Teoria de nucs

La teoria de nucs és la branca de la topología que s'encarrega d'estudiar l'objecte matemàtic que abstrau la noció quotidiana de nuc.

Archiu:TrefoilKnot 01.svg

Diagrama del nuc trébol, el nuc no trivial més senzill

En escoltar la paraula nuc, vénen a la nostra ment imàgens com les cordoneres d'unes sabates, les sogues dels mariners i inclús recorts com el d'una extensió elèctrica difícil de desnugar. Totes eixes imàgens són eixemples de nucs, que diferixen molt poc del concepte matemàtic de nuc.

Un nuc, una volta pegats els seus extrems, es representa per una curva simple i tancada en R³; o de modo més ampli, per encaixos o embebimientos (embeddings) de la circumferència en diversos espais topològics ambient.

En topología, la teoria de nucs és l'estudi dels nucs matemàtics. Encara que s'inspira en nucs que apareixen en la vida quotidiana, com els de les cordoneres de les sabates i les cordes, un nuc matemàtic diferix que els extrems estan units, per lo que no es pot desfer, sent el nuc més simple un anell (o " nuc"). En llenguage matemàtic, un nuc és una incrustación d'un círcul en un espai euclídeo tridimensional, $ℝ^{3}$ . Dos nucs matemàtics són equivalents si un pot transformar-se en l'atre per mig d'una deformació de $ℝ^{3}$ sobre sí mateixa (lo que es coneix com una isotopía ambiental); estes transformacions corresponen a manipulacions d'una corda nugada que no impliquen tallar-la o passar-la a través de sí mateixa.

Els nucs poden descriure's de vàries maneres. Utilisant diferents métodos de descripció, pot haver més d'una descripció del mateix nuc. Per eixemple, un método comú per a descriure un nuc és un diagrama pla cridat diagrama de nucs, en el que qualsevol nuc pot dibuixar-se de moltes formes diferents. Per lo tant, un problema fonamental en la teoria de nucs és determinar quàn dos descripcions representen el mateix nuc.

Existix una solució algorítmica completa a este problema, que té una complexitat desconeguda. En la pràctica, els nucs es distinguixen a sovint utilisant un invariante de nuc, una "cantitat" que és la mateixa quan es calcula a partir de diferents descripcions d'un nuc. Alguns invariantes importants són els polinomis de nuc, els grups de nucs i els invariantes hiperbòlics.

La motivació original dels fundadors de la teoria de nucs va ser crear una taula de nucs i lligam, que són nucs de varis components enredrats entre sí. Més de sis mil millons de nucs i enllaços tabulado des dels començos de la teoria de nucs en el XIX.

Per a obtindre més informació, els matemàtics han generalisat el concepte de nuc de vàries maneres. Els nucs poden considerar-se en uns atres espais tridimensionals i poden utilisar-se objectes distints dels círculs; vore nuc (matemàtiques)'. Per eixemple, un nuc de dimensió superior és una n-esfera dimensional incrustada en un espai euclídeo (n+2)-dimensional.

Definició

Artícul principal → nuc (matemàtica).

La definició matemàtica de nuc pretén donar una descripció rigorosa de lo que és el nuc i, en això, poder donar resposta a qué és lo que diferencia un nuc d'un atre. L'idea bàsica d'esta definició és que, per a donar-li cabuda a que un nuc no es puga desnugar, es peguen les puntes extremes del nuc.

Per això es diu que un nuc és un encaix o embebimiento de la circumferència en l'espai ambiente ( $R^{3}$ , $S^{3}$ o alguna atra 3-varietat).

Per un atre costat, el que un nuc es puga deformar a un atre, en matemàtiques es descriu com l'existència una isotopía de l'ambient entre abdós encaixos.

Formalment parlant, un pot dir que un nuc en ( $R^{3}$ o en $S^{3}$ ) és una classe d'equivalència d'encaixos de la 1-esfera ( S¹= {x $\in$ R² : |x|=1 } ) en ( $R^{3}$ o en la 3-esfera). La classe està donada per l'equivalència isotòpica de funcions. És dir, dos encaixos són equivalents si existix una isotopía de l'ambient entre abdós.

També es poden estudiar nucs en el Bou: $S^{1} \times S^{1}$ .

