És isomorfo al pla de Laguerre $ℒ (K)$ en $K = G F (2)$ (camp ${0, 1}$ ).

Una proyecció estereográfica adequada mostra que $ℒ (K)$ és isomorfo a la geometria de les seccions planes d'un cilindre cuádrico sobre el camp $K$ .

Plans de Laguerre ovoidales

Hi ha molts plans de Laguerre que no són miquelianos (vore l'enllaç web que figura més avall). La classe que més s'assembla als plans de Laguerre miquelianos són els plans ovoidales de Laguerre. Un pla ovoidal de Laguerre és la geometria de les seccions planes d'un cilindre que es construïx utilisant un óval en lloc d'una cònica no degenerada. Un óval és un conjunt quadràtic, i té les mateixes propietats geomètriques que una cònica no degenerada en un pla proyectivo: 1) una recta curta a un óval en zero, un o dos punts i 2) en qualsevol punt existix una tangente única. Es pot construir un óval simple en el pla real pegant dos mitats adequades de elipses diferents, de modo que el resultat no siga una cònica. Inclús en el cas finito, existixen óvals adequats (vore conjunt quadràtic).

Vore també

Transformacions de Laguerre

Referències

↑ (2013).«Vorlesungen über Geometrie der Algebren».Springer.

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Plano de Laguerre» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2013).«Vorlesungen über Geometrie der Algebren».Springer.

[1]