Polinomi de Jones

En el camp matemàtic de la teoria de nucs, el polinomi de Jones és un polinomi de nuc descobert per Vaughan Jones en 1984. Específicament, és una invariante de nuc orientat o d'enllaç, que assigna a cada u d'ells, un polinomi de Laurent en la variable $t^{1/2}$ en coeficients sancers.

Definició per corchete

Archiu:Reidemeister move 1.png

Moviment de Reidemeister tipo I.

Supongam que tenim un enllaç orientat $L$, donat com un diagrama de nuc. Anem a definir el polinomi de Jones, $V(L)$, usant el polinomi de corchete de Kauffman, que denotem per $⟨⟩$. Tinga en conte, que ací el polinomi de corchete, és un polinomi de Laurent en la variable $A$ en coeficients sancers.

En primer lloc, definim el polinomi auxiliar (també conegut com el corchete polinomial normalisat)

$X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$,

a on $w(L)$ denota la torcedura de $L$ en el seu esquema determinat. La torcedura d'un diagrama, és el número de creus positius ($L_{+}$ en la següent figura) menys el número de creus negatius ($L_{-}$). La torcedura no és una invariante de nuc.

$X(L)$ és un nuc invariante ya que és invariante baix canvis del diagrama de $L$ pels tres Moviments de Reidemeister. La invariancia baix moviments de Reidemeister tipo II i III, se seguix de la invarianza del corchete baix eixos moviments. El polinomi de corchete, se sap que canvia per multiplicació per $-A^{\pm 3}$ en moviment de Reidemeister tipo I. La definició del polinomi $X$ anterior, està dissenyat per a anular este canvi, puix la torcedura canvia adequadament per +1 o -1 davant moviments tipo I.

Ara faça la substitució $A=t^{-1/4}$ en $X(L)$ per a obtindre el polinomi de Jones $V(L)$. Açò resulta en un polinomi de Laurent en coeficients sancers en la variable $t^{1/2}$.

Definició per representació de trena

La formulació original del polinomi de Jones, ve de l'estudi de àlgebra d'operador. En l'enfocament de Jones, va resultar d'una espècie de "seguiment", d'una representació particular de la trena en un àlgebra que originalment va sorgir mentres estudiava certs models, per eixemple, el model de Potts, en mecànica estadística.

Siga donat un enllaç L. Un teorema d'Alexander afirma que és el tancament de traça d'una trena, digam en n llínees. Ara definixca una representació $\rho$ del grup de trena en n filaments, B_n, en l'àlgebra de Temperley–Lieb TL_n en coeficients en $\mathbb{Z}[A,A^{-1}]$ i $\delta =-A^2-A^{-2}$. El generador estàndar de trena ${\sigma }_i$, és enviat a $A\cdot e_i+A^{-1}\cdot 1$, a on $1,e_1,\dots ,e_{n-1}$ són els generadors estàndar de l'àlgebra Temperley–Lieb. Es pot verificar fàcilment que definix una representació.

Prenga la trena $\sigma$ obtinguda anteriorment de L i calcule ${\delta }^{n-1}tr\rho (\sigma )$, a on tr és la traça de Markov. Açò dona $⟨L⟩$, a on $⟨$ $⟩$ és el polinomi de corchete. Açò pot vore's considerant, com Kauffman, l'àlgebra de Temperley–Lieb com un àlgebra de diagrama particular.

Una ventaja d'este enfocament, és que un pot triar representacions similars en atres àlgebra, tals com les representacions de matriu R, duent a "invariantes de Jones generalisats".

Referències (en anglés)

• Vaughan Jones, El polinomi de Jones
• Colin Adams, El llibre del nuc, American Mathematical Society, ISBN 0-8050-7380-9
• Lickorish, W. B. Raymond (1997). Una introducció a la teoria de nucs, Springer, p. 175. ISBN 9780387982540.