Història

Archiu:KellsFol034rXRhoDet3.jpeg

Intrincados nucs celtes en el Llibre de Kells] de 1200 anys d'antiguetat.

Els arqueòlecs han descobert que la pràctica dels nucs es remonta a la prehistòria. Ademés dels seus usos com gravar informació i unir objectes, els nucs han interessat als humans per la seua estètica i simbolisme espiritual. Els nucs apareixen en diverses obres d'art chinenques que daten de varis sigles abans de Crist (vore nugat chinenc). El nuc sense fi apareix en el budisme tibetà, mentres que els anells borromeo han fet repetides aparicions en diferents cultures, a sovint representant la força en l'unitat. Els monges del Celta que varen crear el Llibre de Kells prodigaron pàgines sanceres en intrincados nucs celtes.

Archiu:Peter Tait.jpg

El primer tabulador de nucs, Peter Guthrie Tait

Una teoria matemàtica dels nucs va ser desenrollada per primera volta en 1771 per Alexandre-Théophile Vandermonde, qui va senyalar explícitament l'importància de les característiques topològiques en discutir les propietats dels nucs relacionades en la geometria de la posició. Els estudis matemàtics dels nucs varen començar en el XIX en Carl Friedrich Gauss, que va definir l'Índex de lligam Plantilla:Harv. En la década de 1860, la teoria del vórtice de l'àtom de Lord Kelvin va dur a Peter Guthrie Tait a crear les primeres taules de nucs per a una classificació completa. Tait, en 1885, va publicar una taula de nucs en fins a dèu creus, i lo que va aplegar a conéixer-se com les conjectura de Tait. Este registre va motivar als primers teòrics del nuc, pero la teoria del nuc va acabar formant part del tema emergent de la topología.

Estos topólogos de principis de el XX -Max Dehn, James Waddell Alexander II, i uns atres- varen estudiar els nucs des del punt de vista del grup de nucs i de invariantes de la teoria d'homologia com el polinomi d'Alexander. Est seria el principal enfocament de la teoria de nucs fins que una série d'alvanços varen transformar el tema.

A finals de la década de 1970, William Thurston va introduir la geometria hiperbòlica en l'estudi dels nucs en la teorema de hiperbolización. Es va demostrar que molts nucs eren nucs hiperbòlics, lo que va permetre utilisar la geometria per a definir noves i potents invariantes dels nucs. El descobriment del polinomi de Jones per Vaughan Jones en 1984 Plantilla:Harv, i les contribucions posteriors d'Edward Witten, Maxim Kontsevich, i uns atres, varen revelar profundes conexions entre la teoria de nucs i els métodos matemàtics en mecànica estadística i teoria quàntica de camps. Des de llavors s'ha inventat una plétora de invariantes de nucs, utilisant ferramentes sofisticades com els grups quàntics i la homologia de Floer.

En les últimes décades de el XX, els científics es varen interessar per estudiar la nucs físics per a comprendre els fenomens de anudamiento en l'ADN i atres polímero. La teoria de nucs pot utilisar-se per a determinar si una molècula és chiral (té una "handedness") o no Plantilla:Harv. Els Tangles, cordes en abdós extrems fixos en el seu lloc, s'han utilisat eficaçment en l'estudi de l'acció de la topoisomerasa sobre el ADN Plantilla:Harv. La teoria de nucs pot ser crucial en la construcció d'ordenadors quàntics, a través del model de computació quàntica topològica.Plantilla:Harv.

La Teoria de nucs naix al final de el XVIII, en els estudis de A.T.Vandermonde, C.F. Gauss i F. Klein.

A finals de el XIX, es va iniciar un estudi sistemàtic de la teoria, quan els matemàtics i físics es varen dedicar a tabular nucs. Lord Kelvin (1867) va propondre l'idea de que els àtoms eren nucs, formats per menuts vórtices o corrents tancades d'éter. Creïa que, si classificava tots els nucs possibles, podria explicar cóm els àtoms absorbixen i emeten llum. Ara sabem que esta idea és incorrecta. El físic Peter Tait va passar molts anys realisant una llista de nucs en la creència de que estava creant una taula d'elements. Quan l'éter no va ser detectat en l'experiment de Michelson i Morley, la teoria dels àtoms modelats per mig de nucs va ser rebujada, i la teoria dels nucs va perdre part del seu interés per als físics.

Al principi de el XX, junt en el desenroll de la topología, topólogos com Max Dehn, J. W. Alexander, i Kurt Reidemeister varen investigar els nucs.

Pero els desenrolls més importants d'esta teoria s'han produït en la segona part de el XX, gràcies a les contribucions de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman i molts uns atres. Hui en dia, la teoria de nucs té aplicacions en teoria de cordes, en la gravetat quàntica, en l'estudi de replicació i recombinació del ADN, i en àrees de la mecànica.

Importa recalcar que els complements d'alguns nucs tenen a 3-varietatés com a complements i estes són objectes d'intens estudi.

Equivalència de nucs

Un nuc es crea començant en un segment de llínea d'una dimensió, envolent-ho al voltant de sí mateixa de forma arbitrària i, a continuació, fusionant els seus dos extrems lliures per a formar un bucle tancat Plantilla:Harv.Plantilla:Harv. De forma senzilla, podem dir que un nuc $K$ és una "curva tancada simple" (vore Curva) -és dir: una "casi" funció inyectiva i contínua $K : [0, 1] \to ℝ^{3}$ , sent l'única "no inyectiva" $K (0) = K (1)$ . Els topólogos consideren que els nucs i atres enredos com lligam i trenes són equivalents si el nuc pot ser espentat suaument, sense intersecarse, per a coincidir en un atre nuc.

L'idea de equivalència de nucs és donar una definició precisa de quàn dos nucs deuen considerar-se iguals encara que estiguen situats de forma molt diferent en l'espai. Una definició matemàtica formal és que dos nucs $K_{1}, K_{2}$ són equivalents si existix un conservador d'orientació homeomorfisme $h : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ en $h (K_{1}) = K_{2}$ .

Lo que significa esta definició d'equivalència de nucs és que dos nucs són equivalents quan existix una família contínua d'homeomorfismes ${h_{t} : ℝ^{3} \to ℝ^{3} f o r 0 \leq t \leq 1}$ de l'espai sobre sí mateixa, tal que l'últim d'ells du el primer nuc sobre el segon nuc. (En detalle: Dos nucs $K_{1}$ i $K_{2}$ són equivalents si existix un mapage continu $H : ℝ^{3} \times [0, 1] \to ℝ^{3}$ tal que a) per a cada $t \in [0, 1]$ el mapa que du $x \in ℝ^{3}$ a $H (x, t) \in ℝ^{3}$ és un homeomorfisme de $ℝ^{3}$ sobre sí mateixa; b) $H (x, 0) = x$ para tot $x \in ℝ^{3}$ ; i c) $H (K_{1}, 1) = K_{2}$ . Tal funció $H$ es coneix com una isotopía de l'ambient).

Estes dos nocions d'equivalència de nucs coincidixen exactament en quins nucs són equivalents: Dos nucs que són equivalents baixe la definició d'homeomorfisme conservador de l'orientació són també equivalents baixe la definició d'isotopía ambiental, perque qualsevol homeomorfisme conservador de l'orientació de $ℝ^{3}$ cap a sí mateixa és l'etapa final d'una isotopía ambiental que partix de l'identitat. A l'inversa, dos nucs equivalents baixe la definició d'isotopía ambiental són també equivalents baixe la definició d'homeomorfisme que preserva l'orientació, perque l'etapa $t = 1$ (final) de la isotopía ambiental deu ser un homeomorfisme que preserva l'orientació que du un nuc a l'atre.

El problema bàsic de la teoria de nucs, el problema de reconeiximent, consistix en determinar l'equivalència de dos nucs. Existixen Algoritmes per a resoldre este problema, sent el primer dau per Wolfgang Haken a finals dels anys 60 Plantilla:Harv. No obstant, estos algoritmes poden consumir molt temps, i una qüestió important en la teoria és entendre lo difícil que és realment este problema Plantilla:Harv. El cas especial de reconéixer el nuc, cridat el problema de desnugar, és de particular interés Plantilla:Harv. En febrer de 2021 Marc Lackenby va anunciar un nou algoritme de reconeiximent de nucs que s'eixecuta en temps cuasi polinomial.^[1]

Diagrames de nucs i moviments de Reidemeister

Artícul principal → moviment de Reidemeister.

Archiu:Knot 8sb19.svg

Diagrama d'un nuc.

Un nuc es descriu generalment per mig del seu diagrama, que representa la seua proyecció sobre el pla, destacant en cada creuament la diferència entre el tram que està damunt i el que està davall (que normalment apareix marcat en una interrupció).

És possible que en proyectar dos nucs diferents en determinada direcció, es perga informació i s'obtinga la mateixa proyecció. Per a que açò no succeïxca es treballa sempre en les anomenades proyeccions regulars, que contenen tota l'informació necessària.

Pero el mateix nuc admetrà distintes representacions en forma de diagrama, aixina que sorgix el primer problema fonamental, ¿quàn dos diagrames representaran el mateix nuc?

En 1927, la teorema de Reidemeister resoldrà parcialment este problema. Dit teorema permet decidir si un nuc és igual un atre solament fent dibuixos i és una forta ferramenta per a la prova d'alguns invariantes.

La teorema de Reidemeister diu lo següent: Per a passar d'una proyecció regular d'un nuc a una atra proyecció només es necessiten realisar successivament moviments d'algun dels següents tipos:

Archiu:Reidemeister move 1.png

Tipo 1.

Archiu:Reidemeister move 2.png

Tipo 2.

Archiu:Reidemeister move 3.png

Tipo 3.

Encara que aparentment resol el problema, no proporciona un algoritme per a determinar si dos nucs són equivalents. Aixina, a priori no es coneix el número de moviments necessaris per a transformar un diagrama en un atre. Tampoc és possible saber en certea en un temps finito si dos nucs no són equivalents. Un alvanç significatiu en esta direcció va ser l'introducció en 1929 dels primers invariantes.

Invariantes de nucs

Artícul principal → invariantes de nucs.

Un invariante de nucs és una "cantitat" que és la mateixa per a nodos equivalents. Aixina i tot, un sol invariante pot prendre el mateix valor per a dos nucs diferents, sent insuficient per a distinguir-los.

En la llista de invariantes clàssics devem incloure:

La tricoloreabilidad
El grup d'un nuc, que és el grup fonamental del seu complement.
El polinomi d'Alexander.

Al final de el XX es varen descobrir nous invariantes com:

Els invariantes hiperbòlics.
El polinomi de Jones i les seues dos generalisacions més conegudes, el polinomi HOMFLY i el polinomi de Kauffman, abdós generats per grups quàntics.

De tots modos, els invariantes nomenats són solament la punta de l'iceberg de la moderna teoria de nucs.

En la topología de dimensions baixes

Un nuc té importància com determinador de cert tipo de 3-varietatés que són els complements de nucs.

Nucs en dimensions més altes

En quatre dimensions, qualsevol circumferència nugada és equivalent al nuc trivial. No obstant, la teoria dels nucs es pot generalisar a embebimientos de subvariedades en varietats. Per eixemple, una 2-esfera embebida en una 4-esfera. Tal embebimiento es considerarà no nugat si existix un homeomorfisme de l'espai ambiente (la 4-esfera) en sí mateixa que duga la 2-esfera considerada en la 2-esfera canònica. Lo mateix pot dir-se per a superfícies compactes, orientables o no. Podem pensar que una botella de Klein intersecándose en si mateixa en l'espai és el diagrama d'una superfície nugada en la 4-esfera.

També podem considerar enllaços de subvariedades.

Vore també

Archiu:Borromeanrings.png

Un enllaç en tres components, cada u dels quals és un nuc trivial.

Archiu:Frise.jpg

Friso format per una 3-trena

Tant els enllaços com les trenes compartixen molts punts teòrics en els nucs:

Sobre l'us dels nucs en l'antiguetat:

Referències

↑ «Marc Lackenby anuncia un nou algoritme de reconeiximent de nucs que s'eixecuta en temps cuasipolinomial».Institut Matemàtic, Universitat d'Oxford.Consultat el 2021-02-03.

Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, ISBN 0-7167-4219-5
M.A. Armstrong, Topología Bàsica, Ed. Reverté, 1987. ISBN 84-291-5018-8. (capítul X)
Dona-li Rolfsen, Knots and Links, Berkeley: Publish or Perish, Inc. 1976. ISBN 0-914098-16-0

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de nudos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Marc Lackenby anuncia un nou algoritme de reconeiximent de nucs que s'eixecuta en temps cuasipolinomial».Institut Matemàtic, Universitat d'Oxford.Consultat el 2021-02-03.

[1]